\(f(t) \circ - \bullet \mathcal{F}(\omega)= \int\limits_{\tiny{-\infty}}^{\tiny{\infty}} e^{-i \omega t} dt\)

\(f(t)=e^{-3|t|} \circ - \bullet \int\limits_{\tiny{-\infty}}^{\tiny{\infty}} e^{-3|t|} \cdot e^{-i \omega t} dt=\)

\(=\int\limits_{\tiny{-\infty}}^{\tiny{\infty}} e^{-3|t| -i \omega t} dt=\)

Betrag aufteilen:

\(=\int\limits_{\tiny{-\infty}}^{\tiny{0}} e^{3t -i \omega t} dt+ \int\limits_{\tiny{0}}^{\tiny{\infty}} e^{-3t -i \omega t} dt=\)

Integrieren:

\(\frac{e^{3t -i \omega t} }{3-i \omega} |\limits_{\tiny -\infty}^{\tiny{0}} + \frac{e^{-3t -i \omega t} }{-3-i \omega} |\limits_{\tiny 0} ^{\tiny\infty}= \)

Integrationsgrenzen einsetzen:

\(\frac{e^0 }{3-i \omega}- \frac{e^{-\infty} }{3-i \omega}+ \frac{e^{-\infty} }{-3-i \omega}- \frac{e^0 }{-3-i \omega}=\) \(\frac{1 }{3-i \omega}- \frac{0 }{3-i \omega}+ \frac{0 }{-3-i \omega}- \frac{1 }{-3-i \omega}=\)\(\frac{1 }{3-i \omega}- \frac{1 }{-3-i \omega}\)

\(f(t)=7 \cdot e^{-|8t|}\)

\(e^{-|t|} \circ - \bullet \frac{2}{1+(\omega)^2}\)

\(e^{-|8t|} \circ - \bullet \frac{1}{8} \cdot \frac{2}{1+(\frac{\omega}{8})^2}\)               Streckung: c=8

\(7 \cdot e^{-|8t|} \circ - \bullet 7 \cdot \frac{1}{8} \cdot \frac{2}{1+(\frac{\omega}{8})^2}= \frac{7}{4(1+(\frac{\omega}{8})^2)}\)            Linearität: \(\alpha = 7\)

Streckung:

\(f(c \cdot t) \circ - \bullet \frac{1}{c} \cdot F \cdot \frac{\omega}{c}}\)

Linearität:

\(\alpha \cdot f( t) \circ - \bullet \alpha \cdot F(\omega)\)

\(f(t)=8 \cdot e^{5it} \cdot e^{-|4t-8|}\)

\(e^{-|t|} \circ - \bullet \frac{2}{1+\omega^2}\)

\(e^{-|4t|} \circ - \bullet \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{1+(\frac{\omega}{4})^2}\)               Streckung: c=4

\(e^{-|4t-8|} \circ - \bullet e^{- 2 i \omega} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{1+(\frac{\omega}{4})^2}\)          Verschiebung im Zeitbereich:  a=2

\(e^{5it} \cdot e^{-|4t-8|} \circ - \bullet e^{- 2 i (\omega-5)} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{1+(\frac{\omega-5}{4})^2}\)          Verschiebung im Frequenzbereich: \(\Omega=5\)

\(8 \cdot e^{5it} \cdot e^{-|4t-8|} \circ - \bullet 8 \cdot e^{- 2 i (\omega-5)} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{1+(\frac{\omega-5}{4})^2}\)          Linearität: \(\alpha = 8\)

Streckung:

\(f(c \cdot t) \circ - \bullet \frac{1}{c} \cdot F \cdot \frac{\omega}{c}}\)

Linearität:

\(\alpha \cdot f( t) \circ - \bullet \alpha \cdot F(\omega)\)

Verschiebung im Zeitbereich:

\(f( t - a) \circ - \bullet e^{-i \omega a} \cdot F(\omega)\)

Verschiebung im Frequenzbereich:

\(e^{-i t \Omega} \cdot f(t) \circ - \bullet \cdot F(\omega - \Omega)\)

\(f(t)=e^{7it} \cdot 8 \cdot e^{-|4t|}\)

\(e^{-|t|} \circ - \bullet \frac{2}{1+(\omega)^2}\)

\(e^{-|4t|} \circ - \bullet \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{1+(\frac{\omega}{4})^2}\)               Streckung: c=4

\(8 \cdot e^{-|4t|} \circ - \bullet 8 \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{1+(\frac{\omega}{4})^2}\)           Linearität: \(\alpha = 8\)

\(e^{-7it} \cdot 8 \cdot e^{-|4t|} \circ - \bullet 4 \cdot \frac{2}{1+(\frac{\omega - 7}{4})^2}\)      Verschiebung im Frequenzbereich: \(\Omega=7\)

Streckung:

\(f(c \cdot t) \circ - \bullet \frac{1}{c} \cdot F \cdot \frac{\omega}{c}}\)

Linearität:

\(\alpha \cdot f( t) \circ - \bullet \alpha \cdot F(\omega)\)

Verschiebung im Zeitbereich:

\(f( t - a) \circ - \bullet e^{-i \omega a} \cdot F(\omega)\)

Verschiebung im Frequenzbereich:

\(e^{-i t \Omega} \cdot f(t) \circ - \bullet \cdot F(\omega - \Omega)\)

\(f(t)=e^{-|3t|}\)

\(e^{-|t|} \circ - \bullet \frac{2}{1+(\omega)^2}\)

\(e^{-|3t|} \circ - \bullet \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{1+(\frac{\omega}{3})^2}\)               Streckung: c=3

Streckung:

\(f(c \cdot t) \circ - \bullet \frac{1}{c} \cdot F \cdot \frac{\omega}{c}}\)

Linearität:

\(\alpha \cdot f( t) \circ - \bullet \alpha \cdot F(\omega)\)

Verschiebung im Zeitbereich:

\(f( t - a) \circ - \bullet e^{-i \omega a} \cdot F(\omega)\)

Verschiebung im Frequenzbereich:

\(e^{-i t \Omega} \cdot f(t) \circ - \bullet \cdot F(\omega - \Omega)\)

\(f(t)=e^{-|\frac{5t}{7}|}\)

\(e^{-|t|} \circ - \bullet \frac{2}{1+(\omega)^2}\)

\(e^{-|\frac{5t}{7}|} \circ - \bullet \frac{1}{\frac{5}{7}} \cdot \frac{2}{1+(\frac{\omega}{\frac{5}{7}})^2}\)               Streckung: \(c=\frac{5}{7}\)

Streckung:

\(f(c \cdot t) \circ - \bullet \frac{1}{c} \cdot F \cdot \frac{\omega}{c}}\)

Linearität:

\(\alpha \cdot f( t) \circ - \bullet \alpha \cdot F(\omega)\)

Verschiebung im Zeitbereich:

\(f( t - a) \circ - \bullet e^{-i \omega a} \cdot F(\omega)\)

Verschiebung im Frequenzbereich:

\(e^{-i t \Omega} \cdot f(t) \circ - \bullet \cdot F(\omega - \Omega)\)

\(f(t)=\frac{5}{1+(t+3)^2}\)

\(\frac{1}{1+t^2} \circ - \bullet \pi e^{-| \omega |}\)

\(\frac{1}{1+(t+3)^2} \circ - \bullet \pi e^{-| \omega |} \cdot e^{i \omega 3}\)               Verschiebung im Zeitbereich: a= -3

\(\frac{5}{1+(t+3)^2} \circ - \bullet 5 \cdot \pi e^{-| \omega |} \cdot e^{i \omega 3}\)          Linearität: \(\alpha = 5\)

Streckung:

\(f(c \cdot t) \circ - \bullet \frac{1}{c} \cdot F \cdot \frac{\omega}{c}}\)

Linearität:

\(\alpha \cdot f( t) \circ - \bullet \alpha \cdot F(\omega)\)

Verschiebung im Zeitbereich:

\(f( t - a) \circ - \bullet e^{-i \omega a} \cdot F(\omega)\)

Verschiebung im Frequenzbereich:

\(e^{-i t \Omega} \cdot f(t) \circ - \bullet \cdot F(\omega - \Omega)\)

\(f(t)=\frac{1}{1+(2t)^2}\)

\(\frac{1}{1+t^2} \circ - \bullet \pi e^{-| \omega |}\)

\(\frac{1}{1+(2t)^2} \circ - \bullet \frac{1}{2} \pi e^{-| \frac{\omega}{2} |} \)              Streckung: c=2

Streckung:

\(f(c \cdot t) \circ - \bullet \frac{1}{c} \cdot F \cdot \frac{\omega}{c}}\)

Linearität:

\(\alpha \cdot f( t) \circ - \bullet \alpha \cdot F(\omega)\)

Verschiebung im Zeitbereich:

\(f( t - a) \circ - \bullet e^{-i \omega a} \cdot F(\omega)\)

Verschiebung im Frequenzbereich:

\(e^{-i t \Omega} \cdot f(t) \circ - \bullet \cdot F(\omega - \Omega)\)

\(f(t)=\frac{10}{1+t^2}\)

\(\frac{1}{1+t^2} \circ - \bullet \pi e^{-| \omega |}\)

\(\frac{10}{1+t^2} \circ - \bullet 10 \cdot \pi e^{-| \omega |} \)              Linearität: \(\alpha =10\)

Streckung:

\(f(c \cdot t) \circ - \bullet \frac{1}{c} \cdot F \cdot \frac{\omega}{c}}\)

Linearität:

\(\alpha \cdot f( t) \circ - \bullet \alpha \cdot F(\omega)\)

Verschiebung im Zeitbereich:

\(f( t - a) \circ - \bullet e^{-i \omega a} \cdot F(\omega)\)

Verschiebung im Frequenzbereich:

\(e^{-i t \Omega} \cdot f(t) \circ - \bullet \cdot F(\omega - \Omega)\)

\(f(t)=\frac{1}{1+(2(t-2))^2}\)

\(\frac{1}{1+t^2} \circ - \bullet \pi e^{-| \omega |}\)

\(\frac{1}{1+(2t)^2} \circ - \bullet \frac{1}{2} \pi e^{-| \frac{ \omega}{2} |}\)              Streckung: c=2

\(\frac{1}{1+(2(t-2))^2} \circ - \bullet \frac{1}{2} \pi e^{-| \frac{ \omega}{2} |} \cdot e^{-2i \omega}\)     Verschiebung im Zeitbereich: a=2

Streckung:

\(f(c \cdot t) \circ - \bullet \frac{1}{c} \cdot F \cdot \frac{\omega}{c}}\)

Linearität:

\(\alpha \cdot f( t) \circ - \bullet \alpha \cdot F(\omega)\)

Verschiebung im Zeitbereich:

\(f( t - a) \circ - \bullet e^{-i \omega a} \cdot F(\omega)\)

Verschiebung im Frequenzbereich:

\(e^{-i t \Omega} \cdot f(t) \circ - \bullet \cdot F(\omega - \Omega)\)

\(f(t)=\frac{1}{1+(\frac{t}{2})^2}\)

\(\frac{1}{1+t^2} \circ - \bullet \pi e^{-| \omega |}\)

\(\frac{1}{1+(\frac{t}{2})^2} \circ - \bullet \frac{1}{2} \pi e^{-| \frac{\omega}{\frac{1}{2}} |}\)              Streckung: \(c=\frac{1}{2}\)

Streckung:

\(f(c \cdot t) \circ - \bullet \frac{1}{c} \cdot F \cdot \frac{\omega}{c}}\)

Linearität:

\(\alpha \cdot f( t) \circ - \bullet \alpha \cdot F(\omega)\)

Verschiebung im Zeitbereich:

\(f( t - a) \circ - \bullet e^{-i \omega a} \cdot F(\omega)\)

Verschiebung im Frequenzbereich:

\(e^{-i t \Omega} \cdot f(t) \circ - \bullet \cdot F(\omega - \Omega)\)

\(\mathcal{F} (f) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \bigint_{-\infty}^{\infty} f(x)e^{-ikx}dx = \\ \)

\(= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \Big( \bigint_{-\infty}^{-a} 0 \cdot e^{-ikx} dx + \bigint_{-a}^{a} 1 \cdot e^{-ikx} dx + \bigint_{a}^{\infty} 0 \cdot e^{-ikx} \Big) = \\ \)

\(= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\bigint_{-a}^{a} 1 \cdot e^{-ikx} dx = \\ = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \frac{1}{-ik} e^{-ikx} \; \mid _{-a}^{a} = \\ \)

\(= \sqrt{\frac{1}{2\pi}} \cdot \frac{1}{ik} \Big( e^{ika} - e^{-ika} \Big)\)

Nun muss etwas getrickst werden (der obige Ausdruck wird mit 2 unter der Wurzel erweitert):

\(= \sqrt{\frac{2}{2\cdot 2\pi}} \cdot \frac{1}{ik} \Big( e^{ika} - e^{-ika} \Big) = \\ = \sqrt{\frac{2}{4\pi}} \cdot \frac{1}{ik} \Big( e^{ika} - e^{-ika} \Big) \)

Nun kann die Wurzel aus 4 gezogen werden und man erhält:

\(= \sqrt{\frac{2}{\pi}} \cdot \frac{1}{2ik} \Big( e^{ika} - e^{-ika} \Big) = \\ = \sqrt{\frac{2}{\pi}} \cdot \frac{1}{k} \cdot \frac{1}{2i} \Big( e^{ika} - e^{-ika} \Big) = \\ \)

\(=\sqrt{\frac{2}{\pi}} \cdot \frac{1}{k} \sin (ak) = \\ =\sqrt{\frac{2}{\pi}} \cdot \frac{\sin (ak)}{k} \)

Die Fouriertransformierte einer Funktion der Form \(e^{jat}f(t)\) ist durch \(F(\omega-a)\) gegeben.

Daher ist \(\sqrt{\pi}e^{-(\omega-3)^2/4}\) die richtige Antwort.

Die Fouriertransformierte einer Funktion der Form \(t\cdot f(t)\) ist durch \(j\cdot F'(\omega)\) gegeben.

Es gilt \(F'(\omega)=\sqrt{\pi}\frac{-2}{4}\omega e^{-\omega^2/4}\) nach der Kettenregel, was (Bruch durch 2 gekürzt und Reihenfolge der Faktoren geändert) Folgendes ergibt: \(-\frac{1}{2}\omega\sqrt{\pi}e^{-\omega^2/4}\).

Daher ist \(j \cdot (-\frac{1}{2}\omega\sqrt{\pi}e^{-\omega^2/4}) = -\frac{1}{2}j\omega\sqrt{\pi}e^{-\omega^2/4}\)die richtige Antwort.

Die Fouriertransformierte der 1. Ableitung einer Funktion \(f\) ist durch \(j\omega F(\omega)\)gegeben .

Daher ist die richtige Antwort \(j\omega\sqrt{\pi}e^{-\omega^2/4}\).

Die Fouriertransformierte einer Funktion der Form \(af(t)\) ist durch \(aF(\omega)\) gegeben, die Fouriertransformierte einer Funktion der Form \(f(bt)\) ist durch \(\frac{1}{|b|}F(\frac{\omega}{b})\) gegeben.

Für eine Funktion der Form \(af(bt)\) ist die Fouriertransformierte daher durch \(a\frac{1}{|b|}F(\frac{\omega}{b})\) gegeben.

Daher ist \(2\frac{1}{2}\sqrt{\pi}e^{\frac{(\frac{\omega}{2})^2}{4}}=\sqrt{\pi}e^{\omega^2/16}\)die richtige Antwort.

Da \(f\) gerade ist gilt \(F(\omega)=a(\omega)=2\int_{0}^{\infty}\cos(\omega t)f(t)dt\).

Es gilt \(\int_{0}^{\infty}\cos(\omega t)f(t)dt=\int_{0}^{1}\cos(\omega t)(1-t)dt=\int_{0}^{1}\cos(\omega t)dt-\int_{0}^{1}\cos(\omega t)tdt\), wobei als obere Grenze im Integral \(1\) gewählt wird, da die Funktion \(f\) für \(t \geq 1\) ident \(0\) ist. Da \(f\) im Invervall \([0,1]\) als \(1-t\) geschrieben werden kann, kann der Ausdruck \(1-t\) anstatt \(1-|t|\) verwendet werden.

Integrieren des linken bestimmten Integrals und partielles Integrieren des rechten bestimmten Integrals führt zu

\(\Big(\frac{1}{\omega}\sin(\omega t)\Big)|_{t=0}^{1} - \Big(\frac{1}{\omega}\sin(\omega t)t\Big)|_{t=0}^{1}+\int_{0}^{1}\frac{1}{\omega}\sin(\omega t) dt\).

Einsetzen der Integrationsgrenzen für \(t\) und integrieren des übriggebliebenen Integrals führt zu

\(\frac{1}{\omega}\sin(\omega) -\frac{1}{\omega}\sin(\omega)-\Big(\frac{1}{\omega^2}\cos(\omega t)\Big)|_{t=0}^{1}\) .

Die ersten beiden Terme heben sich auf und erneutes Einsetzen der Grenzen für \(t\) im rechten Term ergibt

\(-\frac{1}{\omega^2} \cos(\omega)+\frac{1}{\omega^2}=\frac{1-\cos(\omega)}{\omega^2}\).

Daher gilt

\(F(\omega)=2\int_{0}^{\infty}\cos(\omega t)f(t)dt=2\frac{1-\cos(\omega)}{\omega^2}\).

Unterhalb finden Sie eine graphische Darstellung der Funktion \(f\) und ihrer Fouriertransformierten \(F\).

Die Fouriertransformierte einer Funktion der Form \(f(t-a)\) ist durch \(e^{-ja\omega}F(\omega)\) gegeben.

Daher ist die richtige Antwort \(e^{-3j\omega}\frac{1}{b+jw}=\frac{e^{-3j\omega}}{b+jw}\).

Die Fouriertransformierte einer Funktion der Form \(a \cdot f(t)\) ist durch \(a \cdot F(\omega)\) gegeben.

Daher ist die richtige Antwort \(2 \cdot \frac{1}{b+j\omega}=\frac{2}{b+j\omega}\).

Die Fouriertransformierte einer Funktion der Form \(f(at)\) ist durch \(\frac{1}{|a|}F(\frac{\omega}{a})\) gegeben.

Daher ist die richtige Antwort (\(a=\frac{1}{2}\)) \(\frac{1}{1/2} \cdot \frac{1}{b+j\frac{\omega}{1/2}}= 2 \cdot \frac{1}{b+2j\omega}=\frac{2}{b+2j\omega}\).

Dabei wurde (zweimal) der Bruch \(\frac{1}{1/2}\) mit \(2\) erweitert:  \(\frac{1}{1/2}=\frac{1\cdot 2}{(1/2)\cdot 2 } = \frac{2}{1}=2\) .

Anmerkung:

Den Impuls \(f(\frac{t}{2})\) erhalten Sie auch, indem Sie \(b\) in der Funktionsvorschrift von \(f\) durch \(\frac{b}{2}\) ersetzen. Daher kann die Fouriertransformierte direkt aus der Angabe gewonnen werden:

\(\frac{1}{b/2+jw}\) .

Erweitert man diesen Bruch mit \(2\) erhält man die (klarerweise) idente Fouriertransformierte

\(\frac{2}{b+2j\omega}\).

Die Fouriertransformierte einer Funktion der Form \((f \star g)(t)\) ist durch \(F(\omega) \cdot G(\omega)\) gegeben.

Daher ist die richtige Antwort (mit \(f=g\)) via \(F(\omega) \cdot F(\omega)= \sqrt{\pi} e^{-\omega^2/4} \cdot \sqrt{\pi} e^{-\omega^2/4} = \Big( \sqrt{\pi} e^{-\omega^2/4} \Big)^2\) . Weiter mit den Rechenregeln für Potenzen \(\sqrt{\pi}^2(e^{-\omega^2/4})^2=\pi e^{(-\omega^2/4) \cdot 2} = \pi e^{-\omega^2/2}\).

Die Fouriertransformierte einer Funktion der Form \(f(t-a)\) ist durch \(e^{-ja\omega}F(\omega)\) gegeben.

Daher gilt \(G(\omega)=e^{3j\omega}F(\omega)\) sowie  \(H(\omega)=e^{-3j\omega}F(\omega)\),

wobei \(F, G\) bzw. \(H\) die Fouriertransformierte von \(f, g\) bzw. \(h\) bezeichnen.

Auch gilt: Die Fouriertransformierte einer Funktion der Form \((f \star g)(t)\) ist durch \(F(\omega) \cdot G(\omega)\) gegeben.

Daher:

\(\mathcal{F}\Big[(f \star f) (t)\Big](\omega)=F(\omega) \cdot F(\omega)\),

\(\mathcal{F}\Big[(g \star h) (t)\Big](\omega)=G(\omega) \cdot H(\omega)=e^{3j\omega}F(\omega) \cdot e^{-3j\omega}F(\omega)=F(\omega) \cdot F(\omega)\),

\(\mathcal{F}\Big[(g \star g) (t)\Big](\omega)=G(\omega) \cdot G(\omega)=e^{3j\omega}F(\omega) \cdot e^{3j\omega}F(\omega)=e^{6j\omega}F(\omega)\) und

\(\mathcal{F}\Big[(h \star h) (t)\Big](\omega)=H(\omega) \cdot H(\omega)=e^{-3j\omega}F(\omega) \cdot e^{-3j\omega}F(\omega)=e^{-6j\omega}F(\omega)\).

Wir sehen damit, dass folgende Antworten richtig sind:

\(\mathcal{F}\Big[(f \star f) (t)\Big](\omega)=\mathcal{F}\Big[(g \star h) (t)\Big](\omega)\) und

\(\mathcal{F}\Big[(g \star g) (t)\Big](\omega)=e^{6j\omega}\cdot \mathcal{F}\Big[(f \star f) (t)\Big](\omega)\).

Auch gilt allgemein \(f \star g = g \star f\) (die Faltung ist symmetrisch). Daher sind auch die Fouriertransformatierte von \(f \star g\) und\(g \star f\) ident. Folgende Antwortmöglichkeit ist also ebenfalls korrekt:

\(\mathcal{F}\Big[(f \star g) (t)\Big](\omega)=\mathcal{F}\Big[(g \star f) (t)\Big](\omega)\)

Die Fouriertransformierte einer Funktion der Form \(a \cdot f(t)\) ist durch \(a \cdot F(\omega)\) gegeben.

Daher gilt für diese Aufgabe (mit \(a=2\)): \(F(\omega)=2\sqrt{\pi}e^{-\omega^2/4}\).

Die Fouriertransformierte einer Funktion der Form \(f(t-a)\) ist durch \(e^{-ja\omega}\cdot F(\omega)\) gegeben.

Daher gilt für diese Aufgabe (mit \(a=-3\)): \(G(\omega)=e^{3j\omega}\sqrt{\pi}e^{-\omega^2/4}\).

Weiters gilt: Die Fouriertransformierte einer Funktion der Form \((f \star g)(t)\) ist durch \(F(\omega) \cdot G(\omega)\) gegeben.

Daher gilt für diese Aufgabe:

\(\mathcal{F}[(f \star g)(t)](\omega)=F(\omega)\cdot G(\omega)=2\sqrt{\pi}e^{-\omega^2/4} \cdot e^{3j\omega}\sqrt{\pi}e^{-\omega^2/4}= 2e^{3j\omega}\Big(\sqrt{\pi}e^{-\omega^2/4}\Big)^2\)

und \(2e^{3j\omega}\Big(\sqrt{\pi}e^{-\omega^2/4}\Big)^2\) die richtige Antwort.

Anmerkung: Die Lösung kann noch weiter umgeformt ("vereinfacht") werden:

\(2e^{3j\omega}\Big(\sqrt{\pi}e^{-\omega^2/4}\Big)^2=2e^{3j\omega}\sqrt{\pi}^2(e^{-\omega^2/4})^2=2e^{3j\omega}\pi e^{-2 \cdot \omega^2/4}=2e^{3j\omega}\pi e^{-\omega^2/2}\).

Demnach kann die Lösung auch in der folgenden Form angegeben werden:

\(2e^{3j\omega}\pi e^{-\omega^2/2}\).

Die Fourierdarstellung einer Funktion \(f\) ist

\(f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(\omega)e^{j\omega t} d\omega\) (Vorfaktor \(\frac{1}{2\pi}\), positiver Exponent, Integrationsvariable \(\omega\))

Das (Frequenz-)Spektrum bzw. die Fouriertransformierte \(F\) von \(f\)  ist

\(F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-j\omega t} dt\) (kein Vorfaktor/Vorfaktor \(1\), negativer Exponent, Integrationsvariable \(t\))

Dies sind die beiden korrekten Antwortmöglichkeiten.

Die Fouriertransformierte einer Funktion der Form \((f \star g)(t)\) ist durch \(F(\omega) \cdot G(\omega)\) gegeben.

Daher ist die richtige Antwort (mit \(f=g\)): \(F(\omega) \cdot F(\omega)= 2\frac{\sin(\omega)}{\omega} \cdot 2\frac{\sin(\omega)}{\omega} = 4 \frac{\sin^2(\omega)}{\omega^2}=4\text{si}^2(\omega)\).

Die Fouriertransformierte einer Funktion der Form \(f(t)+g(t)\) ist durch \(F(\omega) + G(\omega)\) gegeben, wobei mit \(F\) bzw. \(G\) die Fouriertransformierte von \(f\) bzw. \(g\) bezeichnet wird.

Daher kann von beiden Summanden der Funktion (unabhängig von dem anderen Summanden) die Fouriertransformierte bestimmt werden und anschließend können die beiden Fouriertransformierten addiert werden. 

• Für den Summanden \(e^{-|\pi t|} \):

Die Fouriertransformierte einer Funktion der Form \(f(at)\) ist durch \(\frac{1}{|a|}F(\frac{\omega}{a})\) gegeben.

Daher ist die Fouriertransformierte von  \(e^{-|\pi t|} \) (mit \(a=\pi\)) durch \(\frac{1}{\pi}\cdot\frac{2}{1+\frac{\omega^2}{\pi^2}}\) gegeben.

• Für den Summanden \(e^{-|t+\pi|}\):

Die Fouriertransformierte einer Funktion der Form \(f(t-a)\) ist durch \(e^{-ja\omega}F(\omega)\) gegeben.

Daher ist die Fouriertransformierte von  \(e^{-|\pi t|} \) (mit \(a=-\pi\)) durch \(e^{j\pi\omega}\frac{2}{1+\omega^2}\) gegeben.

• Gesamtlsösung:

Diese erhält man durch addieren der beiden bereits berechneten Fouriertransformierten:

\(\frac{1}{\pi}\cdot\frac{2}{1+\frac{\omega^2}{\pi^2}}+e^{j\pi\omega}\frac{2}{1+\omega^2}\)

Die Fouriertransformierte der 1. Ableitung einer Funktion \(f\) ist durch \(j\omega F(\omega)\)gegeben.

Daher ist die richtige Antwort \(j\omega\frac{2}{1+\omega^2}=\frac{2j\omega}{1+\omega^2}\).

Die inverse Fouriertransformierte einer Funktion der Form \(F(\omega-a)\) ist durch \(e^{jat}f(t)\) gegeben.

Daher ist die inverse Fouriertransfomierte von \(\frac{2}{1+(\omega+3)^2}\) (mit \(a=-3\)) durch \(e^{-3jt}e^{-|t|}\) gegeben.

Die inverse Fouriertransformierte einer Funktion der Form \(F(\omega-a)\) ist durch \(e^{jat}f(t)\) gegeben.

Daher ist die inverse Fouriertransfomierte von \(\frac{2}{1+(\omega-4)^2}\) (mit \(a=4\)) durch \(e^{4jt}e^{-|t|}\) gegeben.

Auch gilt: Die inverse Fouriertransformierte einer Funktion der Form \(b\cdot F(\omega)\) ist durch \(b \cdot f(t)\) gegeben.

Daher ist die inverse Fouriertransfomierte von \(\frac{10}{1+(\omega-4)^2}=5 \cdot \frac{2}{1+(\omega-4)^2}\) durch \(5 \cdot e^{4jt}e^{-|t|}\) gegeben.

Die inverse Fouriertransformierte von \((-\omega^2+3)F(\omega)\) ist ident mit der inversen Transformation von \(-\omega^2\cdot F(\omega)\) addiert mit der inversen Transformation von \(3 \cdot F(\omega)\).

• Für  \(-\omega^2\cdot F(\omega)\):

Zweimaliges verwenden der "Ableitungsregel" ((5.49) im Skriptum "Fouriertransformation: Einführung") liefert:

Die inverse Fouriertransformierte von \(j^2\omega^2F(\omega)=-\omega^2F(\omega)\) (da \(j^2=-1\)) ist durch \(f''(t)\) gegeben.

• Für \(3 \cdot F(\omega)\):

Die inverse Fouriertransformierte von \(3 \cdot F(\omega)\) ist durch \(3 \cdot f(t)\) gegeben.

• Daher gesamt:

\(f''(t)+3\cdot f(t)\).

Die inverse Fouriertransformierte von \(j \cdot F'(\omega)\) ist durch \(t \cdot f(t)\) gegeben ("Ableitungsregel", (5.50) im Skriptum "Fouriertransformation: Einführung").

Verwenden der Linearität ((5.2) im Skriptum "Fouriertransformation: Einführung"), in diesem Fall für Multiplikation mit \(j\) ergibt:

Die inverse Fouriertransformierte von \(j^2 \cdot F'(\omega) = - F'(\omega)\) ist durch \(jt \cdot f(t)\) gegeben.

Erneutes verwenden der Linearität ((5.2)) nun für Multiplikation mit 4 ergibt:

Die inverse Fouriertransformierte von \(- 4 \cdot F'(\omega)\) ist durch \(4 jt \cdot f(t)\) gegeben.

Die Fouriertransformation ist linear, es gilt also \(\mathcal{F}\Big(f''(t)+3f'(t)-5f(t)\Big)=\mathcal{F}\Big(f''(t)\Big)+3\cdot \mathcal{F}\Big(f'(t)\Big)-5\cdot \mathcal{F}\Big(f'(t)\Big)\).

• Für \(f''(t)\):

Zweimaliges anwenden der "Ableitungsregel" ((5.49) im Skriptum "Fouriertransformation: Einführung") liefert:

\(\mathcal{F}\Big(f''(t)\Big)(\omega)=j^2\omega^2 F(\omega)=-\omega^2 F(\omega)\).

• Für \(f'(t)\):

Anwenden der "Ableitungsregel" ((5.49) im Skriptum "Fouriertransformation: Einführung") liefert:

\(\mathcal{F}\Big(f'(t)\Big)(\omega)=j\omega F(\omega)\).

• Für \(f(t)\):

Laut Angabe gilt \(\mathcal{F}\Big(f(t)\Big)(\omega)=F(\omega)\).

• Daher gesamt:

\(\mathcal{F}\Big(f''(t)+3f'(t)-5f(t)\Big)=\mathcal{F}\Big(f''(t)\Big)+3\cdot \mathcal{F}\Big(f'(t)\Big)-5\cdot \mathcal{F}\Big(f'(t)\Big)=-\omega^2 F(\omega)+3j\omega F(\omega)-5F(\omega)\)

und herausheben von \(F(\omega)\) liefert

\(\Big(-\omega^2+3j\omega-5\Big)F(\omega)\)

Die Fouriertransformation ist linear, es gilt also \(\mathcal{F}\Big(f'(t)+t \cdot f(t)\Big)=\mathcal{F}\Big(f'(t)\Big)+\mathcal{F}\Big(t \cdot f(t)\Big)\).

• Für \(f'(t)\):

Anwenden der "Ableitungsregel" ((5.49) im Skriptum "Fouriertransformation: Einführung") liefert:

\(\mathcal{F}\Big(f'(t)\Big)(\omega)=j\omega F(\omega)\).

• Für \(t \dot f(t)\):

Anwenden der "Ableitungsregel nach Rollentausch von \(f\) und \(F\)" ((5.50) im Skriptum "Fouriertransformation: Einführung") liefert:

\(\mathcal{F}\Big(t \cdot f(t)\Big)(\omega)=j F'(\omega)\).

• Daher gesamt:

\(\mathcal{F}\Big(f'(t)+t \cdot f(t)\Big)=\mathcal{F}\Big(f'(t)\Big)+\mathcal{F}\Big(t \cdot f(t)\Big)=j\omega F(\omega)+j F'(\omega)\)

Die Fouriertransformation ist linear, es gilt also \(\mathcal{F}\Big(f'(t)+2 \cdot f(2t)\Big)=\mathcal{F}\Big(f'(t)\Big)\)..

• Für \(f'(t)\):

Anwenden der "Ableitungsregel" ((5.49) im Skriptum "Fouriertransformation: Einführung") liefert:

\(\mathcal{F}\Big(f'(t)\Big)(\omega)=j\omega F(\omega)\)

.

• Für \(f(2t)\):

Anwenden von \(\mathcal{F}\Big(f(at)\Big)(\omega)=\frac{1}{|a|} F(\frac{\omega}{a})\) liefert (mit \(a=2\))

\(\mathcal{F}\Big(f(2t)\Big)(\omega)=\frac{1}{2} F(\frac{\omega}{2})\).

• Daher gesamt:

\(\mathcal{F}\Big(f'(t)+2 \cdot f(2t)\Big)=\mathcal{F}\Big(f'(t)\Big)+2 \cdot \mathcal{F}\Big(f(2t)\Big)= j\omega F(\omega) + 2\cdot \frac{1}{2} F(\frac{\omega}{2})\)

und ausmultiplizieren liefert

\( j\omega F(\omega) + F(\frac{\omega}{2})\).