\(f(t) \circ - \bullet \mathcal{F}(s)= \int\limits_{\tiny{0}}^{\tiny{\infty}} e^{-s t} dt\)

\(f(t)=e^{-3t} \circ - \bullet \int\limits_{\tiny{0}}^{\tiny{\infty}} e^{-3t} \cdot e^{-s t} dt=\)

\(=\int\limits_{\tiny{0}}^{\tiny{\infty}} e^{-t(3+s)} dt=\)

Integrieren:

\(\frac{e^{-t(3 + s)} }{3+s} |\limits_{\tiny 0} ^{\tiny\infty}= \)

Integrationsgrenzen einsetzen:

\(\frac{e^{-\infty} }{3+s}- \frac{e^0 }{3+s}=\) \(\frac{0 }{3+s}- \frac{1 }{3+s}=\)\(\frac{1 }{3+s}\)

\(f'+5f=0\)

\(f'(t)+5f(t)=0 \)      

Laplace transformieren:

\(s \cdot F(s) - f(0) + 5 F(s) = 0\)

\(s \cdot F(s) + 5 F(s) = f(0)\)

\(F(s) \cdot (s + 5) = f(0)\)

\(F(s) = \frac{f(0)}{(s + 5)}\)

Anfangswert einsetzen

\(F(s) = \frac{10}{(s + 5)}\)

Rücktransformieren

\(f(t) = 10 \cdot e^{-5t}\)

Formeln für Transformation:

\(f'(t) \circ - \bullet s \cdot \mathcal{F}(s) - f(0)\)

Formel für Rücktransformation:

\(\frac{1}{s+a} \circ - \bullet e^{-at}\)

\(7f'+2f=0\)

\(7f'(t)+2f(t)=0 \)      

Laplace transformieren:

\(7s \cdot F(s) -7 f(0) + 2 F(s) = 0\)

\(7s \cdot F(s) + 2 F(s) =7 f(0)\)

\(F(s) \cdot (7s + 2) = 7f(0)\)

\(F(s) = \frac{7f(0)}{(7s + 2)}\)

Anfangswert einsetzen

\(F(s) = \frac{7 \cdot 7}{(7s + 2)}\)

7 herausheben:

\(F(s) = \frac{7 \cdot 7}{7(s +\frac{ 2}{7})}\)

Rücktransformieren

\(f(t) = 7 \cdot e^{-\frac{2}{7}t}\)

Formeln für Transformation:

\(f(t) \circ - \bullet \mathcal{F}(s)\)

\(f'(t) \circ - \bullet s \cdot \mathcal{F}(s) - f(0)\)

Formel für Rücktransformation:

\(\frac{1}{s+a} \circ - \bullet e^{-at}\)

\(f'+3f=0\)

\(f'(t)+3f(t)=0 \)      

Laplace transformieren:

\(s \cdot F(s) - f(0) + 3 F(s) = 0\)

\(s \cdot F(s) + 3 F(s) =f(0)\)

\(F(s) \cdot (s + 3) = f(0)\)

\(F(s) = \frac{f(0)}{(s + 3)}\)

Anfangswert einsetzen

\(F(s) = \frac{10}{(s + 3)}\)

Rücktransformieren

\(f(t) = 10 \cdot e^{-3t}\)

Formeln für Transformation:

\(f(t) \circ - \bullet \mathcal{F}(s)\)

\(f'(t) \circ - \bullet s \cdot \mathcal{F}(s) - f(0)\)

Formel für Rücktransformation:

\(\frac{1}{s+a} \circ - \bullet e^{-at}\)

\(f'+\frac{1}{2}f=0\)

\(f'(t)+\frac{1}{2}f(t)=0 \)      

Laplace transformieren:

\(s \cdot F(s) - f(0) + \frac{1}{2} F(s) = 0\)

\(s \cdot F(s) + \frac{1}{2} F(s) =f(0)\)

\(F(s) \cdot (s + \frac{1}{2}) = f(0)\)

\(F(s) = \frac{f(0)}{(s + \frac{1}{2})}\)

Anfangswert einsetzen

\(F(s) = \frac{5}{(s + \frac{1}{2})}\)

Rücktransformieren

\(f(t) = 5 \cdot e^{-\frac{1}{2}t}\)

Formeln für Transformation:

\(f(t) \circ - \bullet \mathcal{F}(s)\)

\(f'(t) \circ - \bullet s \cdot \mathcal{F}(s) - f(0)\)

Formel für Rücktransformation:

\(\frac{1}{s+a} \circ - \bullet e^{-at}\)

\(f(t)=\cos^2(4t-8)\)

\(\cos^2 (4t) \circ - \bullet \frac{s^2+2 \cdot 4^2}{s(s^2+4 \cdot 4^2)}\)

\(\cos^2 (4t-8) \circ - \bullet e^{-2s} \cdot \frac{s^2 + 32}{s(s^2+64 )}\)          Verschiebung im Zeitbereich: a=2

Streckung:

\(f(c \cdot t) \circ - \bullet \frac{1}{c} \cdot F \cdot \frac{s}{c}}\)

Linearität:

\(\alpha \cdot f( t) \circ - \bullet \alpha \cdot F(s)\)

Verschiebung im Zeitbereich:

\(f( t - a) \circ - \bullet e^{- s \cdot a} \cdot F(s)\)

Verschiebung im Bildbereich:

\(e^{-a \cdot t} \cdot f(t) \circ - \bullet \cdot F(s + a)\)

\(f(t)=7 \cdot cos^2(2t)\)

\(\cos^2 (2t) \circ - \bullet \frac{s^2+2 \cdot 2^2}{s(s^2+4 \cdot 2^2)}\)

\(7 \cdot \cos^2 (2t) \circ - \bullet 7 \cdot \frac{s^2 + 8}{s(s^2+16)}\)          Linearität: \(\alpha = 7\)

Streckung:

\(f(c \cdot t) \circ - \bullet \frac{1}{c} \cdot F \cdot \frac{s}{c}}\)

Linearität:

\(\alpha \cdot f( t) \circ - \bullet \alpha \cdot F(s)\)

Verschiebung im Zeitbereich:

\(f( t - a) \circ - \bullet e^{s \cdot a} \cdot F(s)\)

Verschiebung im Bildbereich:

\(e^{-a \cdot t} \cdot f(t) \circ - \bullet \cdot F(s + a)\)

\(f(t)=4 \cdot cos(3(t-3))\)

\(cos(3t) \circ - \bullet \frac{s}{s^2+ 3^2}\)

\(cos(3t - 9) \circ - \bullet e^{-3s} \cdot \frac{s}{s^2+ 3^2}\)        Verschiebung im Zeitbereich: a=3

\(4 \cdot cos(3t - 9) \circ - \bullet 4 \cdot e^{-3s} \cdot \frac{s}{s^2+ 9}\)              Linearität: \(\alpha = 4\)

Streckung:

\(f(c \cdot t) \circ - \bullet \frac{1}{c} \cdot F \cdot \frac{s}{c}}\)

Linearität:

\(\alpha \cdot f( t) \circ - \bullet \alpha \cdot F(s)\)

Verschiebung im Zeitbereich:

\(f( t - a) \circ - \bullet e^{- s \cdot a} \cdot F(s)\)

Verschiebung im Bildbereich:

\(e^{-a \cdot t} \cdot f(t) \circ - \bullet \cdot F(s + a)\)

\(f(t)=\frac{cos(3t)}{2}\)

\(cos(3t) \circ - \bullet \frac{s}{s^2+ 3^2}\)

\(\frac{cos(3t)}{2} \circ - \bullet \frac{1}{2} \cdot \frac{s}{s^2+ 9}\)              Linearität: \(\alpha = \frac{1}{2}\)

Streckung:

\(f(c \cdot t) \circ - \bullet \frac{1}{c} \cdot F \cdot \frac{s}{c}}\)

Linearität:

\(\alpha \cdot f( t) \circ - \bullet \alpha \cdot F(s)\)

Verschiebung im Zeitbereich:

\(f( t - a) \circ - \bullet e^{s \cdot a} \cdot F(s)\)

Verschiebung im Bildbereich:

\(e^{-a \cdot t} \cdot f(t) \circ - \bullet \cdot F(s + a)\)

\(f(t)=sin(\frac{4t}{3})\)

\(sin(\frac{4t}{3}) \circ - \bullet \frac{ \frac{4}{3}}{s^2+ (\frac{4}{3})^2} = \frac{ 4}{3(s^2+ \frac{16}{9})}\)

Streckung:

\(f(c \cdot t) \circ - \bullet \frac{1}{c} \cdot F \cdot \frac{s}{c}}\)

Linearität:

\(\alpha \cdot f( t) \circ - \bullet \alpha \cdot F(s)\)

Verschiebung im Zeitbereich:

\(f( t - a) \circ - \bullet e^{s \cdot a} \cdot F(s)\)

Verschiebung im Bildbereich:

\(e^{-a \cdot t} \cdot f(t) \circ - \bullet \cdot F(s + a)\)

\(f(t)=cos(7t)\)

\(cos(7t) \circ - \bullet \frac{s}{s^2+ 7^2} \)

Streckung:

\(f(c \cdot t) \circ - \bullet \frac{1}{c} \cdot F \cdot \frac{s}{c}}\)

Linearität:

\(\alpha \cdot f( t) \circ - \bullet \alpha \cdot F(s)\)

Verschiebung im Zeitbereich:

\(f( t - a) \circ - \bullet e^{s \cdot a} \cdot F(s)\)

Verschiebung im Bildbereich:

\(e^{-a \cdot t} \cdot f(t) \circ - \bullet \cdot F(s + a)\)

\(f(t)= e^{-3t} \cdot cos(8t)\)

\(cos(8t) \circ - \bullet \frac{s}{s^2+ 8^2}\)

\(e^{-3t} \cdot cos(8t) \circ - \bullet \frac{s+3}{(s+3)^2+ 64}\)        Verschiebung im Bildbereich: a=3

Streckung:

\(f(c \cdot t) \circ - \bullet \frac{1}{c} \cdot F \cdot \frac{s}{c}}\)

Linearität:

\(\alpha \cdot f( t) \circ - \bullet \alpha \cdot F(s)\)

Verschiebung im Zeitbereich:

\(f( t - a) \circ - \bullet e^{s \cdot a} \cdot F(s)\)

Verschiebung im Bildbereich:

\(e^{-a \cdot t} \cdot f(t) \circ - \bullet \cdot F(s + a)\)

\(f(t)= 9e^{7t} \cdot cos(4t)\)

\(cos(4t) \circ - \bullet \frac{s}{s^2+ 4^2}\)

\(e^{7t} \cdot cos(4t) \circ - \bullet \frac{s-7}{(s-7)^2+ 16}\)        Verschiebung im Bildbereich: a=-7

\(9e^{7t} \cdot cos(4t) \circ - \bullet 9 \cdot \frac{s-7}{(s-7)^2+ 16}\)      Linerität: \(\alpha = 9\)

Streckung:

\(f(c \cdot t) \circ - \bullet \frac{1}{c} \cdot F \cdot \frac{s}{c}}\)

Linearität:

\(\alpha \cdot f( t) \circ - \bullet \alpha \cdot F(s)\)

Verschiebung im Zeitbereich:

\(f( t - a) \circ - \bullet e^{s \cdot a} \cdot F(s)\)

Verschiebung im Bildbereich:

\(e^{-a \cdot t} \cdot f(t) \circ - \bullet \cdot F(s + a)\)

\(f(t)= e^{7t-14} \)

\(e^{7t} \circ - \bullet \frac{1}{s-7}\)

\(e^{7t-14} \circ - \bullet e^{-2s} \cdot \frac{1}{s-7}\)        Verschiebung im Zeitbereich: a=2

Streckung:

\(f(c \cdot t) \circ - \bullet \frac{1}{c} \cdot F \cdot \frac{s}{c}}\)

Linearität:

\(\alpha \cdot f( t) \circ - \bullet \alpha \cdot F(s)\)

Verschiebung im Zeitbereich:

\(f( t - a) \circ - \bullet e^{- s \cdot a} \cdot F(s)\)

Verschiebung im Bildbereich:

\(e^{-a \cdot t} \cdot f(t) \circ - \bullet \cdot F(s + a)\)

\(f(t)= 3 \cdot e^{8(t-2)} \)

\(e^{8t} \circ - \bullet \frac{1}{s-8}\)

\(3 \cdot e^{-16} \cdot e^{8t} \circ - \bullet 3 \cdot e^{-16} \cdot \frac{1}{s-8}\)        Linearität: \(\alpha = 3 \cdot e^{-16}\)

Streckung:

\(f(c \cdot t) \circ - \bullet \frac{1}{c} \cdot F \cdot \frac{s}{c}}\)

Linearität:

\(\alpha \cdot f( t) \circ - \bullet \alpha \cdot F(s)\)

Verschiebung im Zeitbereich:

\(f( t - a) \circ - \bullet e^{- s \cdot a} \cdot F(s)\)

Verschiebung im Bildbereich:

\(e^{-a \cdot t} \cdot f(t) \circ - \bullet \cdot F(s + a)\)

\(f(t)= 2 \cdot e^{\frac{8t}{3}} \)

\(e^{\frac{8t}{3}} \circ - \bullet \frac{1}{s-\frac{8}{3}}\)

\(2 \cdot e^{\frac{8t}{3}} \circ - \bullet 2 \cdot \frac{1}{s-\frac{8}{3}}\)        Linearität: \(\alpha = 2 \)

Streckung:

\(f(c \cdot t) \circ - \bullet \frac{1}{c} \cdot F \cdot \frac{s}{c}}\)

Linearität:

\(\alpha \cdot f( t) \circ - \bullet \alpha \cdot F(s)\)

Verschiebung im Zeitbereich:

\(f( t - a) \circ - \bullet e^{s \cdot a} \cdot F(s)\)

Verschiebung im Bildbereich:

\(e^{-a \cdot t} \cdot f(t) \circ - \bullet \cdot F(s + a)\)

\(\mathcal{L}(f) = \bigint_0^{\infty} f(x)e^{-sx}dx = \\ = \bigint_0^{\infty} x^me^{-ax} e^{-sx}dx = \\ = \bigint_0^{\infty} x^me^{-x(a-s)}dx \)

Um dieses Integral zu lösen, wird substituiert:

\(u = x(a+s) \rightarrow \frac{du}{dx}=s+a \rightarrow dx = \frac{du}{s+a} \)

Aus dieser Subsitution folgt auch: \(x = \frac{u}{a+s}\)

\( \bigint_0^{\infty} x^me^{-x(a-s)}dx = \\ = \bigint_0^{\infty} \big( \frac{u}{a+s} \big) ^me^{-u} \frac{du}{s+a} = \\ \)

\(= \bigint_0^{\infty} \frac{u^m}{(a+s)^{m+1}} e^{-u} du = \\ = \frac{1}{(a+s)^{m+1}} \bigint_0^{\infty} u^me^{-u}du\)

An dieser Stelle muss man schließlich doch eine Integraltafel zu Hilfe ziehen:

\(\bigint_0^{\infty} u^me^{-u}du = \Gamma (m+1)\) , wobei \(\Gamma\) für die Gamma-Funktion steht.

Man erhält also:

\(\mathcal{L}(f) = \frac{1}{(a+s)^{(m+1)} } \Gamma (m+1)\)

\(\mathcal{L}(xe^x)= \bigint_0^{\infty} xe^xe^{-sx}dx = \\ = \bigint_0^{\infty} xe^{-x(s-1)}dx\)

Um das Integral zu lösen, wird partiell integriert und um die Schreibweise zu vereinfachen, verwendet man: u=s-1

\(\bigint_0^{\infty} xe^{-xu}dx = xe^{-xu} \cdot \frac{1}{-u} \; \mid _0^{\infty} - \bigint_0^{\infty}\frac{1}{-u} e^{-xu}dx = \\ \)

\(= ( 0 - 0 ) - e^{-xu} \cdot \frac{1}{-u} \frac{1}{-u} \; \mid _0^{\infty} = \\ = 0 - e^{-xu} \cdot \frac{1}{u^2} \; \mid _0^{\infty} = \\\)

\(= - ( e^{-\infty}\frac{1}{u^2} - e^0 \frac{1}{u^2} ) = \\ = - ( 0 - \frac{1}{u^2} ) = \frac{1}{u^2} = \frac{1}{(s-1)^2}\)

Also:

\(\mathcal{L}(xe^x)= \frac{1}{(s-1)^2}\)

Die Differntialgleichung wird zuerst laplacetransformiert:

\(\mathcal{L} (y^{\prime \prime}) - 2\mathcal{L}(y^{\prime}) + \mathcal{L}(y) = \mathcal{L}(xe^x) \\ \text{Somit erkennt man, dass folgendes berechnet werden muss: } \\ \mathcal{L}(xe^x)=?\)

\(\mathcal{L}(xe^x)= \bigint_0^{\infty} xe^xe^{-sx}dx = \\ = \bigint_0^{\infty} xe^{-x(s-1)}dx\)

Um das Integral zu lösen, wird partiell integriert und um die Schreibweise zu vereinfachen, verwendet man: u=s-1

\(\bigint_0^{\infty} xe^{-xu}dx = xe^{-xu} \cdot \frac{1}{-u} \; \mid _0^{\infty} - \bigint_0^{\infty}\frac{1}{-u} e^{-xu}dx = \\ \)

\(= ( 0 - 0 ) - e^{-xu} \cdot \frac{1}{-u} \frac{1}{-u} \; \mid _0^{\infty} = \\ = 0 - e^{-xu} \cdot \frac{1}{u^2} \; \mid _0^{\infty} = \\\)

\(= - ( e^{-\infty}\frac{1}{u^2} - e^0 \frac{1}{u^2} ) = \\ = - ( 0 - \frac{1}{u^2} ) = \frac{1}{u^2} = \frac{1}{(s-1)^2}\)

Also:

\(\mathcal{L}(xe^x)= \frac{1}{(s-1)^2}\)

Somit kann man nun zur eigentlichen Gleichung zurückkehren:

\(\mathcal{L} (y^{\prime \prime}) - 2\mathcal{L}(y^{\prime}) + \mathcal{L}(y) = \mathcal{L}(xe^x) \\ s^2\mathcal{L} (y) - 2s\mathcal{L}(y) + \mathcal{L}(y) = \frac{1}{(s-1)^2}\)

\(\mathcal{L} (y) ( s^2- 2s + 1) = \frac{1}{(s-1)^2} \\ \mathcal{L} (y) = \frac{1}{( s^2- 2s + 1)} \cdot \frac{1}{(s-1)^2} \\ \mathcal{L} (y) = \frac{1}{(s-1)^2} \cdot \frac{1}{(s-1)^2} \\\)

\(\mathcal{L} (y) = \frac{1}{(s-1)^4} \)

Nun kann mit Hilfe einer Tablle folgendes gefunden werden:

\(\mathcal{L}(x^me^{-ax})= \frac{m!}{(s+a)^{m+1}\)

Man erkennt: \(a=-1\) und vergleichen der Hochzahlen im Nenner liefert: \(m=3\)

Setzt man das alles in die rechte Seite ein, erhält man:

\(\mathcal{L}(x^me^{-ax})= \frac{3!}{(s-1)^{3+1}} \\ \mathcal{L}(x^3e^{x}) = \frac{6}{(s-1)^{4}\)

Die rechte Seite stimmt also mit unserem Ergebnis bis auf den Faktor (-6) überein. Somit wissen wir:

\(\frac{1}{(s-1)^4} =\frac{1}{6} \mathcal{L}(x^3e^{x}) = \mathcal{L}(\frac{x^3e^{x}}{6})\)

Man erhält also:

\(y(x) = \frac{x^3e^{x}}{6}\)

Die Funktion \(f\) kann geschrieben werden als  \(f(t)=e^{-3t} + t \cdot e^{-3t}\).

Die Laplacetransformation ist additiv, es können also die beiden Summanden \(e^{-3t}\) und \(t \cdot e^{-3t}\) einzeln transformiert und anschließend addiert werden ([A.1]).

Die Laplacetransformierte einer Funktion der Form \(e^{-at}\) ist durch \(\frac{1}{s+a}\) gegeben ([A.21]).

Daher ist die Laplacetransformierte von \(e^{-3t}\) durch \(\frac{1}{s+3}\) gegeben.

Die Laplacetransformierte einer Funktion der Form \(t \cdot e^{-at}\) ist durch \(\frac{1}{(s+a)^2}\) gegeben ([A.22]).

Daher ist die Laplacetransformierte von \(t \cdot e^{-3t}\) durch \(\frac{1}{(s+3)^2}\) gegeben.

Addieren der beiden berechneten Laplacetransformierten liefert

\(\frac{1}{s+3}+\frac{1}{(s+3)^2}=\frac{s+3}{(s+3)^2}+\frac{1}{(s+3)^2}=\frac{s+4}{(s+3)^2}\).

Die Laplacetransformierte einer Funktion der Form \(cos(at)\) ist durch \(\frac{s}{s^2+a^2}\) gegeben ([A.33]).

Daher ist die Laplacetransformierte von \(cos(4t)\) durch \(\frac{s}{s^2+16}\) gegeben.

Die Laplacetransformierte einer Funktion der Form \(e^{-at}f(t)\) ist durch \(F(s+a)\) gegeben ([A.4]).

Daher ist die Laplacetransformierte von \(e^{-3t} \cdot cos(4t)\) durch \(\frac{s+3}{(s+3)^2+16}\) gegeben.

Die Laplacetransformierte einer Funktion der Form \(\theta(t-a) e^{-bt}\) ist durch \(\frac{e^{-a(s+b)}}{s+b}\) gegeben ([A.43]).

Daher ist die Laplacetransformierte von \(\theta(t-3)e^{7t}\) durch \(\frac{e^{-3(s-7)}}{s-7}\) (\(a=3\) und \(b=-7\)) gegeben.

• Variante 1:

Berechnen der 1. Ableitung von \(f\) ergibt \(f'(t)=3\cos(3t)\).

Die Laplacetransformierte einer Funktion der Form \(\cos(at)\) ist durch \(\frac{s}{s^2+a^2}\) gegeben ([A.33]).

Daher ist die Laplacetransformierte von \(\cos(3t)\) durch \(\frac{s}{s^2+9}\) gegeben.

Auch gilt: Die Laplacetransformierte einer Funktion der Form \(c\cdot f(t)\) ist durch \(c \cdot F(s)\) gegeben ([A.2]).

Daher ist die Laplacetransformierte von \(3\cos(3t)\) durch \(3\cdot\frac{s}{s^2+9}=\frac{3s}{s^2+9}\) gegeben.

• Variante 2:

Die Laplacetransformierte einer Funktion der Form \(f'(t)\) ist durch \(s F(s)-f(0)\) gegeben ([A.8]), benötigt werden also \(F(s)\) und \(f(0)\).

Für \(F(s)\): Die Laplacetransformierte einer Funktion der Form \(\sin(at)\) ist durch \(\frac{a}{s^2+a^2}\) gegeben ([A.32]).

Daher ist die Laplacetransformierte von \(\sin(3t)\) durch \(\frac{3}{s^2+9}\) gegeben.

Für \(f(0)\): \(f(0)=\sin(3\cdot 0)=\sin(0)=0\).

Daher gesamt: \(s F(s)-f(0)= s \cdot \frac{3}{s^2+9} - 0 = \frac{3s}{s^2+9}\).

Die Laplacetransformierte einer Funktion der Form \(t^n e^{-at}\) ist durch \(\frac{n!}{(s+a)^{n+1]}\) gegeben ([A.24]).

Daher ist die Laplacetransformierte von \(t^3 e^{-t}\) durch \(\frac{3!}{(s+1)^{3+1}}=\frac{6}{(s+1)^{4}}\) (\(a=1\) und \(n=3\)) gegeben.

Auch gilt: Die Laplacetransformierte einer Funktion der Form \(\theta(t-a)f(t-a)\) ist durch \(e^{-as}F(s)\) gegeben ([A.5]).

Daher ist die Laplacetransformierte von durch \(\frac{6}{(1+s)^4}\) gegeben.

Die Laplacetransformation einer Funktion ist linear ([A.1] & [A.2]), d.h. es gilt

\(\mathcal{L}[t^2-3t+4]=\mathcal{L}[t^2]-3\mathcal{L}[t]+4\mathcal{L}[1]\).

Für \(t^2\): \(\mathcal{L}[t^2]=\frac{2}{s^3}\) ([A.16]).

Für \(t\): \(\mathcal{L}[t]=\frac{1}{s^2}\) ([A.15]).

Für \(1\): \(\mathcal{L}[1]=\frac{1}{s}\) ([A.14]).

Daher:

\(\mathcal{L}[t^2-3t+4]=\mathcal{L}[t^2]-3\mathcal{L}[t]+4\mathcal{L}[1]=\frac{2}{s^3}-3\cdot\frac{1}{s^2}+4\cdot\frac{1}{s}=\frac{2}{s^3}-\frac{3}{s^2}+\frac{4}{s}\)

Die Laplacetransformierte einer Funktion der Form \((f \star g)(t)\) ist durch \(F(s)G(s)\) gegeben.

Für \(f(t)=\sin(t)\):

Es gilt \(\mathcal{L}[\sin(at)]=\frac{a}{s^2+a^2}\) ([A.32]), daher (mit \(a=1\))

\(F(s)=\mathcal{L}[\sin(t)]=\frac{1}{s^2+1}\).

Für \(g(t)=\cos(t)\):

Es gilt \(\mathcal{L}[\cos(at)]=\frac{s}{s^2+a^2}\) ([A.33]), daher (mit \(a=1\))

\(G(s)=\mathcal{L}[\cos(t)]=\frac{s}{s^2+1}\).

Daher gesamt:

\(F(s)G(s)=\frac{1}{s^2+1^2} \cdot \frac{s}{s^2+1^2} = \frac{s}{(s^2+1)^2}\)

Die Laplacetransformierte der Funktion \(\sqrt{t}\) ist durch \(\frac{\sqrt{\pi}}{2s^{3/2}}\) gegeben ([A.19]).

Auch gilt: Die Laplacetransformierte einer Funktion der Form \(\theta(t-a)f(t-a)\) ist durch \(e^{-as}F(s)\) gegeben ([A.5]).

Daher ist die Laplacetransformierte von \(f(t)= \theta(t-3)\sqrt{t-3}\) durch \(e^{-3s}\cdot\frac{\sqrt{\pi}}{2s^{3/2}}=\frac{\sqrt{\pi}e^{-3s}}{2s^{3/2}}\) gegeben.

• Variante 1:

Berechnen der 2. Ableitung von \(f\) ergibt \(f''(t)=16e^{-4t}\).

Es gilt: \(\mathcal{L}[e^{-at}]=\frac{1}{s+a}\) ([A.21]), daher (mit \(a=4\))

\(\mathcal{L}[e^{-4t}]=\frac{1}{s+4}\)

Auch gilt: \(\mathcal{L}[c \cdot f(t)]=c\cdot\mathcal{L}[f(t)]\) ([A.2]).

Daher ist die Laplacetransformierte von \(16e^{-4t}\) durch \(16 \cdot \frac{1}{s+4} = \frac{16}{s+4}\) gegeben.

• Variante 2:

Die Laplacetransformierte einer Funktion der Form \(f''(t)\) ist durch \(s^2F(s)-sf(0)-f'(0)\) gegeben ([A.9]), benötigt werden also \(F(s)\), \(f(0)\) und \(f'(0)\).

Für \(F(s)\): \(F(s)=\mathcal{L}[e^{-at}](s)=\frac{1}{s+a}\) ([A.21]), daher (mit \(a=4\))

\(F(s)=\frac{1}{s+4}\)

Für \(f(0)\): \(f(0)=e^{3\cdot 0}=e^0=1\).

Für \(f'(0)\): \(f'(t)=-4e^{-4t}\), daher \(f'(0)=-4e^{-4 \cot 0}=-4e^{0}=-4\cdot1=-4\).

Daher gesamt: \(s^2F(s)-sf(0)-f'(0)=s^2\cdot\frac{1}{s+4}-s \cdot1-(-4)=\)... div. Umformungen ... \(= \frac{16}{s+4}\).

Es gilt: \(\mathcal{L}[\theta(a-t)](s)=\frac{1-e^{-as}}{s}\) ([A.46]), daher (mit \(a=3\))

\(\mathcal{L}[\theta(3-t)](s)=\frac{1-e^{-3s}}{s}\).

Auch gilt: \(\mathcal{L}[c \cdot f(t)]=c\cdot\mathcal{L}[f(t)]\) ([A.2]), daher (mit \(c=4\))

\(\mathcal{L}[4\theta(3-t)](s)=4\mathcal{L}[\theta(3-t)](s)=4 \cdot \frac{1-e^{-3s}}{s}\).

• Variante 1:

Berechnen des Integrals in der Definition von \(f\):

\(f(t)= \int_0^t \tau^n d\tau=\Big[\frac{\tau^{n+1}}{n+1}\Big]_{\tau=0}^t=\frac{t^{n+1}}{n+1}-\frac{0^{n+1}}{n+1}=\frac{t^{n+1}}{n+1}\).

Es gilt: \(\mathcal{L}[t^{n}](s)=\frac{n!}{s^{n+1}\) ([A.17]), daher (mit \(n+1\) an Stelle von \(n\))

\(\mathcal{L}[t^{n+1}](s)=\frac{(n+1)!}{s^{(n+1)+1}}=\frac{(n+1)!}{s^{n+2}}\).

Auch gilt: \(\mathcal{L}[c \cdot f(t)]=c\cdot\mathcal{L}[f(t)]\) ([A.2]), daher (mit \(c=\frac{1}{n+1}\))

\(\mathcal{L}[\frac{t^{n+1}}{n+1}](s)=\frac{1}{n+1}\cdot\mathcal{L}[t^{n+1}](s)=\frac{1}{n+1}\cdot\frac{(n+1)!}{s^{n+2}}=\frac{n!}{s^{n+2}}\)

• Variante 2:

Es gilt: \(\mathcal{L}[t^n](s)=\frac{n!}{s^{n+1}}\) ([A.17]).

Auch gilt \(\mathcal{L}[\int_0^t g(\tau) d\tau](s)=\frac{1}{s}G(s)\) ([A.11]), daher (mit \(g(\tau)=\tau^n\))

\(\mathcal{L}[\int_0^t \tau^n d\tau](s)=\frac{1}{s}\cdot \frac{n!}{s^{n+1}} = \frac{n!}{s^{n+2}}\).

Die Laplacetransformation einer Funktion ist linear ([A.1] & [A.2]), d.h. es gilt

\(\mathcal{L}[f''(t)-3f(t)]=\mathcal{L}[f''(t)]-3\mathcal{L}[f(t)]\).

Für \(f''(t)\):

Es gilt: \(\mathcal{L}[f''(t)](s)=s^2F(s)-sf(0)-f'(0)\) ([A.9]).

Daher für diese Aufgabe (mit \(f(0)=5\) und \(f'(0)=-1\)):

\(\mathcal{L}[f''(t)](s)=s^2F(s)-5s+1\).

Die korrekte Antwort lautet daher (Einsetzen des bisher berechneten):

\(\mathcal{L}[f''(t)-3f(t)](s)=\mathcal{L}[f''(t)](s)-3\mathcal{L}[f(t)](s)=s^2F(s)-5s+1-3F(s)\).

Die Laplacetransformation einer Funktion ist linear ([A.1] & [A.2]), d.h. es gilt

\(\mathcal{L}[-f'(t)+3t\cdot f(t)]=-\mathcal{L}[f'(t)]+3\mathcal{L}[t\cdot f(t)]\).

Für \(f'(t)\):

Es gilt: \(\mathcal{L}[f'(t)](s)=sF(s)-f(0)\) ([A.8]).

Daher für diese Aufgabe (mit \(f(0)=7\)):

\(\mathcal{L}[f'(t)](s)=sF(s)-7\).

Für \(t \cdot f(t)\):

Es gilt: \(\mathcal{L}[t \cdot f(t)](s)=-F'(s)\) ([A.3]).

Die korrekte Antwort lautet daher (Einsetzen des bisher berechneten):

\(\mathcal{L}[-f'(t)+3t\cdot f(t)]=-\mathcal{L}[f'(t)]+3\mathcal{L}[t\cdot f(t)]=-(sF(s)-7)+3(-F'(s))=-sF(s)+7-3F'(s)\).

Die Laplacetransformation einer Funktion ist linear ([A.1] & [A.2]), d.h. es gilt

\(\mathcal{L}[f''(t)-t \cdot f(t)]=\mathcal{L}[f''(t)]-\mathcal{L}[t \cdot f(t)]\).

Für \(f''(t)\):

Es gilt: \(\mathcal{L}[f''(t)](s)=s^2F(s)-sf(0)-f'(0)\) ([A.9]).

Daher für diese Aufgabe (mit \(f(0)=-2\) und \(f'(0)=0\)):

\(\mathcal{L}[f''(t)](s)=s^2F(s)+2s\).

Für \(t \cdot f(t)\):

Es gilt: \(\mathcal{L}[t \cdot f(t)](s)=-F'(s)\) ([A.3]).

Die korrekte Antwort lautet daher (Einsetzen des bisher berechneten):

\(\mathcal{L}[f''(t)-t \cdot f(t)]=\mathcal{L}[f''(t)]-\mathcal{L}[t \cdot f(t)]=s^2F(s)+2s-(-F'(s))=s^2F(s)+2s+F'(s)\)

• Transformieren der linken Seite der Differentialgleichung:

Die Laplacetransformation einer Funktion ist linear ([A.1] & [A.2]), d.h. es gilt

\(\mathcal{L}[f'(t)+3 f(t)]=\mathcal{L}[f'(t)]+3\mathcal{L}[f(t)]\).

Für \(f'(t)\):

Es gilt: \(\mathcal{L}[f'(t)](s)=sF(s)-f(0)\) ([A.8]).

Daher für diese Aufgabe (mit \(f(0)=0\)):

\(\mathcal{L}[f'(t)](s)=sF(s)-0=sF(s)\).

Daher gilt: \(\mathcal{L}[f'(t)+3 f(t)]=\mathcal{L}[f'(t)]+3\mathcal{L}[f(t)]=sF(s)+3F(s)\).

• Transformieren der rechten Seite der Differentialgleichung:

\(\mathcal{L}[e^{-t}](s)=\frac{1}{s+1}\) ([A.21]).

• Gleichsetzen:

\(sF(s)+3F(s)=\frac{1}{s+1}\)

Herausheben auf der linken Seite liefert

\((s+3)F(s)=\frac{1}{s+1}\),

dividieren durch \(s+3\) führt zu

\(F(s)=\frac{1}{(s+1)(s+3)}\).

Es gilt \(\mathcal{L}^{-1}(\frac{1}{(s+a)(s+b)})=\frac{e^{-at}-e^{-bt}}{b-a}\)([B.22]),

daher für diese Aufgabe (mit \(a=1\) und \(b=3\))

\(f(t)=\mathcal{L}^{-1}(\frac{1}{(s+1)(s+3)})=\frac{e^{-t}-e^{-3t}}{3-1}=\frac{e^{-t}-e^{-3t}}{2}\)

• Transformieren der linken Seite der Differentialgleichung:

Die Laplacetransformation einer Funktion ist linear ([A.1] & [A.2]), d.h. es gilt

\(\mathcal{L}[f''(t)-f(t)]=\mathcal{L}[f''(t)]-\mathcal{L}[f(t)]\).

Für \(f''(t)\):

Es gilt: \(\mathcal{L}[f''(t)](s)=s^2F(s)-sf(0)-f'(0)\) ([A.9]).

Daher für diese Aufgabe (mit \(f(0)=0\) und \(f'(0)=2\)):

\(\mathcal{L}[f''(t)](s)=s^2F(s)-2\).

Somit gilt: \(\mathcal{L}[f''(t)-f(t)]=\mathcal{L}[f''(t)]-\mathcal{L}[f(t)]=s^2F(s)-2-F(s)\).

• Transformieren der rechten Seite der Differentialgleichung:

\(\mathcal{L}[0](s)=0\).

• Gleichsetzen:

\(s^2F(s)-2-F(s)=0\)

Beide Seiten \(+2\) rechnen und herausheben führt zu

\((s^2-1)F(s)=2\),

dividieren durch \(s^2+1\) zu

\(F(s)=2\cdot \frac{1}{s^2+1}\).

Es gilt \(\mathcal{L}^{-1}(\frac{1}{s^2+a^2})=\frac{\sin(at)}{t}\)([B.24]),

daher für diese Aufgabe (mit \(a=1\))

\(\mathcal{L}^{-1}(\frac{1}{s^2+1})=\frac{\sin(1 \cdot t)}{1}=\sin(t)\).

Auch ist die inverse Laplacetransformation linear, es gilt also unter anderem \(\mathcal{L}^{-1}(c\cdot f(t))=c\cdot\mathcal{L}^{-1}( f(t))\) ([B.2]),

daher (mit \(c=2\)):

\(f(t)=\mathcal{L}^{-1}(\frac{2}{s^2+a^2})=2\mathcal{L}^{-1}(\frac{1}{s^2+a^2})=2\sin(t)\).

• Transformieren der linken Seite der Differentialgleichung:

Die Laplacetransformation einer Funktion ist linear ([A.1] & [A.2]), d.h. es gilt

\(\mathcal{L}[f''(t)+2f(t)]=\mathcal{L}[f''(t)]+2\mathcal{L}[f(t)]\).

Für \(f''(t)\):

Es gilt: \(\mathcal{L}[f''(t)](s)=s^2F(s)-sf(0)-f'(0)\) ([A.9]).

Daher für diese Aufgabe (mit \(f(0)=0\) und \(f'(0)=1\)):

\(\mathcal{L}[f''(t)](s)=s^2F(s)-1\).

Somit gilt: \(\mathcal{L}[f''(t)+2f(t)]=\mathcal{L}[f''(t)]+2\mathcal{L}[f(t)]=s^2F(s)-1+2F(s)\).

• Transformieren der rechten Seite der Differentialgleichung:

\(\mathcal{L}[\sin(t)](s)=\frac{1}{s^2+1}\) ([A.32] mit \(a=1\)).

• Gleichsetzen:

\(s^2F(s)-1+2F(s)=\frac{1}{s^2+1}\)

Beide Seiten \(+1\) rechnen und herausheben führt zu

\((s^2-2)F(s)=\frac{1}{s^2+1}+1\),

dividieren durch \(s^2-2\) zu

\(F(s)=\frac{1}{(s^2+1)(s^2+2)}+\frac{1}{s^2+2}\),

Partialbruchzerlegung (Hinweis!) führt zu

\(F(s)=\frac{1}{s^2+1}-\frac{1}{s^2+2}+\frac{1}{s^2+2}=\frac{1}{s^2+1}\).

Es gilt \(\mathcal{L}^{-1}(\frac{1}{s^2+a^2})=\frac{\sin(at)}{t}\)([B.24]), (siehe auch "Transformieren der rechten Seite der Differentialgleichung").

Daher für diese Aufgabe (mit \(a=1\))

\(f(t)=\mathcal{L}^{-1}(\frac{1}{s^2+1})=\frac{\sin(1 \cdot t)}{1}=\sin(t)\).

• Transformieren der linken Seite der Differentialgleichung:

Die Laplacetransformation einer Funktion ist linear ([A.1] & [A.2]), d.h. es gilt

\(\mathcal{L}[f''(t)+2f(t)]=\mathcal{L}[f''(t)]+2\mathcal{L}[f(t)]\).

Für \(f''(t)\):

Es gilt: \(\mathcal{L}[f''(t)](s)=s^2F(s)-sf(0)-f'(0)\) ([A.9]).

Daher für diese Aufgabe (mit \(f(0)=0\) und \(f'(0)=3\)):

\(\mathcal{L}[f''(t)](s)=s^2F(s)-3\).

Somit gilt: \(\mathcal{L}[f''(t)+2f(t)]=\mathcal{L}[f''(t)]+2\mathcal{L}[f(t)]=s^2F(s)-3+2F(s)\).

• Transformieren der rechten Seite der Differentialgleichung:

\(\mathcal{L}[e^{-3t}](s)=\frac{1}{s+3}\) ([A.21]).

• Gleichsetzen:

\(s^2F(s)-3+2F(s)=\frac{1}{s+3}\)

Beide Seiten \(+3\) rechnen und herausheben führt zu

\((s^2+2)F(s)=\frac{1}{s+3}+3\),

dividieren durch \(s^2+2\) zu

\(F(s)=\frac{1}{(s+3)(s^2+2)}+3\cdot\frac{1}{s^2+2}\).

Mit Verwendung der Linearität ([B.1] & [B.2]) sowie [B.53] (mit \(a=3\) und \(b=\sqrt{2}\)) für den ersten Summanden und [B.24] (mit \(a=\sqrt{2}\)) für den zweiten Summanden folgt:

\(f(t)=\mathcal{L}^{-1}(F(s))=\frac{1}{11}\Big(e^{-3t}+\frac{3}{\sqrt{2}}\sin(\sqrt{2}t)-\cos(\sqrt{2}t)\Big)+3\cdot\frac{\sin(\sqrt{2}t)}{\sqrt{2}}\)

und zusammenfassen der Terme mit \(\sin(\sqrt{2}t)}\) liefert

\(\frac{1}{11}\Big(e^{-3t}+18\sqrt{2}\sin(\sqrt{2}t)-\cos(\sqrt{2}t)\Big)\).

Es gilt: \(\mathcal{L}^{-1}\Big[\frac{1}{(s+a)^2}\Big](t)=t \cdot e^{-at}\) ([B.19]), daher (mit \(a=3\))

\(\mathcal{L}^{-1}\Big[\frac{1}{(s+3)^2}\Big](t)=t \cdot e^{-3t}\).

Es gilt: \(\mathcal{L}^{-1}\Big[\frac{1}{s^2+a^2}\Big](t)=\frac{\sin(at)}{a}\) ([B.24]), daher (mit \(a=2\))

\(\mathcal{L}^{-1}\Big[\frac{1}{s^2+4}\Big](t)=\frac{\sin(2t)}{2}\).

Es gilt: \(\mathcal{L}^{-1}\Big[\frac{1}{(s+a)^3}\Big](t)=\frac{t^2}{2}\cdot e^{-at}\) ([B.39]), daher (mit \(a=7\))

\(\mathcal{L}^{-1}\Big[\frac{1}{(s+7)^3}\Big](t)=\frac{t^2}{2}\cdot e^{-7t}\).

Es gilt: \(\mathcal{L}^{-1}\Big[\frac{1}{s^2(s+a)}\Big](t)= \frac{1}{a^2} (e^{-at}+at-1)\) ([B.43]), daher (mit \(a=5\))

\(\mathcal{L}^{-1}\Big[\frac{1}{s^2(s+5)}\Big](t)= \frac{1}{25} (e^{-5t}+5t-1)\)

Es gilt: \(\mathcal{L}^{-1}\Big[\frac{1}{(s+a)^4}\Big](t)= \frac{t^3}{6}\cdot e^{-at}\) ([B.66]), daher (mit \(a=-3\))

\(\mathcal{L}^{-1}\Big[\frac{1}{(s-3)^4}\Big](t)= \frac{t^3}{6}\cdot e^{3t}\).

Es gilt: \(\mathcal{L}^{-1}\Big[\frac{1}{s^3(s+a)}\Big](t)=\frac{1}{2a^3}(a^2t^2-2at+2-2e^{-at})\) ([B.72]), daher (mit \(a=-1\))

\(\mathcal{L}^{-1}\Big[\frac{1}{s^3(s-1)}\Big](t)=-\frac{1}{2}(t^2+2t+2-2e^{t})\).

Es gilt: \(\mathcal{L}^{-1}\Big[a\cdot f(s)+b \dot g(s)\Big]=a \cdot \mathcal{L}^{-1}[f(s)]+b\cdot \mathcal{L}^{-1}[g(s)]\)  ([B.1] & [B.2]), daher

\(\mathcal{L}^{-1}\Big[\frac{3s+18}{s^2+81}\Big](t)=3 \cdot \mathcal{L}^{-1}\Big[\frac{s}{s^2+81}\Big](t)+18\cdot \mathcal{L}^{-1}\Big[\frac{1}{s^2+81}\Big](t)\).

• Berechnen von \(\mathcal{L}^{-1}\Big[\frac{s}{s^2+81}\Big](t)\):

Es gilt: \(\mathcal{L}^{-1}\Big[\frac{s}{s^2+a^2}\Big](t)=\cos(at)\) ([B.25]), daher (mit \(a=9\))

\(\mathcal{L}^{-1}\Big[\frac{s}{s^2+81}\Big](t)=\cos(9t)\).

• Berechnen von \(\mathcal{L}^{-1}\Big[\frac{1}{s^2+81}\Big](t)\):.

Es gilt: \(\mathcal{L}^{-1}\Big[\frac{1}{s^2+a^2}\Big](t)=\frac{\sin(at)}{a}\) ([B.24]), daher (mit \(a=9\))

\(\mathcal{L}^{-1}\Big[\frac{1}{s^2+81}\Big](t)=\frac{\sin(9t)}{9}\).

• Daher gesamt:

\(\mathcal{L}^{-1}\Big[\frac{3s+18}{s^2+81}\Big](t)=3 \cos(9t)+18 \cdot \frac{\sin(9t)}{9} = 3 \cos(9t)+2 \sin(9t)\)

Laut Hinweis gilt \(\mathcal{L}^{-1}\Big[\frac{s+3}{(s-1)(s+2)}\Big]=\mathcal{L}^{-1}\Big[\frac{4}{3}\cdot \frac{1}{s-1}-\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{s+2}\Big]\).

Es gilt: \(\mathcal{L}^{-1}\Big[a\cdot f(s)+b \dot g(s)\Big]=a \cdot \mathcal{L}^{-1}[f(s)]+b\cdot \mathcal{L}^{-1}[g(s)]\)  ([B.1] & [B.2]), daher

\(\mathcal{L}^{-1}\Big[\frac{4}{3}\cdot \frac{1}{s-1}-\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{s+2}\Big] =\) \(\frac{4}{3}\cdot \mathcal{L}^{-1}\Big[\frac{1}{s-1}\Big]-\frac{1}{3}\cdot\mathcal{L}^{-1}\Big[\frac{1}{s+2}\Big]\).

• Berechnen von \(\mathcal{L}^{-1}\Big[\frac{1}{s-1}\Big]\) & \(\mathcal{L}^{-1}\Big[\frac{1}{s+2}\Big]\):

Es gilt: \(\mathcal{L}^{-1}\Big[\frac{1}{s+a}\Big](t)=e^{-at}\) ([B.16]),

daher (mit \(a=-1\))

\(\mathcal{L}^{-1}\Big[\frac{1}{s-1}\Big](t)=e^{t}\)

sowie (mit \(a=2\))

\(\mathcal{L}^{-1}\Big[\frac{1}{s+2}\Big](t)=e^{-2t}\).

• Daher gesamt:

\(\mathcal{L}^{-1}\Big[\frac{4}{3}\cdot \frac{1}{s-1}-\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{s+2}\Big] =\)\(\frac{4}{3}\cdot \mathcal{L}^{-1}\Big[\frac{1}{s-1}\Big]-\frac{1}{3}\cdot\mathcal{L}^{-1}\Big[\frac{1}{s+2}\Big]=\)\(\frac{4}{3}e^t-\frac{1}{3}e^{-2t}\).

Es gilt: \(\mathcal{L}^{-1}\Big[\frac{1}{(s+b)^2+a^2}\Big](t)=\frac{1}{a}\Big(e^{-bt}\sin(at)\Big)\) ([B.28]), daher (mit \(a=1\) und \(b=-1\))

\(\mathcal{L}^{-1}\Big[\frac{1}{(s-1)^2+1}\Big](t)=e^{t}\sin(t)\).

Anmerkung: Falls Sie in [B.28] \(a=-1\) anstelle von \(a=1\) (für beide diese \(a\) gilt ja \(a^2=1\)) verwenden, bekommen Sie

\(\mathcal{L}^{-1}\Big[\frac{1}{(s-1)^2+1}\Big](t)=-e^{t}\sin(-t)\).

Da jedoch allgemein \(\sin(-t)=-\sin(t)\) gilt ("die Sinusfunktion ist ungerade"), folgt hier weiter: \(-e^{t}\sin(-t)=-(-e^{t}\sin(t))=e^{t}\sin(t)\), also klarerweise die selbe inverse Transformierte.

Es gilt: \(\mathcal{L}^{-1}\Big[a\cdot f(s)\Big]=a \cdot \mathcal{L}^{-1}[f(s)]\)  ([B.2]), daher

\(\mathcal{L}^{-1}\Big[\frac{3}{\sqrt{s}}\Big] = 3 \cdot \mathcal{L}^{-1}\Big[\frac{1}{\sqrt{s}}\Big]\).

Auch gilt: \(\mathcal{L}^{-1}\Big[\frac{1}{\sqrt{s}}\Big] = \frac{1}{\sqrt{\pi t}}\) ([B.103]).

Daher gesamt:

\(\mathcal{L}^{-1}\Big[\frac{3}{\sqrt{s}}\Big] = 3 \cdot \mathcal{L}^{-1}\Big[\frac{1}{\sqrt{s}}\Big] = 3 \cdot \frac{1}{\sqrt{\pi t}} = \frac{3}{\sqrt{\pi t}}\).

Es soll das Anfangswertproblem \(f''(t) + 9 f(t) = -10 \cos(2t), \quad f(0) = -2, f'(0) = 0\) mittels Laplace-Transformation gelöst werden.

1. Bilden der Laplace-Transformierten:

     \(s^2 \cdot F(s) - s f(0) - f'(0) + 9 F(s) = -10 \frac{s}{s^2 + 2^2}\)

2. Einsetzen der Anfangswerte:

    \(s^2 \cdot F(s) +2s + 9 F(s) = -10 \frac{s}{s^2 + 4}\)

3. Lösen nach F(s):

\(F(s) = \frac{-10s}{(s^2 + 4)(s^2 +9)} - \frac{2s}{s^2 +9}\)

4. Vereinfachen der rechten Seite (hier ohne Partialbruchzerlegung möglich):

  \(F(s) = \frac{-10s - 2s(s^2+4)}{(s^2 + 4)(s^2 +9)} = \frac{-10s - 2s^3- 8s}{(s^2 + 4)(s^2 +9)} = \frac{-2s(s^2+9)}{(s^2 + 4)(s^2 +9)} = \frac{-2s}{s^2 + 4}\)

5. Rücktransformieren:

   \(f(t) = -2 \cos(2t)\)

Formeln für die Transformation:

\(f'(t) \circ - \bullet s \cdot \mathcal{F}(s) - f(0)\)

\(f''(t) \circ - \bullet s^2 \cdot \mathcal{F}(s) - sf(0) - f'(0)\)

\(\cos(at) \circ - \bullet \frac{s}{s^2 + a^2}\)

Es soll das Anfangswertproblem \(f''(t) + 2 f(t) = 7 \sin(3t), \quad f(0) = 0, \; f'(0) = -3\) mittels Laplace-Transformation gelöst werden.

1. Bilden der Laplace-Transformierten:

     \(s^2 \cdot F(s) - s f(0) - f'(0) + 2 F(s) = 7 \frac{3}{s^2 + 3^2}\)

2. Einsetzen der Anfangswerte:

    \(s^2 \cdot F(s) +3 + 2 F(s) = \frac{21}{s^2 + 9}\)

3. Umformen auf F(s):

 \(F(s) = \frac{21}{(s^2 + 9)(s^2 +2)} - \frac{3}{s^2 + 2}\)

4. Vereinfachen der rechten Seite (hier ohne Partialbruchzerlegung möglich):

  \(F(s) = \frac{21 - 3(s^2 + 9)}{(s^2 + 9)(s^2 +2)} = \frac{- 3s^2 -6}{(s^2 + 9)(s^2 +2)} = \frac{-3(s^2 + 2)}{(s^2 + 9)(s^2 +2)} = \frac{- 3}{s^2 + 9} \)

5. Rücktransformieren:

   \(f(t) = - \sin(3t)\)

Formeln für die Transformation:

\(f'(t) \circ - \bullet s \cdot \mathcal{F}(s) - f(0)\)

\(f''(t) \circ - \bullet s^2 \cdot \mathcal{F}(s) - sf(0) - f'(0)\)

\(\sin(at) \circ - \bullet \frac{a}{s^2 + a^2}\)

Es soll das Anfangswertproblem \(x''(t) + 5 x(t) = -8 \cos(3t), \quad x(0) = 2, \; x'(0) = 0\) mittels Laplace-Transformation gelöst werden.

1. Bilden der Laplace-Transformierten:

     \(s^2 \cdot X(s) - s x(0) - x'(0) + 5 X(s) = -8 \frac{s}{s^2 + 3^2}\)

2. Einsetzen der Anfangswerte:

    \(s^2 \cdot X(s) - 2s + 5 X(s) = \frac{-8s}{s^2 + 9}\)

3. Lösen nach X(s):

 \(X(s) = \frac{-8s}{(s^2 + 9)(s^2 + 5)} + \frac{2s}{s^2 + 5}\)

4. Vereinfachen der rechten Seite (hier ohne Partialbruchzerlegung möglich):

  \(X(s) = \frac{-8s + 2s(s^2 + 9)}{(s^2 + 9)(s^2 + 5)} = \frac{2s(s^2 +5)}{(s^2 + 9)(s^2 + 5)} = \frac{2s}{s^2 + 9} \)

5. Rücktransformieren:

   \(x(t) = 2 \cos(3t)\)

Formeln für die Transformation:

\(f'(t) \circ - \bullet s \cdot \mathcal{F}(s) - f(0)\)

\(f''(t) \circ - \bullet s^2 \cdot \mathcal{F}(s) - sf(0) - f'(0)\)

\(\cos(at) \circ - \bullet \frac{s}{s^2 + a^2}\)

Es soll das Anfangswertproblem \(y''(x) + 6 y(x) = -4 \sin(2x), \quad y(0) = 0, \; y'(0) = -4\) mittels Laplace-Transformation gelöst werden.

1. Bilden der Laplace-Transformierten:

     \(s^2 \cdot Y(s) - s y(0) - y'(0) + 6 Y(s) = -4 \frac{2}{s^2 + 2^2}\)

2. Einsetzen der Anfangswerte:

    \(s^2 \cdot Y(s) +4 + 6 Y(s) = \frac{-8}{s^2 + 4}\)

3. Lösen nach Y(s):

 \(Y(s) = \frac{-8}{(s^2 + 4)(s^2 +6)} - \frac{4}{s^2 + 6}\)

4. Vereinfachen der rechten Seite (hier ohne Partialbruchzerlegung möglich):

  \(Y(s) = \frac{-8 - 4(s^2 +4)}{(s^2 + 4)(s^2 +6)}= \frac{ -4s^2 -24}{(s^2 + 4)(s^2 +6)} = \frac{ -4(s^2 +6)}{(s^2 + 4)(s^2 +6)}= \frac{ -4}{s^2 + 4}\)

5. Rücktransformieren:

   \(y(x) = -2 \sin(2x)\)

Formeln für die Transformation:

\(f'(t) \circ - \bullet s \cdot \mathcal{F}(s) - f(0)\)

\(f''(t) \circ - \bullet s^2 \cdot \mathcal{F}(s) - sf(0) - f'(0)\)

\(\sin(at) \circ - \bullet \frac{a}{s^2 + a^2}\)