Fragenliste von Analytische Geometrie

Rechnen Sie aus der Normalenform in die Parameterform um. Ebenengleichung \(2(x_1-1)+2(x_2-2)+1(x_3-3)=0\) Nr. 3892
	\(x(a,b)= \left( \begin{matrix} 2+2a-1b \\3+2b\\-2a \end{matrix} \right)\)
	\(x(a,b)= \left( \begin{matrix} 2a\\2a-1b\\2b \end{matrix} \right)\)
	\(x(a,b)= \left( \begin{matrix} 1-2a\\2+2a-1b\\3+2b \end{matrix} \right)\)
Lösungsweg Stützvektor bleibt gleich \(\vec p= \left( \begin{matrix} 1\\2\\3 \end{matrix} \right)\) Richtungsvektoren \(\vec u= \left( \begin{matrix} -n_2\\n_1\\0 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} -2\\2\\0 \end{matrix} \right)\) \(\vec v= \left( \begin{matrix} 0\\-n_3\\n_2 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 0\\-1\\2 \end{matrix} \right)\) \(x(a,b)= \left( \begin{matrix} 1-2a\\2+2a-1b\\3+2b \end{matrix} \right)\)

Rechnen Sie von der Parameterform in die expizite Form y=kx+d um \(\vec x= \left( 2 \\3 \right) + s \left( 1 \\4 \right)\) Nr. 4052
	y=x+2
	y=4x-3
	y=4x-5
	y=4x+5
Lösungsweg Aus dem Steigungsdreieck (1,k) folgt sofort k=4. Setzt man den Punkt (2,3) und k=4 in y=kx+d ein, folgt sofort d=-5.

Geben Sie die durch die drei Punkte gegebene Ebene in Parameterform an P=(1,2,2) Q=(2,1,-1) R=(3,2,1) Nr. 4053
	\(\vec x= \left(1\\2\\2\right)+u \left(2\\1\\-1\right) + v \left(3\\2\\1\right)\)
	\(\vec x= \left(u\\2\\2\right)+ \left(2\\v\\-1\right) + v \left(3\\2\\w\right)\)
	\(\vec x= \left(1\\2\\2\right)+u \left(1\\-1\\-3\right) + v \left(2\\0\\-1\right)\)
Lösungsweg Parameterform: Ein Punkt und zwei Richtungsvektoren \(\vec{PQ}=\left(1\\-1\\-3\right)\) \(\vec{PR}=\left(2\\0\\-1\right)\)

Erstellen Sie eine Geradengleichung in Parameterform durch die folgenden zwei Punkte: \(A=\left(\begin{array}{c} {-3} \\ {2} \end{array}\right) \) und \(B=\left(\begin{array}{c} {1} \\ {5} \end{array}\right) \) Nr. 4258
	\(g : \; X= \left(\begin{array}{c} {-3} \\ {5} \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} {-2} \\ {7} \end{array}\right) \), \(t \in \mathbb{R}\).
	\(g : \; X= \left(\begin{array}{c} {-3} \\ {2} \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} {-2} \\ {7} \end{array}\right) \), \(t \in \mathbb{R}\).
	\(g : \; X= \left(\begin{array}{c} {-3} \\ {2} \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} {4} \\ {3} \end{array}\right) \), \(t \in \mathbb{R}\).
	\(g : \; 3x-2y=14\)
Lösungsweg Die allgemeine Parameterform bzw. Parameterdarstellung einer Gerade im \(\mathbb{R}^2\) lautet: \(g : \; X= P + t \cdot \vec{g} \) wobei P ein Punkt auf der Geraden, \(\vec{g}\) ein Richtungsvektor und \(t \in \mathbb{R}\) ist. Da die Gerade druch A und B verlaufen soll, erhalten wir als Richtungsvektor einfach den Vektor von A nach B: \(\vec{g} = B - A = \left(\begin{array}{c} {1} \\ {5} \end{array}\right) - \left(\begin{array}{c} {-3} \\ {2} \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} {4} \\ {3} \end{array}\right) \) Als Punkt auf der Geraden kann man entweder A oder B wählen, hier wird A gewählt: \(g : \; X= \left(\begin{array}{c} {-3} \\ {2} \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} {4} \\ {3} \end{array}\right) \), \(t \in \mathbb{R}\).

Gegeben sind zwei Punkte der Ebene: \(A=\left(\begin{array}{c} {-1} \\ {2} \end{array}\right) \) und \(B=\left(\begin{array}{c} {3} \\ {0} \end{array}\right) \) Stellen sie die Gleichung der Geraden auf, die durch die beiden Punkte verläuft. Geben Sie diese Geradengleichung in Normalvektorform an. Nr. 4259
	\(g: \; \; \left(\begin{array}{c} {4} \\ {-2} \end{array}\right) \cdot \Big( X - \left(\begin{array}{c} {-1} \\ {2} \end{array}\right) \Big) = 0 \)
	\(g: \; \; \left(\begin{array}{c} {-2} \\ {4} \end{array}\right) \cdot \Big( X - \left(\begin{array}{c} {-1} \\ {2} \end{array}\right) \Big) = 0 \)
	\(g: \; \; \left(\begin{array}{c} {2} \\ {4} \end{array}\right) \cdot \Big( X - \left(\begin{array}{c} {-1} \\ {2} \end{array}\right) \Big) = 0 \)
	\(g: \; \; X = \left(\begin{array}{c} {2} \\ {4} \end{array}\right) +t \cdot \left(\begin{array}{c} {-1} \\ {2} \end{array}\right) \)
Lösungsweg Die allgemeine Normalvektorform einer Gerade im \(\mathbb{R}^2\) lautet: \(g: \; \vec{n} \cdot(X - P)=0 \) bzw. \(g: \; \)\(\vec{n} \cdot X = \vec{n} \cdot P\) wobei \(\vec{n}\) der Normalvektor der Gerade ist, X ein allgemeiner Punkt der Ebene und P ein Punkt auf der Gerade. Den Normalvektor erhalten Sie, indem Sie zuerst den Vektor \(\vec{AB}\) berechnen: \(\vec{AB} = B - A = \left(\begin{array}{c} {3} \\ {0} \end{array}\right) - \left(\begin{array}{c} {-1} \\ {2} \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} {4} \\ {-2} \end{array}\right)\) Nun erhalten Sie einen Vektor, der normal auf \(\vec{AB}\) steht, indem Sie die beiden Komponenten vertauschen, und bei einer der beiden das Vorzeichen ändern. Z.B.: \(\vec{n} = \left(\begin{array}{c} {2} \\ {4} \end{array}\right)\) Als Punkt auf der Gerade, können Sie A oder B wählen. Hier wird A gewählt und man erhält: \(g: \; \; \left(\begin{array}{c} {2} \\ {4} \end{array}\right) \cdot \Big( X - \left(\begin{array}{c} {-1} \\ {2} \end{array}\right) \Big) = 0 \)

Geben Sie folgende Gerade, die hier in Normalvektorform gegeben ist, in Koordinatenform an: \(g: \; \; \left(\begin{array}{c} {2} \\ {4} \end{array}\right) \cdot \Big( X - \left(\begin{array}{c} {-1} \\ {2} \end{array}\right) \Big) = 0 \) Nr. 4260
	\(2x + 4y = 6\)
	\(y = 3 - x\)
	\(2x - 4y = 10\)
	\( X = \left(\begin{array}{c} {2} \\ {4} \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} {2} \\ {1} \end{array}\right) \)
Lösungsweg Die allgemeine Koordinatenform einer Geradengleichung lautet: \(ax + by =c\) wobei \(a , b , c \in \mathbb{R}\). Um diese Form zu erhalten, müssen Sie die gegebene Normalvektorform explizit ausmultiplizieren und umformen: \(g: \; \; \left(\begin{array}{c} {2} \\ {4} \end{array}\right) \cdot \Big( X - \left(\begin{array}{c} {-1} \\ {2} \end{array}\right) \Big) = 0 \) \(\rightarrow \left(\begin{array}{c} {2} \\ {4} \end{array}\right) \cdot \Big( \left(\begin{array}{c} {x} \\ {y} \end{array}\right) - \left(\begin{array}{c} {-1} \\ {2} \end{array}\right) \Big) = \)\(\left(\begin{array}{c} {2} \\ {4} \end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c} {x +1} \\ {y - 2} \end{array}\right) = 2(x+1) + 4(y-2) = 0 \) \(\rightarrow 2x + 2 + 4y - 8 = 0\) \(\rightarrow 2x + 4y = 6\)

Stellen Sie folgende Geradengleichung in Koordinatenform dar: \(g: \; \; X = \left(\begin{array}{c} {3} \\ {7} \end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{c} {2} \\ {3} \end{array}\right)\), mit \(t \in \mathbb{R}.\) Nr. 4261
	\(\left(\begin{array}{c} {3} \\ {-2} \end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c} {x-3} \\ {y-7} \end{array}\right) = 0\)
	\(\left(\begin{array}{c} {2} \\ {3} \end{array}\right) \cdot \Big( X + \left(\begin{array}{c} {3} \\ {7} \end{array}\right) \Big) = 0\)
	\(3 x - 2 y = 5\)
	\(-3 x + 2 y = 5\)
Lösungsweg Die allgemeine Koordinatenform einer Geraden im \(\mathbb{R}^2\) lautet: \(ax + by =c\) wobei \(a , b , c \in \mathbb{R}\). Um diese Form zu erhalten, haben Sie zwei Möglichkeiten: Sie kennen die direkte Beziehung zwischen den Größen der Parameterform und denen der Koordinatenform:\(a=-g_{2} \; , \; b=g_{1} \; , \; c=p_{1} a+p_{2} b\) Sie lesen aus der Parameterdarstellung den Richtungsvektor \(\vec{g} \) ablesen und bilden dann den Normalvektor \(\vec{n} \). Danach berechnen Sie über die Normalvektorform die Koordinatenform. Ad 1.) Aus der Paramterform \(g: \; \; X = \left(\begin{array}{c} {3} \\ {7} \end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{c} {2} \\ {3} \end{array}\right)\) lesen Sie den Richtungsvektor \(\vec{g}\) ab: \(\vec{g} = \left(\begin{array}{c} {g_1} \\ {g_2} \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} {2} \\ {3} \end{array}\right)\) \(\rightarrow a = -3\) und \(b=2\) Der Punkt P lautet wie folgt: \(P = \left(\begin{array}{c} {p_1} \\ {p_2} \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} {3} \\ {7} \end{array}\right)\) Somit erhalten Sie für c: \(c = 3 \cdot ( -3 ) + 7 \cdot 2 = -9 + 14 = 5\) Die Koordinatenform lautet also: \(-3 x + 2 y = 5\) Ad 2.) Zuerst wird der Normalvektor der Geraden bestimmt: \(\vec{g} = \left(\begin{array}{c} {2} \\ {3} \end{array}\right) \rightarrow \vec{n} = \left(\begin{array}{c} {3} \\ {-2} \end{array}\right)\) Dann kann in die allgemeine Normalvektorform eingesetzt werden: \(g: \; \vec{n} \cdot(X - P)=0 \), wobei \(P = \left(\begin{array}{c} {3} \\ {7} \end{array}\right)\) Also: \(\left(\begin{array}{c} {3} \\ {-2} \end{array}\right) \cdot \Big( X - \left(\begin{array}{c} {3} \\ {7} \end{array}\right) \Big) = 0\) \(\left(\begin{array}{c} {3} \\ {-2} \end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c} {x-3} \\ {y-7} \end{array}\right) = 0\) \(3 (x-3) -2(y-7) = 0\) \(3x - 9 - 2y + 14 = 0\) \(\rightarrow 3x -2y = -5\) bzw. \(-3x + 2y = 5\)

Gegeben ist eine Gerade in Koordinantenform: \(-7x+0.5y=14\) Geben Sie die dazugehörige Normalvektorform an! Nr. 4262
	\(g: \; \; \left(\begin{array}{c} {-7} \\ {0.5} \end{array}\right) \cdot \Big( X - \left(\begin{array}{c} {-2} \\ {0} \end{array}\right) \Big) = 0 \)
	\(g: \; \; \left(\begin{array}{c} {7} \\ {-0.5} \end{array}\right) \cdot \Big( X - \left(\begin{array}{c} {-2} \\ {0} \end{array}\right) \Big) = 0 \)
	\(g: \; \; \left(\begin{array}{c} {-7} \\ {0.5} \end{array}\right) \cdot X = 14 \)
	\(g: \; \; \left(\begin{array}{c} {0.5} \\ {-7} \end{array}\right) \cdot \Big( X - \left(\begin{array}{c} {0} \\ {-2} \end{array}\right) \Big) = 14 \)
Lösungsweg Aus der Koordinatenform können Sie direkt den Normalvektor ablesen: \(-7x+0.5y=14\) \(\rightarrow n_1=-7 \; , \; n_2=0.5\) \(\rightarrow \vec{n}= \left(\begin{array}{c} {-7} \\ {0.5} \end{array}\right)\) Die Allgemeine Normalvektorform lautet: \(g: \; \vec{n} \cdot(X - P)=0 \) bzw. \(g: \; \)\(\vec{n} \cdot X = \vec{n} \cdot P\) Vergleichen Sie die rechte Darstellung mit der Koordinatenform, so erkennen Sie, dass nun nur noch folgendes gelöst werden muss: \(\vec{n} \cdot P = 14\) \( \left(\begin{array}{c} {-7} \\ {0.5} \end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c} {p_1} \\ {p_2} \end{array}\right) = 14\) \(\rightarrow -7p_1 + 0.5p_2 = 14\) Wählen Sie z.B. \(p_2 = 0\), dann erhalten Sie sofort: \( -7p_1 = 14 \rightarrow p_1 = -2\) Sie erhalten also: \(g: \; \; \left(\begin{array}{c} {-7} \\ {0.5} \end{array}\right) \cdot \Big( X - \left(\begin{array}{c} {-2} \\ {0} \end{array}\right) \Big) = 0 \)

Gegeben ist die folgende Koordinatenform einer Gerade: \(2x - y = -3\) Geben Sie die Gerade in Parameterform an! Nr. 4263
	\(g : \; \left(\begin{array}{c} {1} \\ {2} \end{array}\right) \cdot \Big( X - \left(\begin{array}{c} {0} \\ {3} \end{array}\right) \Big) = 0\)
	\(g : \; X= \left(\begin{array}{c} {0} \\ {3} \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} {-1} \\ {2} \end{array}\right) \), \(t \in \mathbb{R}\).
	\(g : \; X= \left(\begin{array}{c} {0} \\ {3} \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} {1} \\ {2} \end{array}\right) \), \(t \in \mathbb{R}\).
	\(g : \; X= \left(\begin{array}{c} {2} \\ {-1} \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} {1} \\ {1} \end{array}\right) \), \(t \in \mathbb{R}\).
Lösungsweg Aus der Koordinatenform können Sie direkt den Normalvektor ablesen: \(2x - y = -3\) \(\rightarrow n_1=2 \; , \; n_2=-1\) \(\rightarrow \vec{n}= \left(\begin{array}{c} {2} \\ {-1} \end{array}\right)\) Den Richtungsvektor \(\vec{g}\) der Geraden erhalten Sie durch Vertauschen der Komponenten des Normalvektors und durch Ändern des Vorzeichens einer Komponente. Also z.B. \(\vec{g}= \left(\begin{array}{c} {1} \\ {2} \end{array}\right)\) Um einen Punkt auf der Geraden zu erhalten, muss folgende Gleichung gelöst werden: \(\vec{n} \cdot P = -3\) \( \left(\begin{array}{c} {2} \\ {-1} \end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c} {p_1} \\ {p_2} \end{array}\right) = -3\) \(\rightarrow 2p_1 - p_2 = -3\) Wählen Sie z.B. \(p_1 = 0\), dann erhalten Sie sofort: \(-p_2 = -3 \rightarrow p_2 = 3\) Die allgemeine Parameterform einer Geraden lautet: \(g : \; X= P + t \cdot \vec{g} \) Somit haben Sie nun alles, was Sie brauchen: \(g : \; X= \left(\begin{array}{c} {0} \\ {3} \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} {1} \\ {2} \end{array}\right) \), \(t \in \mathbb{R}\).

Gegeben ist eine Gerade in expliziter Form: \(y = 4x -3\) Geben Sie die Gerade in Normalvektorform an! Nr. 4264
	\(g: \; \; \left(\begin{array}{c} {-4} \\ {1} \end{array}\right) \cdot \Big( X - \left(\begin{array}{c} {0} \\ {-3} \end{array}\right) \Big) = 0 \)
	\(g: \; \; \left(\begin{array}{c} {4} \\ {1} \end{array}\right) \cdot \Big( X - \left(\begin{array}{c} {0} \\ {-3} \end{array}\right) \Big) = 0 \)
	\(g: \; \; \left(\begin{array}{c} {1} \\ {4} \end{array}\right) \cdot \Big( X - \left(\begin{array}{c} {-3} \\ {0} \end{array}\right) \Big) = 0 \)
	\(g: \; \; X = \left(\begin{array}{c} {0} \\ {-3} \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} {-4} \\ {1} \end{array}\right) \)
Lösungsweg Von der expliziten Form erhalten Sie zunächst die Koordinatenform: \(y = 4x -3\) \(\rightarrow -4x + y = -3\) Sie können nun den Normalvektor direkt ablesen: \(\rightarrow n_1=-4 \; , \; n_2=1\) \(\rightarrow \vec{n}= \left(\begin{array}{c} {-4} \\ {1} \end{array}\right)\) Die Allgemeine Normalvektorform lautet: \(g: \; \vec{n} \cdot(X - P)=0 \) bzw. \(g: \; \)\(\vec{n} \cdot X = \vec{n} \cdot P\) Vergleichen Sie die rechte Darstellung mit der Koordinatenform, so erkennen Sie, dass nun nur noch folgendes gelöst werden muss: \(\vec{n} \cdot P = -3\) \( \left(\begin{array}{c} {-4} \\ {1} \end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c} {p_1} \\ {p_2} \end{array}\right) = -3\) \(\rightarrow -4p_1 + p_2 = -3\) Wählen Sie z.B. \(p_1 = 0\), dann erhalten Sie sofort: \(p_2 = -3\) Durch einsetzen in die allgemeine Normalvektorform erhalten Sie: Sie erhalten also: \(g: \; \; \left(\begin{array}{c} {-4} \\ {1} \end{array}\right) \cdot \Big( X - \left(\begin{array}{c} {0} \\ {-3} \end{array}\right) \Big) = 0 \)

Gegeben ist folgende Gerade in Parameterform: \(g: \; \; X = \left(\begin{array}{c} {2} \\ {-1} \end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{c} {1} \\ {1} \end{array}\right)\) , mit \(t \in \mathbb{R}.\) Der Punkt \(P = \left(\begin{array}{c} {3} \\ {y} \end{array}\right)\) soll auf der Geraden liegen. Bestimmen Sie seine y-Komponente! Nr. 4265
	\(P = \left(\begin{array}{c} {3} \\ {0} \end{array}\right)\)
	\(P = \left(\begin{array}{c} {3} \\ {1} \end{array}\right)\)
	\(P = \left(\begin{array}{c} {3} \\ {-3} \end{array}\right)\)
	\(P = \left(\begin{array}{c} {3} \\ {t} \end{array}\right)\)
Lösungsweg Da der Punkt auf der Geraden liegen soll, muss folgendes gelten: \( \left(\begin{array}{c} {3} \\ {y} \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} {2} \\ {-1} \end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{c} {1} \\ {1} \end{array}\right)\) Aus der ersten Zeile kann t berechnet werden: \(3 = 2 + t \; \rightarrow \; t = 1\) Somit kann nun y berechnet werden: \(y = -1 + 1\cdot 1 = -1 + 1 = 0\) Der Punkt lautet also: \(P = \left(\begin{array}{c} {3} \\ {0} \end{array}\right)\)

Gegeben ist folgende Gerade in Parameterform: \(g: \; \; X = \left(\begin{array}{c} {2} \\ {-2} \end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{c} {3} \\ {-1} \end{array}\right)\) , mit \(t \in \mathbb{R}.\) Der Punkt \(P = \left(\begin{array}{c} {x} \\ {0.5} \end{array}\right)\) soll auf der Geraden liegen. Bestimmen Sie seine x-Komponente! Nr. 4266
	\(P = \left(\begin{array}{c} {-5.5} \\ {0.5} \end{array}\right)\)
	\(P = \left(\begin{array}{c} {5.5} \\ {0.5} \end{array}\right)\)
	\(P = \left(\begin{array}{c} {9.5} \\ {0.5} \end{array}\right)\)
	\(P = \left(\begin{array}{c} {3t} \\ {0.5} \end{array}\right)\)
Lösungsweg Da der Punkt auf der Geraden liegen soll, muss folgendes gelten: \(\left(\begin{array}{c} {x} \\ {0.5} \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} {2} \\ {-2} \end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{c} {3} \\ {-1} \end{array}\right)\) Aus der zweiten Zeile kann t berechnet werden: \(0.5 = -2 - t \; \rightarrow \; t = -2.5\) Somit kann nun die x- Komponente des Punktes berechnet werden: \(x = 2 + (-2.5) \cdot 3 = 2 - 7.5 = -5.5\) Der Punkt lautet also: \(P = \left(\begin{array}{c} {-5.5} \\ {0.5} \end{array}\right)\)

Prüfen Sie, ob die folgenden drei Punkte auf einer Geraden liegen: \(A = \left(\begin{array}{c} {3} \\ {1} \end{array}\right)\), \(B = \left(\begin{array}{c} {1} \\ {0} \end{array}\right)\), \(C = \left(\begin{array}{c} {-1} \\ {-3} \end{array}\right)\) Nr. 4267
	Die Punkte liegen NICHT auf einer Geraden.
	Die Punkte liegen auf einer Geraden.
Lösungsweg Dafür kann zuerst eine Gerade durch zwei der drei Punkte aufgestellt werden. Wählen Sie z.B. die Punkte A und B und stellen Sie den Richtungsvektor auf und dann die Parameterform: \(\vec{g} = B - A = \left(\begin{array}{c} {1} \\ {0} \end{array}\right) - \left(\begin{array}{c} {3} \\ {1} \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} {-2} \\ {-1} \end{array}\right) \) \(g: \; \; X = \left(\begin{array}{c} {1} \\ {0} \end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{c} {-2} \\ {-1} \end{array}\right)\) , mit \(t \in \mathbb{R}.\) Nun muss überprüft werden, ob C auf dieser Geraden liegt: \( \left(\begin{array}{c} {-1} \\ {-3} \end{array}\right) \stackrel{?}{=} \left(\begin{array}{c} {1} \\ {0} \end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{c} {-2} \\ {-1} \end{array}\right) \) Aus der ersten Zeile folgt: \(-1 = 1 -2t \; \rightarrow t=1\) Aus der zweiten Zeile folgt: \(-3 = -t \; \rightarrow \; t=3\) Das ist aber ein Widerspruch zum obigen Ergebnis. Die drei Punkte liegen NICHT auf einer Geraden.

Prüfen Sie, ob die folgenden drei Punkte auf einer Geraden liegen:

\(A = \left(\begin{array}{c} {3} \\ {1} \end{array}\right)\), \(B = \left(\begin{array}{c} {1} \\ {0} \end{array}\right)\), \(C = \left(\begin{array}{c} {-1} \\ {-3} \end{array}\right)\)

Nr. 4267

Die Punkte liegen NICHT auf einer Geraden.

Die Punkte liegen auf einer Geraden.

Lösungsweg

Gegeben ist eine Gerade g und ein Punkt P: \(g: \; \; X = \left(\begin{array}{c} {0} \\ {-1} \end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{c} {2} \\ {9} \end{array}\right)\) , mit \(t \in \mathbb{R}\) und \(P = \left(\begin{array}{c} {3} \\ {2} \end{array}\right)\). Geben Sie die Parameterform einer Geraden an, die parallel zu g und durch den Punkt P verläuft! Nr. 4268
	\(g: \; \; X = \left(\begin{array}{c} {3} \\ {2} \end{array}\right) +t \cdot\left(\begin{array}{c} {1} \\ {6} \end{array}\right) \) , mit \(t \in \mathbb{R}\).
	\(g: \; \; X = \left(\begin{array}{c} {3} \\ {2} \end{array}\right) +t \cdot\left(\begin{array}{c} {9} \\ {-2} \end{array}\right) \) , mit \(t \in \mathbb{R}\).
	\(g: \; \; X = \left(\begin{array}{c} {0} \\ {1} \end{array}\right) +t \cdot\left(\begin{array}{c} {3} \\ {2} \end{array}\right) \) , mit \(t \in \mathbb{R}\).
	\(g: \; \; X = \left(\begin{array}{c} {3} \\ {2} \end{array}\right) +t \cdot\left(\begin{array}{c} {2} \\ {9} \end{array}\right) \) , mit \(t \in \mathbb{R}\).
Lösungsweg Weil die beiden Geraden parallel sein sollen, muss der Richtungsvektor parallel sein. Somit muss nur noch der neue Punkt in die allgemeine Parameterform eingesetzt werden: \(g: \; \; X = \left(\begin{array}{c} {3} \\ {2} \end{array}\right) +t \cdot\left(\begin{array}{c} {2} \\ {9} \end{array}\right) \) , mit \(t \in \mathbb{R}\).

Gegeben ist eine Gerade g und ein Punkt P: \(g: \; \; X = \left(\begin{array}{c} {5} \\ {2} \end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{c} {3} \\ {-1} \end{array}\right)\) , mit \(t \in \mathbb{R}\) und \(P = \left(\begin{array}{c} {4} \\ {0} \end{array}\right)\). Geben Sie die Parameterform einer Geraden an, die normal zu g und durch den Punkt P verläuft! Nr. 4269
	\(g: \; \; X = \left(\begin{array}{c} {4} \\ {0} \end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{c} {3} \\ {-1} \end{array}\right)\) , mit \(t \in \mathbb{R}\).
	\(g: \; \; X = \left(\begin{array}{c} {4} \\ {0} \end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{c} {1} \\ {3} \end{array}\right)\) , mit \(t \in \mathbb{R}\).
	\(g: \; \; X = \left(\begin{array}{c} {1} \\ {3} \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} {4} \\ {0} \end{array}\right)\) , mit \(t \in \mathbb{R}\).
Lösungsweg Da die Gerade normal auf g stehen soll, müssen Sie einen Normalvektor des Richtungsvektors \(\vec{g}= \left(\begin{array}{c} {3} \\ {-1} \end{array}\right)\) bilden: zum Beispiel \(\vec{n}= \left(\begin{array}{c} {1} \\ {3} \end{array}\right)\), dieser Vektor zeigt nun entlang der neuen Geraden und dient somit als neuer Richtungsvektor Nun müssen nur noch der neue Richtungsvektor und der neue Punkt in die allgemeine Parameterform eingesetzt werden: \(g: \; \; X = \left(\begin{array}{c} {4} \\ {0} \end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{c} {1} \\ {3} \end{array}\right)\) , mit \(t \in \mathbb{R}\).

Gegeben ist eine Gerade g und ein Punkt P: \(g: \; \; X = \left(\begin{array}{c} {1} \\ {-1} \end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{c} {2} \\ {-3} \end{array}\right)\) , mit \(t \in \mathbb{R}\) und \(P = \left(\begin{array}{c} {0} \\ {-3} \end{array}\right)\). Geben Sie die Normalvektorform der Geraden an, die normal zu g und durch den Punkt P verläuft! Nr. 4270
	\(g\; : \; -3x + 2y= 6\)
	\(g\; : \; \left(\begin{array}{c} {-3} \\ {2} \end{array}\right) \cdot \Big( X - \left(\begin{array}{c} {0} \\ {-3} \end{array}\right) \Big) = 0 \)
	\(g\; : \; \left(\begin{array}{c} {3} \\ {2} \end{array}\right) \cdot \Big( X - \left(\begin{array}{c} {0} \\ {-3} \end{array}\right) \Big) = 0 \)
	\(g\; : \; \left(\begin{array}{c} {2} \\ {-3} \end{array}\right) \cdot \Big( X - \left(\begin{array}{c} {0} \\ {-3} \end{array}\right) \Big) = 0 \)
Lösungsweg Die allgemeine Normalvektorform lautet: \(g: \; \vec{n} \cdot(X - P)=0 \) bzw. \(g: \; \)\(\vec{n} \cdot X = \vec{n} \cdot P\) Da die neue Gerade normal auf die gegeben stehen soll, ist der Richtungsvektor \(\vec{g} = \left(\begin{array}{c} {2} \\ {-3} \end{array}\right)\) direkt der Normalvektor der neuen Geraden: \(\vec{n} = \left(\begin{array}{c} {2} \\ {-3} \end{array}\right)\) Nun müssen nur noch der neue Punkt P und der Normalvektor in die allgemeine Normalvektorform eingesetzt werden: \(g\; : \; \left(\begin{array}{c} {2} \\ {-3} \end{array}\right) \cdot \Big( X - \left(\begin{array}{c} {0} \\ {-3} \end{array}\right) \Big) = 0 \)

Gegeben ist folgende Gerade in Parameterform: \(g: \; \; X = \left(\begin{array}{c} {2} \\ {-2} \end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{c} {3} \\ {1} \end{array}\right)\) , mit \(t \in \mathbb{R}.\) Berechnen Sie den Normalabstand des Punktes \(P = \left(\begin{array}{c} {-1} \\ {0.5} \end{array}\right)\) von der Geraden g. Nr. 4271
	\(d(P, \; g) = 7.5\)
	\(d(P, \; g) = \frac{10.5}{\sqrt{10}}\)
	\(d(P, \; g) = 4.5\)
	\(d(P, \; g) = \frac{4}{\sqrt{10}}\)
	\(d(P, \; g) = \frac{3}{10}\)
Lösungsweg Der Abstand kann mit Hilfe der Hesse'schen Normalabstandsformel berechnet werden: \(d(P, \; g) = \mid \vec{AP} \cdot \vec{n_0} \mid\), wobei \(A \in g\) und \(\vec{n_0} \perp g\). Aus der Parameterform können Sie den Punkt A direkt ablesen: \( A = \left(\begin{array}{c} {2} \\ {-2} \end{array}\right)\) Den Normalvektor erhalten Sie mit Hilfe des Richtungsvektors \(\vec{g} = \left(\begin{array}{c} {3} \\ {1} \end{array}\right)\): \(\vec{n} = \left(\begin{array}{c} {-1} \\ {3} \end{array}\right)\) \(\vec{n_0} \) ist der Einheits-Normalvektor. Somit muss \(\vec{n}\) noch normiert werden: \(\vec{n_0} = \frac{ \vec{n} }{ \mid \vec{n} \mid } = \frac{1}{ \sqrt{ (-1)^2 +3^2} }\left(\begin{array}{c} {-1} \\ {3} \end{array}\right) = \)\(\frac{1}{ \sqrt{ 10 }} \left(\begin{array}{c} {-1} \\ {3} \end{array}\right)\) Somit: \(\vec{AP} = P - A = \left(\begin{array}{c} {-1} \\ {0.5} \end{array}\right) - \left(\begin{array}{c} {2} \\ {-2} \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} {-3} \\ {2.5} \end{array}\right)\) \(d(P, \; g) = \mid \vec{AP} \cdot \vec{n_0} \mid = \mid \frac{1}{\sqrt{10}} \left(\begin{array}{c} {-3} \\ {2.5} \end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c} {-1} \\ {3} \end{array}\right) \mid \) \(d(P, \; g) = \mid \frac{1}{\sqrt{10}} \Big( (-3) \cdot (-1 ) + 2.5 \cdot 3 \Big) \mid = \mid \frac{3+7.5}{\sqrt{10}} \mid = \frac{10.5}{\sqrt{10}}\)

Gegeben ist folgende Gerade in Parameterform: \(g: \; \; X = \left(\begin{array}{c} {3} \\ {0} \end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{c} {-1} \\ {2} \end{array}\right)\) , mit \(t \in \mathbb{R}.\) Berechnen Sie den Normalabstand des Punktes \(P = \left(\begin{array}{c} {10} \\ {3} \end{array}\right)\) von der Geraden g. Nr. 4272
	\(d(P, \; g) =17\)
	\(d(P, \; g) = \frac{17}{5}\)
	\(d(P, \; g) = \frac{17}{\sqrt{5}}\)
	\(d(P, \; g) = \frac{4}{\sqrt{3}}\)
Lösungsweg Der Abstand kann mit Hilfe der Hesse'schen Normalabstandsformel berechnet werden: \(d(P, \; g) = \mid \vec{AP} \cdot \vec{n_0} \mid\), wobei \(A \in g\) und \(\vec{n_0} \perp g\). Aus der Parameterform können Sie den Punkt A direkt ablesen: \(A = \left(\begin{array}{c} {3} \\ {0} \end{array}\right)\) Den Normalvektor erhalten Sie mit Hilfe des Richtungsvektors \(\vec{g} = \left(\begin{array}{c} {-1} \\ {2} \end{array}\right)\): \(\vec{n} = \left(\begin{array}{c} {2} \\ {1} \end{array}\right)\) \(\vec{n_0} \) ist der Einheits-Normalvektor. Somit muss \(\vec{n}\) noch normiert werden: \(\vec{n_0} = \frac{ \vec{n} }{ \mid \vec{n} \mid } = \frac{1}{ \sqrt{ 2^2 +1^2} }\left(\begin{array}{c} {2} \\ {1} \end{array}\right) = \)\(\frac{1}{ \sqrt{ 5} }\left(\begin{array}{c} {2} \\ {1} \end{array}\right) \) Somit: \(\vec{AP} = P - A = \left(\begin{array}{c} {10} \\ {3} \end{array}\right) - \left(\begin{array}{c} {3} \\ {0} \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} {7} \\ {3} \end{array}\right)\) \(d(P, \; g) = \mid \vec{AP} \cdot \vec{n_0} \mid = \mid \left(\begin{array}{c} {7} \\ {3} \end{array}\right) \cdot \frac{1}{ \sqrt{ 5} }\left(\begin{array}{c} {2} \\ {1} \end{array}\right) \mid \) \(d(P, \; g) = \mid \frac{1}{\sqrt{5}} (7 \cdot 2 + 3\cdot 1) \mid = \mid \frac{17}{\sqrt{5}} \mid = \frac{17}{\sqrt{5}}\)

Geben Sie die Lagebeziehung der folgenden beiden Geraden an: \(g_1: \; \; X = \left(\begin{array}{c} {2} \\ {1} \end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{c} {1} \\ {-3} \end{array}\right)\) , mit \(t \in \mathbb{R}.\) \(g_2: \; \; X = \left(\begin{array}{c} {0} \\ {5} \end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{c} {-4} \\ {-12} \end{array}\right)\) , mit \(s \in \mathbb{R}.\) Nr. 4273
	Die Geraden schneiden sich.
	Die Geraden sind parallel.
	Die Geraden sind identisch.
	Die Lagebeziehung hängt ab von \(t\) und \(s\).
Lösungsweg Für die Lagebeziehung zweier Geraden in der Ebene, gibt es drei Möglichkeiten: schneidend parallel identisch Durch Vergleich der beiden Richtungsvektoren kann sofort festgestellt werden, ob sich die beiden Geraden schneiden: \(\vec{g_1} = \left(\begin{array}{c} {1} \\ {-3} \end{array}\right)\) und \(\vec{g_2} = \left(\begin{array}{c} {-4} \\ {-12} \end{array}\right)\) Nun wird überprüft, ob die beiden Richtungsvektoren parallel sind (also ob sie ein Vielfaches voneinander sind): Für die x-Komponente der Vektoren gilt: \(1 \cdot (-4) = -4\) Für die y-Komponente folgt jedoch: \(-3 \cdot 4 = -12\) Somit sind die beiden (Richtungs-)Vektoren der Geraden nicht parallel, d.h. die beiden Geraden schneiden sich.

Geben Sie die Lagebeziehung der folgenden beiden Geraden an: \(g_1: \; \; X = \left(\begin{array}{c} {-1} \\ {1} \end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{c} {1} \\ {-2} \end{array}\right)\) , mit \(t \in \mathbb{R}.\) \(g_2: \; \; X = \left(\begin{array}{c} {3} \\ {-5} \end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{c} {-4} \\ {8} \end{array}\right)\) , mit \(s \in \mathbb{R}.\) Nr. 4274
	Die Geraden schneiden einander.
	Die Geraden sind identisch.
	Die Geraden sind parallel.
	Die Lagebeziehung hängt von \(s\) und \(t\) ab.
Lösungsweg Für die Lagebeziehung der beiden Geraden gibt es drei Möglichkeiten: schneidend parallel identisch Durch Vergleich der beiden Richtungsvektoren kann sofort festgestellt werden, ob sich die beiden Geraden schneiden: \(\vec{g_1} = \left(\begin{array}{c} {1} \\ {-2} \end{array}\right)\) und \(\vec{g_2} = \left(\begin{array}{c} {-4} \\ {8} \end{array}\right)\) Nun wird überprüft, ob die beiden Richtungsvektoren parallel sind (also ob sie ein Vielfaches voneinander sind): Für die x-Komponente der Vketoren gilt: \(1 \cdot (-4) = -4\) Für die y-Komponente folgt jedoch: \(-2 \cdot (-4) = 8\) Die beiden Richtungsvektoren sind also Vielfache voneinander, d.h. die Geraden sind somit entweder parallel oder ident. Um zwischen diesen Fällen zu unterscheiden, muss überprüft werden, ob ein Punkt der auf einer der beiden Geraden liegt, auch auf der anderen Geraden liegt. Also z.B.: \(\left(\begin{array}{c} {-1} \\ {1} \end{array}\right) \in g_2 ?\) \(\left(\begin{array}{c} {-1} \\ {1} \end{array}\right) \stackrel{?}{=} \left(\begin{array}{c} {3} \\ {-5} \end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{c} {-4} \\ {8} \end{array}\right)\) Aus der ersten Zeile erhalten Sie: \(-1 = 3 -4s \rightarrow s =1\) Aus der zweiten Zeile erhalten Sie: \(1 = -5 + 8s \rightarrow s= \frac{6}{8}=\frac{3}{4}\) Daraus folgt: \(\left(\begin{array}{c} {-1} \\ {1} \end{array}\right) \notin g_2 \) Die Geraden sind parallel.

Geben Sie die Lagebeziehung der folgenden beiden Geraden an: \(g_1: \; \; X = \left(\begin{array}{c} {0} \\ {0} \end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{c} {3} \\ {-5} \end{array}\right)\) , mit \(t \in \mathbb{R}.\) \(g_2: \; \; X = \left(\begin{array}{c} {9} \\ {-15} \end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{c} {-4.5} \\ {7.5} \end{array}\right)\) , mit \(s \in \mathbb{R}.\) Nr. 4275
	Die Geraden sind identisch.
	Die Geraden sind parallel.
	Die Geraden schneiden einander.
Lösungsweg Für die Lagebeziehung der beiden Geraden gibt es drei Möglichkeiten: schneidend parallel identisch Durch Vergleich der beiden Richtungsvektoren kann sofort festgestellt werden, ob sich die beiden Geraden schneiden: \(\vec{g_1} = \left(\begin{array}{c} {3} \\ {-5} \end{array}\right)\) und \(\vec{g_2} = \left(\begin{array}{c} {-4.5} \\ {7.5} \end{array}\right)\) Nun wird überprüft, ob die beiden Richtungsvektoren paralle sind (also ob sie ein Vielfaches voneinander sind): Für die x-Komponente der Vketoren gilt: \(3 \cdot (-1.5) = -4.5\) Für die y-Komponente folgt jedoch: \(-5 \cdot (-1.5) = 7.5\) Somit sind die beiden Vektoren ein Vielfaches voneinander und die Geraden sind entweder parallel oder identisch. Um zwischen diesen Fällen zu unterscheiden, muss überprüft werden, ob ein Punkt der auf einer der beiden Geraden liegt auch auf der anderen Geraden liegt. Also z.B.: \(\left(\begin{array}{c} {0} \\ {0} \end{array}\right) \in g_2 ?\) \(\left(\begin{array}{c} {0} \\ {0} \end{array}\right) \stackrel{?}{=} \left(\begin{array}{c} {9} \\ {-15} \end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{c} {-4.5} \\ {7.5} \end{array}\right)\) Aus der ersten Zeile erhalten Sie: \(0 = 9 -4.5 s\rightarrow s =2\) Aus der zweiten Zeile erhalten Sie: \(0 = -15 + 7.5s \rightarrow s=2\) Daraus folgt: \(\left(\begin{array}{c} {0} \\ {0} \end{array}\right) \in g_2 \) Die Geraden sind identisch.

Geben Sie die Lagebeziehung der folgenden beiden Geraden an: \(g_1: \; \; X = \left(\begin{array}{c} {-1} \\ {1} \end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{c} {8} \\ {6} \end{array}\right)\) , mit \(t \in \mathbb{R}.\) \(g_2\; : \; \; \; 3x - 4y = 16\) Nr. 4276
	Die Geraden schneiden einander.
	Die Geraden sind identisch.
	Die Geraden sind parallel.
Lösungsweg Für die Lagebeziehung der beiden Geraden gibt es drei Möglichkeiten: schneidend parallel identisch Durch Vergleich der beiden Richtungsvektoren kann sofort festgestellt werden, ob sich die beiden Geraden schneiden. Dafür kann aus der Koordinatenform der Normalvektor abgelesen werden. Diesen kann man dann zu einem Richtungsvektor umwandeln: \(g_2\; : \; \; \; 3x - 4y = 16\) \(\rightarrow \vec{n} = \left(\begin{array}{c} {3} \\ {-4} \end{array}\right)\) \(\rightarrow \vec{g_2} = \left(\begin{array}{c} {4} \\ {3} \end{array}\right)\) Nun können die beiden Richtungsvektoren verglichen werden: \(\vec{g_1} = \left(\begin{array}{c} {8} \\ {6} \end{array}\right)\) und \(\vec{g_2} = \left(\begin{array}{c} {4} \\ {3} \end{array}\right)\) Es kann sofort erkannt werden, dass gilt: \(\vec{g_1} = 2 \cdot \vec{g_2}\) Die Geraden sind somit entweder parallel oder identisch. Um zwischen diesen Fällen zu unterscheiden, muss überprüft werden, ob ein Punkt der auf einer der beiden Geraden liegt auch auf der anderen Geraden liegt. Also z.B.: \(\left(\begin{array}{c} {-1} \\ {1} \end{array}\right) \in g_2 ?\) \(\rightarrow \; 3\cdot (-1) - 4\cdot 1 = -3 - 4 = - 7 \neq 16\) Daraus folgt: \(\left(\begin{array}{c} {-1} \\ {1} \end{array}\right) \notin g_2 \) Die Geraden sind parallel.

Berechnen Sie mit Hilfe der Vektorrechnung den Schwerpunkt des Dreiecks ABC: \(A =\left(\begin{array}{c} {2} \\ {1} \\ {3} \end{array}\right)\), \(B =\left(\begin{array}{c} {6} \\ {3} \\ {-1} \end{array}\right)\), \(C =\left(\begin{array}{c} {4} \\ {3} \\ {2} \end{array}\right)\) Nr. 4277
	\(S = \frac{1}{3} \left(\begin{array}{c} {12} \\ {7} \\ {4} \end{array}\right) \)
	\(S = \frac{1}{2} \left(\begin{array}{c} {12} \\ {7} \\ {4} \end{array}\right) \)
	\(S = \left(\begin{array}{c} {5} \\ {0} \\ {2} \end{array}\right) \)
	\(S = \frac{1}{3} \left(\begin{array}{c} {2} \\ {-1} \\ {0} \end{array}\right) \)
	\(S = \left(\begin{array}{c} {4} \\ {3} \\ {-1} \end{array}\right) \)
Lösungsweg Für den Schwerpunkt S eines Dreiecks gilt: \(S = \frac{1}{3} \big( A + B + C \big)\) Daher: \(S = \frac{1}{3} \Bigg[ \left(\begin{array}{c} {2} \\ {1} \\ {3} \end{array}\right) + \left(\begin{array}{c} {6} \\ {3} \\ {-1} \end{array}\right) \)\( + \left(\begin{array}{c} {4} \\ {3} \\ {2} \end{array}\right) \Bigg]\) \(S = \frac{1}{3} \left(\begin{array}{c} {12} \\ {7} \\ {4} \end{array}\right) \)

Von einem Dreieck ABC sind zwei Eckpunkte sowie der Schwerpunkt S bekannt. Berechnen Sie den fehlenden Eckpunkt! \(B =\left(\begin{array}{c} {-1} \\ {-2} \\ {-3} \end{array}\right),\; C =\left(\begin{array}{c} {4} \\ {2} \\ {0} \end{array}\right), \; S =\left(\begin{array}{c} {3} \\ {3} \\ {3} \end{array}\right)\) Nr. 4278
	\(A = 3\cdot\left(\begin{array}{c} {3} \\ {5} \\ {4} \end{array}\right) \)
	\(A = \frac{1}{3}\left(\begin{array}{c} {2} \\ {4} \\ {1} \end{array}\right) \)
	\(A = -\frac{1}{3} \left(\begin{array}{c} {6} \\ {9} \\ {12} \end{array}\right) \)
	\(A = \left(\begin{array}{c} {6} \\ {9} \\ {12} \end{array}\right) \)
Lösungsweg Für den Schwerpunkt S eines Dreiecks gilt: \(S = \frac{1}{3} \big( A + B + C \big)\) Daraus erhalten Sie für den fehlenden Eckpunkt A: \(A = 3S - B - C\) Einsetzten ergibt: \(A = 3 \cdot \left(\begin{array}{c} {3} \\ {3} \\ {3} \end{array}\right) - \left(\begin{array}{c} {-1} \\ {-2} \\ {-3} \end{array}\right) - \)\(\left(\begin{array}{c} {4} \\ {2} \\ {0} \end{array}\right)\) \(A = \left(\begin{array}{c} {9+1-4} \\ {9+2-2} \\ {9+3-0} \end{array}\right) \) \(A = \left(\begin{array}{c} {6} \\ {9} \\ {12} \end{array}\right) \)

Geben Sie die Gerade durch A und B in Parameterform an, sodass der Richtungsvektor möglichst kleine, ganzzahlige Koordinaten aufweist! \(A =\left(\begin{array}{c} {2} \\ {1} \\ {3} \end{array}\right)\), \(B =\left(\begin{array}{c} {6} \\ {3} \\ {-1} \end{array}\right)\) Nr. 4279
	\(g: \; X = \left(\begin{array}{c} {2} \\ {1} \\ {3} \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} {2} \\ {1} \\ {-2} \end{array}\right)\)
	\(g: \; X = \left(\begin{array}{c} {2} \\ {1} \\ {3} \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} {4} \\ {2} \\ {-4} \end{array}\right)\)
	\(g: \; X = \left(\begin{array}{c} {6} \\ {3} \\ {-1} \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} {8} \\ {4} \\ {2} \end{array}\right)\)
	\(g: \; X = 6 + 2t\)
Lösungsweg Die allgemeine Parameterform einer Gerade g im \(\mathbb{R}^3 \) lautet: \(g: \; X= A + t \cdot \vec{g}\) , mit \(A \in g , \; t \in \mathbb{R}\) und \( \vec{g}\) ein Richtungsvektor. Zuerst muss der Richtungsvektor aufgestellt werden: \(\vec{g} = \vec{AB} = B - A = \left(\begin{array}{c} {6} \\ {3} \\ {-1} \end{array}\right) - \left(\begin{array}{c} {2} \\ {1} \\ {3} \end{array}\right) = \)\(\left(\begin{array}{c} {4} \\ {2} \\ {-4} \end{array}\right)\) Der Richtungsvektor kann nun noch verkürzt werden (denn dabei ändert sich die Richtung des Vektors nicht, nur seine Länge): \(\vec{g} = \left(\begin{array}{c} {2} \\ {1} \\ {-2} \end{array}\right)\) Sie können entweder den Punkt A oder den Punkt B in die Geradengleichung einsetzen. Hier wird A gewählt: \(g: \; X = \left(\begin{array}{c} {2} \\ {1} \\ {3} \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} {2} \\ {1} \\ {-2} \end{array}\right)\)

Gegeben ist folgende Gerade im \(\mathbb{R}^3\): \(g: \; X = \left(\begin{array}{c} {1} \\ {5} \\ {-4} \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} {1} \\ {-2} \\ {3} \end{array}\right)\) , \(t \in \mathbb{R}\). Berechnen Sie den Abstand zwischen der Gerade g und dem Punkt \(P = \left(\begin{array}{c} {10} \\ {-5} \\ {8} \end{array}\right)\) Nr. 4280
	\(d (P, \; g) = 5.75\)
	\(d (P, \; g) = 5 \sqrt{ \frac{13}{14} }\)
	\(d (P, \; g) = 125\)
	\(d (P, \; g) = 3 \sqrt{2 \pi}\)
	\(d (P, \; g) = -11.684 \)
Lösungsweg Im \(\mathbb{R}^3\) kann der Abstand zwischen einem Punkt und einer Geraden folgendermaßen berechnet werden: \(d (P, \; g) = \mid \vec{AP} \times \vec{g_0} \mid\) , wobei \(A \in g\) und \(\vec{g_0}\) der Richtungsvektor der Geraden g mit der Länge 1 (also der normierte Richtungsvektor der Geraden g) ist. Somit: \(\vec{AP} = P - A = \left(\begin{array}{c} {10} \\ {-5} \\ {8} \end{array}\right) - \left(\begin{array}{c} {1} \\ {5} \\ {-4} \end{array}\right) = \)\(\left(\begin{array}{c} {9} \\ {-10} \\ {12} \end{array}\right)\) \(\vec{g_0} = \frac{1}{ \mid \vec{g} \mid } \cdot \vec{g} = \frac{1}{ \sqrt{1^2+(-2)^2+3^2} } \left(\begin{array}{c} {1} \\ {-2} \\ {3} \end{array}\right)\)\(= \frac{1}{ \sqrt{14} } \left(\begin{array}{c} {1} \\ {-2} \\ {3} \end{array}\right)\) \(\vec{AP} \times \vec{g_0} = \frac{1}{\sqrt{14}} \left(\begin{array}{c} {9} \\ {-10} \\ {12} \end{array}\right) \times \left(\begin{array}{c} {1} \\ {-2} \\ {3} \end{array}\right) = \)\(\frac{1}{\sqrt{14}} \left(\begin{array}{c} {-30 +24} \\ {-27+12} \\ {-18+10} \end{array}\right) = \frac{1}{\sqrt{14}} \left(\begin{array}{c} {-6} \\ {-15} \\ {-8} \end{array}\right)\) \(d (P, \; g) = \mid \vec{AP} \times \vec{g_0} \mid = \mid \; \frac{1}{\sqrt{14}} \left(\begin{array}{c} {-6} \\ {-15} \\ {-8} \end{array}\right) \; \mid\)\(= \frac{1}{\sqrt{14}} \sqrt{(-6)^2 + (-15)^2 + (-8)^2} = \frac{\sqrt{325}}{\sqrt{14}} = 5 \sqrt{ \frac{13}{14} }\)

Gegeben ist folgende Gerade im \(\mathbb{R}^3\): \(g: \; X = \left(\begin{array}{c} {1} \\ {0} \\ {5} \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} {1} \\ {2} \\ {-1} \end{array}\right)\) , \(t \in \mathbb{R}\). Berechnen Sie den Abstand zwischen der Gerade g und dem Punkt \(P = \left(\begin{array}{c} {24} \\ {5} \\ {-2} \end{array}\right)\) Nr. 4281
	\(d (P, \; g) = 45\)
	\(d (P, \; g) = \sqrt{ \frac{1009}{3} }\)
	\(d (P, \; g) = \sqrt{ \frac{25}{7} }\)
	\(d (P, \; g) = \frac{1009}{3}\)
	\(d (P, \; g) = 2051\)
Lösungsweg Im \(\mathbb{R}^3\) kann der Abstand zwischen einem Punkt und einer Geraden folgendermaßen berechnet werden: \(d (P, \; g) = \mid \vec{AP} \times \vec{g_0} \mid\) , wobei \(A \in g\) und \(\vec{g_0}\) der Richtungsvektor der Geraden g mit Länge 1 ist. Somit: \(\vec{AP} = P - A = \left(\begin{array}{c} {24} \\ {5} \\ {-2} \end{array}\right) - \left(\begin{array}{c} {1} \\ {0} \\ {5} \end{array}\right) = \)\(\left(\begin{array}{c} {23} \\ {5} \\ {-7} \end{array}\right)\) \(\vec{g_0} = \frac{1}{ \mid \vec{g} \mid } \cdot \vec{g} = \frac{1}{ \sqrt{1^2+2^2+(-1)^2} } \left(\begin{array}{c} {1} \\ {2} \\ {-1} \end{array}\right)\)\(= \frac{1}{ \sqrt{6} } \left(\begin{array}{c} {1} \\ {2} \\ {-1} \end{array}\right)\) \(\vec{AP} \times \vec{g_0} = \frac{1}{ \sqrt{6} } \left(\begin{array}{c} {23} \\ {5} \\ {-7} \end{array}\right) \times \left(\begin{array}{c} {1} \\ {2} \\ {-1} \end{array}\right)\)\(= \frac{1}{\sqrt{6}} \left(\begin{array}{c} {9} \\ {16} \\ {41} \end{array}\right)\) \(d (P, \; g) = \mid \vec{AP} \times \vec{g_0} \mid = \mid \; \frac{1}{\sqrt{6}} \left(\begin{array}{c} {9} \\ {16} \\ {41} \end{array}\right) \; \mid\)\( = \frac{1}{\sqrt{6}} \sqrt{9^2+16^2+41^2} = \frac{ \sqrt{2018} }{\sqrt{6}} = \sqrt{ \frac{2018}{6}} = \sqrt{ \frac{1009}{3} }\)

Geben Sie die Lagebeziehung der folgenden beiden Geraden im \(\mathbb{R}^3\) an: \(g_1: \; X = \left(\begin{array}{c} {1} \\ {0} \\ {0} \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} {1} \\ {-2} \\ {3} \end{array}\right)\) , \(t \in \mathbb{R}\). \(g_2: \; X = \left(\begin{array}{c} {0} \\ {1} \\ {1} \end{array}\right) + s \cdot \left(\begin{array}{c} {-1} \\ {1} \\ {0} \end{array}\right)\) , \(s \in \mathbb{R}\). Nr. 4282
	Die Geraden sind windschief.
	Die Geraden sind parallel.
	Die Geraden sind identisch.
	Die Geraden sind schneidend.
Lösungsweg Im \(\mathbb{R}^3\) gibt es für die Lagebeziehung zweier Geraden folgende vier Möglichkeiten: parallel identisch schneidend windschief (=kreuzend) Analog zum zweidimensionalen Fall kann zwischen den ersten beiden und letzten beiden Fällen entschieden werden, indem zuerst die beiden Richtungsvektoren verglichen werden: \(\vec{g_1} = \left(\begin{array}{c} {1} \\ {-2} \\ {3} \end{array}\right)\) und \(\vec{g_2} = \left(\begin{array}{c} {-1} \\ {1} \\ {0} \end{array}\right)\) Diese beiden Vektoren sind kein Vielfaches voneinander, somit sind die Geraden weder parallel noch identisch. Um zwischen dem dritten und vierten Fall zu unterscheiden, muss untersucht werden, ob die Geraden einen gemeinsamen Schnittpunkt S haben: \(g_1 \cap g_2 \stackrel{?}{=} \{ S\}\) \(\rightarrow \left(\begin{array}{c} {1} \\ {0} \\ {0} \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} {1} \\ {-2} \\ {3} \end{array}\right) = \)\(\left(\begin{array}{c} {0} \\ {1} \\ {1} \end{array}\right) + s \cdot \left(\begin{array}{c} {-1} \\ {1} \\ {0} \end{array}\right)\) Daraus erhält man drei lineare Gleichungen für s und t. \( 1 + t = -s \\ -2 t = 1 + s \\ 3t = 1\) Zur Berechnung der beiden Parameter reichen zwei Gleichungen aus, hier werden die zweite und die dritte gewählt \(3t = 1 \rightarrow t = \frac{1}{3}\) \(\rightarrow -2 \cdot \frac{1}{3} = 1 +s \rightarrow s = -\frac{1}{3}\) Nun gilt es, zu überprüfen ob mit diesen beiden Parameterwerten auch die erste Zeile erfüllt ist: \( 1 + \frac{1}{3} \; \neq -(-\frac{1}{3})\) Die beiden Geraden besitzen keinen Schnittpunkt, sie sind windschief.

Geben Sie die Lagebeziehung der folgenden beiden Geraden im \(\mathbb{R}^3\) an: \(g_1: \; X = \left(\begin{array}{c} {3} \\ {3} \\ {-2} \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} {2} \\ {0} \\ {-14} \end{array}\right)\) , \(t \in \mathbb{R}\). \(g_2: \; X = \left(\begin{array}{c} {2} \\ {3} \\ {5} \end{array}\right) + s \cdot \left(\begin{array}{c} {-3} \\ {4} \\ {6} \end{array}\right)\) , \(s \in \mathbb{R}\). Nr. 4283
	Die Geraden sind identisch.
	Die Geraden sind parallel.
	Die Geraden sind windschief.
	Die Geraden schneiden einander.
Lösungsweg Im \(\mathbb{R}^3\) gibt es für die Lagebeziehung zweier Geraden folgende vier Möglichkeiten: parallel identisch schneidend windschief (=kreuzend) Analog zum zweidimensionalen Fall kann zwischen den ersten beiden und letzten beiden Fällen entschieden werden, indem zuerst die beiden Richtungsvektoren verglichen werden: \(\vec{g_1} = \left(\begin{array}{c} {2} \\ {0} \\ {-14} \end{array}\right)\) und \(\vec{g_2} = \left(\begin{array}{c} {-3} \\ {4} \\ {6} \end{array}\right)\) Diese beiden Vektoren sind kein Vielfaches voneinander, somit sind die Geraden weder parallel noch identisch. Um zwischen dem dritten und vierten Fall zu unterscheiden, muss untersucht werden, ob die Geraden einen gemeinsamen Schnittpunkt S haben: \(g_1 \cap g_2 \stackrel{?}{=} \{ S\}\) \(\rightarrow \left(\begin{array}{c} {3} \\ {3} \\ {-2} \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} {2} \\ {0} \\ {-14} \end{array}\right) =\)\(\left(\begin{array}{c} {2} \\ {3} \\ {5} \end{array}\right) + s \cdot \left(\begin{array}{c} {-3} \\ {4} \\ {6} \end{array}\right)\) Daraus erhält man drei lineare Gleichungen für s und t. \(3 + 2t = 2 -3s \\ 3 = 3 + 4s\\ -2 -14t = 5 +6s\) Zur Berechnung der beiden Parameter reichen zwei Gleichungen aus, hier werden die zweite und die erste gewählt: \(3 = 3 + 4s \rightarrow s = 0\) \(3 + 2t = 2 -3 \cdot 0 \\ 2t = -1 \\ t = -\frac{1}{2}\) Nun gilt es, zu überprüfen ob mit diesen beiden Parameterwerten auch die dritte Gleichung erfüllt ist: \(-2 -14t = 5 +6s \\ -2 -14 (-\frac{1}{2} ) \stackrel{?}{=} 5 +6 \cdot 0 \\ 5 = 5 \surd\) Die Geraden schneiden einander also.

Geben Sie die Lagebeziehung der folgenden beiden Geraden im \(\mathbb{R}^3\) an: \(g_1: \; X = \left(\begin{array}{c} {2} \\ {1} \\ {5} \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} {-4} \\ {6} \\ {14} \end{array}\right)\) , \(t \in \mathbb{R}\). \(g_2: \; X = \left(\begin{array}{c} {-3} \\ {7} \\ {18} \end{array}\right) + s \cdot \left(\begin{array}{c} {2} \\ {-3} \\ {-7} \end{array}\right)\) , \(s \in \mathbb{R}\). Nr. 4284
	Die Geraden sind identisch.
	Die Geraden sind parallel.
	Die Geraden sind schneidend.
	Die Geraden sind windschief.
Lösungsweg Im \(\mathbb{R}^3\) gibt es für die Lagebeziehung zweier Geraden folgende vier Möglichkeiten: parallel identisch schneidend windschief (=kreuzend) Analog zum zweidimensionalen Fall kann zwischen den ersten beiden und letzten beiden Fällen entschieden werden, indem zuerst die beiden Richtungsvektoren verglichen werden: \(\vec{g_1} = \left(\begin{array}{c} {-4} \\ {6} \\ {14} \end{array}\right)\) und \(\vec{g_2} =\left(\begin{array}{c} {2} \\ {-3} \\ {-7} \end{array}\right)\) Man erkennt: \(\vec{g_1} = -2 \cdot \vec{g_2}\) Die Geraden sind somit parallel oder identisch. Um das zu entscheiden, muss überprüft werden, ob ein Punkt der auf \(g_1\) liegt auch auf \(g_2\) liegt. Also: \(\left(\begin{array}{c} {2} \\ {1} \\ {5} \end{array}\right) \in g_2 ?\) \(\left(\begin{array}{c} {2} \\ {1} \\ {5} \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} {-3} \\ {7} \\ {18} \end{array}\right) + s \cdot \left(\begin{array}{c} {2} \\ {-3} \\ {-7} \end{array}\right)\) Aus der ersten Zeile erhält man: \(2 = - 3 + 2 s \rightarrow s=\frac{5}{2}\) Aus der zweiten Zeile folgt: \(1 = 7 - 3 s \rightarrow s=2\) Daraus lässt sich schließen, dass kein Schnittpunkt existiert. Die Geraden sind parallel.

Berechnen Sie den Winkel, den die beiden Geraden einschließen: \(g: \; X = \left(\begin{array}{c} {9} \\ {4} \\ {-1} \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} {8} \\ {2} \\ {-4} \end{array}\right)\) , \(t \in \mathbb{R}\). \(h: \; X = \left(\begin{array}{c} {-11} \\ {7} \\ {-5} \end{array}\right) + s \cdot \left(\begin{array}{c} {-8} \\ {2} \\ {-3} \end{array}\right)\) , \(s \in \mathbb{R}\). Nr. 4285
	\(\varphi = 53,36^\circ\)
	\(\varphi = 13.27^\circ\)
	\(\varphi = 90^\circ\)
	\(\varphi = 207.69^\circ\)
Lösungsweg Der Winkel \(\varphi \) zwischen den beiden Geraden g und h ist gegeben durch: \(\varphi = \arccos (\|\vec{g_0}\cdot \vec{h_0}\|)\), wobei \(\vec{g_0}\) und \(\vec{h_0}\) die jeweiligen Richtungsvektoren mit Länge 1 sind. \(\vec{g_0} = \frac{ \vec{g} }{ \mid \vec{g} \mid } = \frac{1}{ \sqrt{ 8^2 +2^2+(-4)^2} } \left(\begin{array}{c} {8} \\ {2} \\ {-4} \end{array}\right) = \)\( \frac{1}{ \sqrt{ 84} } \left(\begin{array}{c} {8} \\ {2} \\ {-4} \end{array}\right) \) \(\vec{h_0} = \frac{ \vec{h} }{ \mid \vec{h} \mid } = \frac{1}{ \sqrt{ (-8)^2 +2^2+(-3)^2} } \left(\begin{array}{c} {-8} \\ {2} \\ {-3} \end{array}\right) \)\(= \frac{1}{ \sqrt{ 77} } \left(\begin{array}{c} {-8} \\ {2} \\ {-3} \end{array}\right) \) \(\vec{g_0}\cdot \vec{h_0} = \frac{1}{ \sqrt{ 84} } \left(\begin{array}{c} {8} \\ {2} \\ {-4} \end{array}\right) \cdot \)\( \frac{1}{ \sqrt{ 77} } \left(\begin{array}{c} {-8} \\ {2} \\ {-3} \end{array}\right) \)\(= \frac{1}{14\sqrt{33}} \big( 8 \cdot (-8) + 2 \cdot 2 -4 \cdot(-3) \big) = \frac{-48}{14\sqrt{33}} \) \(\varphi = \arccos (\|\vec{g_0}\cdot \vec{h_0}\|) = \arccos \Big( \frac{48}{14\sqrt{33}} \Big) \approx 53,36^\circ\)

Berechnen Sie den Winkel, den die beiden Geraden einschließen: \(g: \; X = \left(\begin{array}{c} {0} \\ {0} \\ {9} \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} {-1} \\ {-2} \\ {5} \end{array}\right)\) , \(t \in \mathbb{R}\). \(h: \; X = \left(\begin{array}{c} {2} \\ {-4} \\ {-1} \end{array}\right) + s \cdot \left(\begin{array}{c} {1} \\ {-2} \\ {-5} \end{array}\right)\) , \(s \in \mathbb{R}\). Nr. 4286
	\(\varphi = 90^\circ\)
	\(\varphi = 0^\circ\)
	\(\varphi = 42,83^\circ\)
	\(\varphi = 15.83^\circ\)
	\(\varphi = 163.47^\circ\)
Lösungsweg Der Winkel \(\varphi \) zwischen den beiden Geraden g und h ist gegeben durch: \(\varphi = \arccos (\|\vec{g_0}\cdot \vec{h_0}\|)\), wobei \(\vec{g_0}\) und \(\vec{h_0}\) die jeweiligen Richtungsvektoren mit Länge 1 sind. \(\vec{g_0} = \frac{ \vec{g} }{ \mid \vec{g} \mid } = \frac{1}{ \sqrt{ (-1)^2 +(-2)^2+5^2} } \left(\begin{array}{c} {-1} \\ {-2} \\ {5} \end{array}\right) = \)\(\frac{1}{ \sqrt{ 30} } \left(\begin{array}{c} {-1} \\ {-2} \\ {5} \end{array}\right) \) \(\vec{h_0} = \frac{ \vec{h} }{ \mid \vec{h} \mid } = \frac{1}{ \sqrt{ 1^2 + (-2)^2+(-5)^2} } \left(\begin{array}{c} {1} \\ {-2} \\ {-5} \end{array}\right) \)\(= \frac{1}{ \sqrt{ 30} } \left(\begin{array}{c} {1} \\ {-2} \\ {-5} \end{array}\right) \) \(\vec{g_0}\cdot \vec{h_0} = \frac{1}{ \sqrt{ 30} } \left(\begin{array}{c} {-1} \\ {-2} \\ {5} \end{array}\right) \cdot \)\( \frac{1}{ \sqrt{ 30} } \left(\begin{array}{c} {1} \\ {-2} \\ {-5} \end{array}\right) \)\(= \frac{1}{ 30 } \Big( (-1)\cdot 1 - 2 \cdot (-2) + 5 \cdot (-5) \Big) = \frac{-22}{ 30 } =- \frac{11}{ 15 }\) \(\varphi = \arccos (\|\vec{g_0}\cdot \vec{h_0}\|) = \arccos \Big( \frac{11}{15} \Big) \approx 42,83^\circ\)

Gegeben sind drei Punkte A, B, C. Geben Sie die Parameterdarstellung der Ebene an, in der die drei Punkte liegen. \(A =\left(\begin{array}{c} {2} \\ {1} \\ {3} \end{array}\right)\), \(B =\left(\begin{array}{c} {6} \\ {3} \\ {-1} \end{array}\right)\), \(C =\left(\begin{array}{c} {0} \\ {3} \\ {-2} \end{array}\right)\) Nr. 4287
	\(\epsilon: \; X = \left(\begin{array}{c} {2} \\ {1} \\ {3} \end{array}\right) + s \cdot \left(\begin{array}{c} {4} \\ {2} \\ {-4} \end{array}\right) + \)\(t \cdot \left(\begin{array}{c} {-2} \\ {2} \\ {-5} \end{array}\right)\)
	\(\epsilon: \; X = \left(\begin{array}{c} {2} \\ {1} \\ {3} \end{array}\right) + s \cdot \left(\begin{array}{c} { 3} \\ {1} \\ {-5} \end{array}\right) \)
	\(\epsilon: \; X = \left(\begin{array}{c} {1} \\ {1} \\ {1} \end{array}\right) + s \cdot \left(\begin{array}{c} {3} \\ {2} \\ {-4} \end{array}\right) + \)\(t \cdot \left(\begin{array}{c} {1} \\ {0} \\ {-3} \end{array}\right)\)
	\(\epsilon: \; 2x-3y+6z=24 \)
Lösungsweg Die allgemeine Parameterform bzw. - darstellung einer Ebene im \( \mathbb{R}^3\) lautet: \(\epsilon: \; X = A + s \cdot \vec{r_1} + t \cdot \vec{r_2}\) , wobei \(A \in \epsilon\), \( s, \; t \in \mathbb{R}\) und \(\vec{r_1}, \; \vec{r_2} \) zwei Richtungsvektoren, die vom Punkt A aus die Ebene aufspannen. Zuerst müssen die beiden Richtungsvektoren aufgestellt werden: \( \vec{r_1}= \vec{AB} = B -A = \left(\begin{array}{c} {6} \\ {3} \\ {-1} \end{array}\right) - \left(\begin{array}{c} {2} \\ {1} \\ {3} \end{array}\right) =\)\(\left(\begin{array}{c} {4} \\ {2} \\ {-4} \end{array}\right)\) \( \vec{r_2}= \vec{AC} = C -A = \left(\begin{array}{c} {0} \\ {3} \\ {-2} \end{array}\right) - \left(\begin{array}{c} {2} \\ {1} \\ {3} \end{array}\right) =\)\(\left(\begin{array}{c} {-2} \\ {2} \\ {-5} \end{array}\right)\) Die Parameterdarstellung der Ebene lautet somit: \(\epsilon: \; X = \left(\begin{array}{c} {2} \\ {1} \\ {3} \end{array}\right) + s \cdot \left(\begin{array}{c} {4} \\ {2} \\ {-4} \end{array}\right) + \)\(t \cdot \left(\begin{array}{c} {-2} \\ {2} \\ {-5} \end{array}\right)\)

Berechnen Sie den Abstand zwischen dem folgenden Punkt P und der Ebene: \(\epsilon: \; \; x + 3y - 2z = 1\) \(P =\left(\begin{array}{c} {5} \\ {3} \\ {-6} \end{array}\right)\) Nr. 4289
	\(d(P, \epsilon) = \frac{\sqrt{17}}{3}\)
	\(d(P, \epsilon) = 128\)
	\(d(P, \epsilon) = \frac{25}{ \sqrt{14}\)
	\(d(P, \epsilon) = \sqrt{ \frac{129}{14} }\)
	\(d(P, \epsilon) \approx 0.23\)
Lösungsweg Der Abstand lässt sich über die Hesse'sche Abstandsformel berechnen: \(d(P, \epsilon) = \mid \vec{AP} \cdot \vec{n_0} \mid\) , wobei \(A \in \epsilon\) und \(\vec{n_0} \perp \epsilon\) mit Länge 1. Der Normalvektor lässt sich direkt aus der Ebenengleichung ablesen: \(\vec{n} = \left(\begin{array}{c} {1} \\ {3} \\ {-2} \end{array}\right)\) Nun wir der Einheitsvektor von \(\vec{n}\) benötigt: \(\vec{n_0} = \frac{1}{ \mid \vec{n} \mid } \cdot \vec{n} = \frac{1}{ \sqrt{1^2+3^2+(-2)^2} } \left(\begin{array}{c} {1} \\ {3} \\ {-2} \end{array}\right)\)\(= \frac{1}{ \sqrt{14} } \left(\begin{array}{c} {1} \\ {3} \\ {-2} \end{array}\right)\) Um den Punkt A zu erhalten, wird folgendes Wissen benutzt: Die rechte Seite der Ebenegleichung besagt \(\vec{n} \cdot \vec{A} = 1\) \(\rightarrow \left(\begin{array}{c} {1} \\ {3} \\ {-2} \end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c} {a_1} \\ {a_2} \\ {a_3} \end{array}\right) =1\) Die \(a_i\) müssen so bestimmt werden, dass die obige Gleichung erfüllt ist. Die einfachste Wahl ergibt: \(A = \left(\begin{array}{c} {1} \\ {0} \\ {0} \end{array}\right)\) \(\vec{AP} = P -A = \left(\begin{array}{c} {5} \\ {3} \\ {-6} \end{array}\right) - \left(\begin{array}{c} {1} \\ {0} \\ {0} \end{array}\right) = \)\(\left(\begin{array}{c} {4} \\ {3} \\ {-6} \end{array}\right)\) \(d(P, \epsilon) = \mid \vec{AP} \cdot \vec{n_0} \mid = \mid \left(\begin{array}{c} {4} \\ {3} \\ {-6} \end{array}\right) \cdot \)\( \frac{1}{ \sqrt{14} } \left(\begin{array}{c} {1} \\ {3} \\ {-2} \end{array}\right) \mid\) \(d(P, \epsilon) = \mid \frac{1}{ \sqrt{14} } \big( 4 \cdot 1 +3 \cdot 3 -6 \cdot (-2) \big) \mid = \mid \frac{25}{ \sqrt{14} } \mid \)

Berechnen Sie den Schnittpunkt der folgenden Ebene \(\epsilon: \; 2x +2y-z = 8\) mit der Geraden durch die beiden Punkte \(A =\left(\begin{array}{c} {2} \\ {3} \\ {-2} \end{array}\right)\) und \(B =\left(\begin{array}{c} {4} \\ {0} \\ {-8} \end{array}\right)\). Nr. 4291
	\( S = \left(\begin{array}{c} {1} \\ {0} \\ {-2} \end{array}\right) \)
	\( S = \left(\begin{array}{c} {4} \\ {0} \\ {-8} \end{array}\right) \)
	\( S = \left(\begin{array}{c} {0} \\ {6} \\ {4} \end{array}\right) \)
	\( S = \left(\begin{array}{c} {2-t} \\ {3- 2t} \\ {-2-6t} \end{array}\right) \) mit \(t \in \mathbb{R}.\)
	\( S = \left(\begin{array}{c} {6} \\ {-3} \\ {-14} \end{array}\right) \)
Lösungsweg Zuerst wird die Gerade in Parameterform bestimmt. Die allgemeine Parameterform einer Geraden lautet: \(g: \; X = A + t \cdot \vec{g}\), wobei \(A \in g\), \( t \in \mathbb{R}\) und \(\vec{g}\) ein Richtungsvektor der Geraden ist. Zuerst wird der Richtungsvektor bestimmt: \(\vec{g}= \vec{AB} = B -A = \left(\begin{array}{c} {4} \\ {0} \\ {-8} \end{array}\right) - \left(\begin{array}{c} {2} \\ {3} \\ {-2} \end{array}\right) =\)\(\left(\begin{array}{c} {2} \\ {-3} \\ {-6} \end{array}\right)\) Für die Gerade folgt also: \(g: \; X = \left(\begin{array}{c} {2} \\ {3} \\ {-2} \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} {2} \\ {-3} \\ {-6} \end{array}\right)\), mit \(t \in \mathbb{R}.\) Daraus kann man für die drei Koordinaten folgende Gleichungen ablesen: \(x = 2 + 2t \\ y = 3 -3t \\ z = -2 -6t\) Mit diesen Gleichungen können die drei Koordinaten in der Ebenengleichung ersetzt werden: \(\epsilon: \; 2x +2y-z = 8\) \(\rightarrow 2(2+2t) +2(3-3t)-(-2-6t) = 8\) \(4 + 4t + 6 - 6t + 2 + 6t = 8 \\ 12 + 4t = 8 \\ 4t = -4 \\ t = -1\) Den Schnittpunkt erhalten Sie, indem Sie in der Parameterdarstellung der Geraden für t die Zahl (-1) einsetzen: \(g: \; S = \left(\begin{array}{c} {2} \\ {3} \\ {-2} \end{array}\right) + (-1) \cdot \left(\begin{array}{c} {2} \\ {-3} \\ {-6} \end{array}\right)\) \( S = \left(\begin{array}{c} {0} \\ {6} \\ {4} \end{array}\right) \)

Berechnen Sie den Schnittpunkt der folgenden Ebene \(\epsilon: \; -(x+2) +2(y+3)+4(z-1) = 0\) mit der Geraden durch die beiden Punkte \(A =\left(\begin{array}{c} {-1} \\ {3} \\ {0} \end{array}\right)\) und \(B =\left(\begin{array}{c} {0} \\ {2} \\ {-3} \end{array}\right)\). Nr. 4292
	\(S = \left(\begin{array}{c} {2+t} \\ {3-2t} \\ {-4t} \end{array}\right) \) , mit \(t \in \mathbb{R}.\)
	\(S = \frac{2}{3} \left(\begin{array}{c} {0} \\ {8} \\ {-2} \end{array}\right) \)
	\(S = \left(\begin{array}{c} {-2} \\ {3} \\ {1} \end{array}\right) \)
	\(S = \frac{1}{15} \left(\begin{array}{c} {-8} \\ {38} \\ {-21} \end{array}\right) \)
Lösungsweg Zuerst wird die Gerade in Parameterform bestimmt. Die allgemeine Parameterform einer Geraden lautet: \(g: \; X = A + t \cdot \vec{g}\), wobei \(A \in g\), \( t \in \mathbb{R}\) und \(\vec{g}\) ein Richtungsvektor der Geraden. Zuerst wird der Richtungsvektor bestimmt: \(\vec{g}= \vec{AB} = B -A = \left(\begin{array}{c} {0} \\ {2} \\ {-3} \end{array}\right) - \left(\begin{array}{c} {-1} \\ {3} \\ {0} \end{array}\right) =\)\(\left(\begin{array}{c} {1} \\ {-1} \\ {-3} \end{array}\right)\) Für die Gerade folgt also: \(g: \; X = \left(\begin{array}{c} {-1} \\ {3} \\ {0} \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} {1} \\ {-1} \\ {-3} \end{array}\right)\), mit \(t \in \mathbb{R}.\) Daraus kann man für die drei Koordinaten folgende Gleichungen ablesen: \(x = -1 + t \\ y = 3 -t \\ z = -3t \) Mit diesen Gleichungen können die drei Koordinaten in der Ebenengleichung ersetzt werden: \(\epsilon: \; -(x+2) +2(y+3)+4(z-1) = 0\) \(\rightarrow -( -1+t +2 ) + 2(3-t +3) + 4(-3t-1) = 0\) \(1-t-2 + 6-2t+6 -12t-4= 0 \\ 7 -15t = 0 \\ -15 t = -7 \\ t = \frac{7}{15}\) Den Schnittpunkt erhalten Sie, indem Sie in der Parameterdarstellung der Geraden für t die Zahl 7/15 einsetzen: \(g: \; S = \left(\begin{array}{c} {-1} \\ {3} \\ {0} \end{array}\right) + \frac{7}{15} \cdot \left(\begin{array}{c} {1} \\ {-1} \\ {-3} \end{array}\right)\) \(S = \frac{1}{15} \left(\begin{array}{c} {-8} \\ {38} \\ {-21} \end{array}\right) \)

Berechnen Sie den Winkel zwischen der folgenden Ebene \(\epsilon: \; 2x +2y-z = 8\) und der Geraden \(g: \; X = \left(\begin{array}{c} {2} \\ {3} \\ {-2} \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} {2} \\ {-3} \\ {-6} \end{array}\right)\), mit \(t \in \mathbb{R}.\) Nr. 4293
	\(\varphi= 10,98^\circ\)
	\(\varphi= 90^\circ\)
	\(\varphi= 153.68^\circ\)
	\(\varphi= 28^\circ\)
	\(\varphi= \frac{3\pi}{4}\)
Lösungsweg Der Winkel \(\varphi\) zwischen einer Ebene und einer Geraden kann mit Hilfe der Vektor-Winkel-Formel berechnet werden: Um also \(\varphi\) zu erhalten, mussen wir zuerst den vom Richtungsvektor der Geraden und vom Normalvektor der Ebene eingeschlossenen Winkel berechnen. Im Anschluss ziehen wir diesen Winkel dann von \(90^\circ\) ab und erhalten somit den Winkel zwischen der Geraden und der Ebene. \(\cos\angle(\vec{n};\vec{g}) = \vec{g_0} \cdot \vec{n_0}\) , wobei \(\vec{g_0}\) der Richtungsvektor der Geraden mit Länge 1 und \(\vec{n_0}\) der Normalvektor der Ebene mit Länge 1 ist. Das heißt: \(\cos\angle(\vec{n};\vec{g}) = \frac { \vec{g} \cdot \vec{n} }{ \mid \vec{g} \mid \cdot \mid \vec{n} \mid }\) Der Normalvektor kann direkt aus der Ebenengleichung abgelesen werden: \(\epsilon: \; 2x +2y-z = 8\) \(\rightarrow \vec{n} = \left(\begin{array}{c} {2} \\ {2} \\ {-1} \end{array}\right)\) \(\mid \vec{n} \mid = \sqrt{2^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{9} = 3\) Der Richtungsvektor der Geraden lautet: \( \vec{g} = \left(\begin{array}{c} {2} \\ {-3} \\ {-6} \end{array}\right)\) \(\mid \vec{g} \mid = \sqrt{2^2 + (-3)^2 + (-6)^2} = \sqrt{49} = 7\) Außerdem wird das Skalarprodukt von \(\vec{g}\) mit \(\vec{n} \) benötigt: \(\vec{g} \cdot \vec{n} = \left(\begin{array}{c} {2} \\ {-3} \\ {-6} \end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c} {2} \\ {2} \\ {-1} \end{array}\right) = 4 -6 +6 = 4\) \(\rightarrow \cos \angle(\vec{n};\vec{g}) = \frac{4}{7 \cdot 3} = \frac{4}{21}\) \( \cos^{-1} \Big( \frac{4}{21} \Big) \approx 79,019^\circ\) Somit folgt für \(\varphi\) \(\varphi=90^\circ-79,019^\circ\approx10,98^\circ\)

Berechnen Sie den Winkel zwischen der folgenden Ebene \(\epsilon: \; 3x +12y-4z = -4\) und der Geraden \(g: \; X = \left(\begin{array}{c} {2} \\ {0} \\ {-5} \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} {6} \\ {2} \\ {3} \end{array}\right)\), mit \(t \in \mathbb{R}.\) Nr. 4294
	\(\varphi = 45^\circ\)
	\(\varphi = 13.02^\circ\)
	\(\varphi = 19.25^\circ\)
	\(\varphi = 132.59^\circ\)
	\(\varphi = 248.15^\circ\)
Lösungsweg Der Winkel \(\varphi\) zwischen einer Ebene und einer Geraden kann mit Hilfe der Vektor-Winkel-Formel berechnet werden: \(\cos \angle(\vec{n};\vec{g}) = \vec{g_0} \cdot \vec{n_0}\) , wobei \(\vec{g_0}\) der Richtungsvektor der Geraden mit Länge 1 und \(\vec{n_0}\) der Normalvektor der Ebene mit Länge 1 ist. Das heißt: \(\cos \angle(\vec{n};\vec{g}) = \frac { \vec{g} \cdot \vec{n} }{ \mid \vec{g} \mid \cdot \mid \vec{n} \mid }\) Der Normalvektor kann direkt aus der Ebenengleichung abgelesen werden: \(\epsilon: \; 3x +12y-4z = -4\) \(\rightarrow \vec{n} = \left(\begin{array}{c} {3} \\ {12} \\ {-4} \end{array}\right)\) \(\mid \vec{n} \mid = \sqrt{3^2 + 12^2 + (-4)^2} = \sqrt{169} = 13\) Der Richtungsvektor der Geraden lautet: \( \vec{g} = \left(\begin{array}{c} {6} \\ {2} \\ {3} \end{array}\right)\) \(\mid \vec{g} \mid = \sqrt{6^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{49} = 7\) Außerdem wird das Skalarprodukt von \(\vec{g}\) mit \(\vec{n} \) benötigt: \(\vec{g} \cdot \vec{n} = \left(\begin{array}{c} {6} \\ {2} \\ {3} \end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c} {3} \\ {12} \\ {-4} \end{array}\right) = 18 + 24 -12 = 30\) \(\rightarrow \cos \angle(\vec{n};\vec{g}) = \frac{30}{13 \cdot 7} = \frac{30}{91}\) \(\cos^{-1} \Big( \frac{30}{91} \Big) \approx 70,751^\circ\) Somit erhalten wir \(\varphi \) durch \(\varphi=90-70,75\approx19,25^\circ\)

Die Gerade g verläuft parallel zur Ebene \(\epsilon\). Berechnen Sie den Abstand zwischen der Gerade und der Ebene! \(\epsilon: \; \; 7(x-2) -4y -4z =0\) \(g: \; X = \left(\begin{array}{c} {-5} \\ {5} \\ {3} \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} {0} \\ {2} \\ {-2} \end{array}\right)\), mit \(t \in \mathbb{R}.\) Nr. 4295
	\(d(g, \; \epsilon) = 9 \)
	\(d(g, \; \epsilon) = \frac{23}{\sqrt{79}} \)
	\(d(g, \; \epsilon) = 54.78 \)
	\(d(g, \; \epsilon) \approx 107.35 \)
	\(d(g, \; \epsilon) = \frac{28}{3} \)
Lösungsweg Der Abstand lässt sich über die Hesse'sche Abstandsformel berechnen: \(d(g, \; \epsilon) = \mid \vec{AP} \cdot \vec{n_0} \mid\) , wobei \(A \in \epsilon\) und \(\vec{n_0} \perp \epsilon\) mit Länge 1, sowie \(P \in g\). Der Punkt A und der Normalvektor können aus der Ebenengleichung abgelesen werden: \(\epsilon: \; \; 7(x-2) -4y -4z =0\) \(\rightarrow \vec{n} = \left(\begin{array}{c} {7} \\ {-4} \\ {-4} \end{array}\right)\), \(A = \left(\begin{array}{c} {2} \\ {0} \\ {0} \end{array}\right)\) Nun kann direkt \(\vec{n_0} \) berechnet werden: \(\vec{n_0} = \frac{\vec{n}}{ \mid \vec{n} \mid } = \frac{1}{\sqrt{7^2+(-4)^2+(-4)^2}} \left(\begin{array}{c} {7} \\ {-4} \\ {-4} \end{array}\right)\)\(= \frac{1}{\sqrt{81}} \left(\begin{array}{c} {7} \\ {-4} \\ {-4} \end{array}\right)\) Der Punkt P kann aus der Parameterdarstellung der Geraden abgelesen werden: \(P = \left(\begin{array}{c} {-5} \\ {5} \\ {3} \end{array}\right)\) Somit erhält man: \(\vec{AP} = P - A = \left(\begin{array}{c} {-5} \\ {5} \\ {3} \end{array}\right) - \left(\begin{array}{c} {2} \\ {0} \\ {0} \end{array}\right) \)\(= \left(\begin{array}{c} {-7} \\ {5} \\ {3} \end{array}\right)\) \(d(g, \; \epsilon) = \mid \vec{AP} \cdot \vec{n_0} \mid = \mid \left(\begin{array}{c} {-7} \\ {5} \\ {3} \end{array}\right) \cdot \)\( \frac{1}{\sqrt{81}} \left(\begin{array}{c} {7} \\ {-4} \\ {-4} \end{array}\right) \mid =\)\(\mid \frac{1}{9} \big( -49 -20 -12 \big) \mid = \frac{ \mid -81 \mid}{9} = \frac{81}{9} = 9\)

Die Gerade g verläuft parallel zur Ebene \(\epsilon\). Berechnen Sie den Abstand zwischen der Gerade und der Ebene! \(\epsilon: \; \; 6(x-1)-2(y-2)-3(z-5)= 0\) \(g: \; X = \left(\begin{array}{c} {-1} \\ {3} \\ {5} \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} {4} \\ {-6} \\ {12} \end{array}\right)\), mit \(t \in \mathbb{R}.\) Nr. 4296
	\(d(g, \; \epsilon) = \frac{48}{5} \)
	\(d(g, \; \epsilon) = 77.82 \)
	\(d(g, \; \epsilon) = \frac{14}{\sqrt{7}} \)
	\(d(g, \; \epsilon) = 2 \)
	\(d(g, \; \epsilon) \approx 53.33 \)
Lösungsweg Der Abstand lässt sich über die Hesse'sche Abstandsformel berechnen: \(d(g, \; \epsilon) = \mid \vec{AP} \cdot \vec{n_0} \mid\) , wobei \(A \in \epsilon\) und \(\vec{n_0} \perp \epsilon\) mit Länge 1, sowie \(P \in g\). Der Punkt A und der Normalvektor können aus der Ebenengleichung abgelesen werden: \(\epsilon: \; \; 6(x-1)-2(y-2)-3(z-5)= 0\) \(\rightarrow \vec{n} = \left(\begin{array}{c} {6} \\ {-2} \\ {-3} \end{array}\right)\), \(A = \left(\begin{array}{c} {1} \\ {2} \\ {5} \end{array}\right)\) Nun kann direkt \(\vec{n_0} \) berechnet werden: \(\vec{n_0} = \frac{\vec{n}}{ \mid \vec{n} \mid } = \frac{1}{\sqrt{6^2+(-2)^2+(-3)^2}} \left(\begin{array}{c} {6} \\ {-2} \\ {-3} \end{array}\right)\)\(= \frac{1}{\sqrt{49}} \left(\begin{array}{c} {6} \\ {-2} \\ {-3} \end{array}\right)\) Der Punkt P kann aus der Parameterdarstellung der Geraden abgelesen werden: \(P = \left(\begin{array}{c} {-1} \\ {3} \\ {5} \end{array}\right)\) Somit erhält man: \(\vec{AP} = P - A = \left(\begin{array}{c} {-1} \\ {3} \\ {5} \end{array}\right) - \left(\begin{array}{c} {1} \\ {2} \\ {5} \end{array}\right) \)\(= \left(\begin{array}{c} {-2} \\ {1} \\ {0} \end{array}\right)\) \(d(g, \; \epsilon) = \mid \vec{AP} \cdot \vec{n_0} \mid = \mid \left(\begin{array}{c} {-2} \\ {1} \\ {0} \end{array}\right) \cdot \)\(\frac{1}{\sqrt{49}} \left(\begin{array}{c} {6} \\ {-2} \\ {-3} \end{array}\right) \mid =\)\(\mid \frac{1}{7} \big( -12 -2\big) \mid =\mid \frac{-14}{7} \mid = 2\)

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Die Mathe Plattform des Technikum Wien gewinnt den eLearning Award 2019 als Projekt des Jahres in der Kategorie Hochschule.

Festigen Sie Ihre Grundkenntnisse und bereiten Sie sich auf Prüfungen vor.
Im Juli starten wieder die Warm-up Kurse - ein kostenloser Service für Aufgenommene und Studierende der FHTW.

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