Die Funktionsgraphen von ungerade Funktionen sind symmetrisch zum Ursprung.

Die Funktionsgraphen von ungerade Funktionen sind symmetrisch zum Ursprung.

Die Funktionsgraphen von ungeraden Funktionen sind symmetrisch zum Ursprung.

Gerade Funktionen sind symmetrisch zur y-Achse.

Gerade Funktionen sind symmetrisch zur y">y-Achse.

Gerade Funktionen sind symmetrisch zur y">y-Achse.

Formel für die Kreisfrequenz:

 \(\omega=\frac{2\pi}{T}=\frac{2\pi}{2\pi}=1\)

Formel für die Kreisfrequenz:

 \(\omega=\frac{2\pi}{T}=\frac{2\pi}{\pi}=2\)

Formel für die Kreisfrequenz:

 \(\omega=\frac{2\pi}{T}=\frac{2\pi}{\frac{\pi}{2}}=4\)

Die vorliegende Funktion ist ungerade, d.h. sie kann am Ursprung gespiegelt werden.

Für ungerade Funktionen gilt \(c_0=0\).

Die vorliegende Funktion ist ungerade, d.h. sie kann am Ursprung gespiegelt werden.

Für ungerade Funktionen gilt \(c_0=0\).

Die vorliegende Funktion ist ungerade, d.h. sie kann am Ursprung gespiegelt werden.

Für ungerade Funktionen gilt \(a_k=0\).

Die vorliegende Funktion ist ungerade, d.h. sie kann am Ursprung gespiegelt werden.

Für ungerade Funktionen gilt \(a_k=0\).

Die vorliegende Funktion ist gerade, d.h. sie kann an der Y-Achse gespiegelt werden.

Für gerade Funktionen gilt \(b_k=0\).

Die vorliegende Funktion ist gerade, d.h. sie kann an der Y-Achse gespiegelt werden.

Für gerade Funktionen gilt \(b_k=0\).

\(T=2\pi\)

Formel für \(C_0\):

\(C_0=\frac{1}{T} \int\limits_{0}^{T} f(t) dt \)

Abschnittweise in die Formel einsetzen:

\(= \frac{1}{T} \int\limits_{0}^{\tiny{\frac{\pi}{2}}} 0 dt + \int\limits_{\tiny{\frac{\pi}{2}}}^{\tiny{\frac{3\pi}{2}}} 1 dt + \int\limits_{\tiny{\frac{3\pi}{2}}}^{\tiny{2\pi}} 0 dt = \)

Integrieren:

\(=\frac{1}{2\pi}(0+ \frac{1}{2\pi} (t|\limits_{\tiny\frac{\pi}{2}}^{\tiny\frac{3\pi}{2}}) +0)=\)

Integrationsgrenzen einsetzen:

\(=\frac{1}{2\pi}(\frac{3\pi}{2}-\frac{\pi}{2})= \frac{\pi}{2\pi}= \frac{1}{2}\)

\(T=2\pi\)

Formel für \(C_0\):

\(C_0=\frac{1}{T} \int\limits_{\tiny{-\frac{T}{2}}}^{\tiny{\frac{T}{2}}} f(t) dt =\frac{2}{T} \int\limits_{0}^{\tiny{\frac{T}{2}}} f(t) dt \)

Abschnittweise in die Formel einsetzen:

\(= \frac{2}{2\pi} \int\limits_{0}^{\tiny{\frac{\pi}{4}}} -3 dt + \int\limits_{\tiny{\frac{\pi}{4}}}^{\tiny{\frac{\pi}{2}}} 0 dt + \int\limits_{\tiny{\frac{\pi}{2}}}^{\pi} 2 dt = \)

Integrieren:

\(=\frac{1}{\pi}(-3t|\limits_{0}^{\tiny\frac{\pi}{4}}+0+2t|\limits_{\tiny\frac{\pi}{2}}^{\pi})=\)

Integrationsgrenzen einsetzen:

\(=\frac{1}{\pi}(0-\frac{3\pi}{4}+2\pi-\frac{2\pi}{2})= \frac{1}{\pi}(-\frac{3\pi}{4}+\pi)= \frac{1}{\pi} \cdot \frac{\pi}{4}= \frac{1}{4}\)

\(T=2\pi\)

Formel für \(a_k\):

\(a_k=\frac{2}{T} \int\limits_{0}^{T}} f(t) \cdot cos(k \omega t) dt \)

Abschnittweise in die Formel einsetzen:

\(= \frac{2}{2\pi} \int\limits_{0}^{\tiny{\frac{\pi}{4}}} 0 \cdot cos(k \omega t)dt + \int\limits_{\tiny{\frac{\pi}{4}}}^{\tiny{\frac{3\pi}{2}}} 1 \cdot cos(k \omega t) dt \)\(+ \int\limits_{\tiny{\frac{3\pi}{2}}}^{2\pi} 0 dt \cdot cos(k \omega t) =\)

Integrieren:

\(=\frac{1}{\pi}(0+(sin(k \omega t)\cdot \frac{1}{k \omega}) |\limits_{\tiny\frac{\pi}{2}}^{\tiny\frac{3\pi}{2}}+0)=\)

Integrationsgrenzen einsetzen:

\(=\frac{1}{\pi}[sin(\frac{k \omega 3 \pi}{2}) \cdot \frac{1}{k\omega}-(sin(k \omega \pi) \cdot \frac{1}{k \omega} )]= \)\(\frac{sin(\frac{k \omega 3 \pi}{2})}{k\omega\pi}-\frac{sin(\frac{k \omega \pi}{2})}{k \omega \pi} \)

\(T=2\pi\)

Formel für \(a_k\):

\(a_k=\frac{2}{T} \int\limits_{\tiny{-\frac{T}{2}}}^{\tiny{\frac{T}{2}}} f(t) \cdot cos(k \omega t) dt =\frac{4}{T} \int\limits_{0}^{\tiny{\frac{T}{2}}} f(t)\cdot cos(k \omega t) dt \)

Abschnittweise in die Formel einsetzen:

\(= \frac{4}{2\pi} \int\limits_{0}^{\tiny{\frac{\pi}{4}}} -3 \cdot cos(k \omega t)dt + \int\limits_{\tiny{\frac{\pi}{4}}}^{\tiny{\frac{3\pi}{2}}} 0\cdot cos(k \omega t) dt \)\(+ \int\limits_{\tiny{\frac{\pi}{2}}}^{\pi} 2 \cdot cos(k \omega t)dt =\)

Integrieren:

\(=\frac{2}{\pi}(-3 sin(k \omega t \cdot \frac{1}{k \omega})|\limits_{0}^{\tiny\frac{\pi}{4}}+0+2(sin(k \omega t) \cdot \frac{1}{k \omega})|\limits_{\tiny\frac{\pi}{2}}^{\pi})=\)

Integrationsgrenzen einsetzen:

 \(=\frac{-6 \sin(\frac{k \omega \pi}{4})+4(\sin(k \omega \pi)-\sin(\frac{k \omega \pi}{2}))}{k \omega \pi}\)

\(T=\pi\)

Formel für \(b_k\):

\(b_k=\frac{2}{T} \int\limits_{\tiny{-\frac{T}{2}}}^{\tiny{\frac{T}{2}}} f(t) \cdot sin(k \omega t) dt \)

Abschnittweise in die Formel einsetzen:

\(= \frac{2}{\pi} ( \int\limits_{\tiny{-\frac{\pi}{2}}}^{\tiny 0} -1 \cdot sin(k \omega t)dt + \int\limits_{0}^{\tiny{\frac{\pi}{2}}} 1 \cdot sin(k \omega t) dt ) = \)

Integrieren:

\(=\frac{2}{\pi} (cos (k \omega t) \cdot \frac{1}{k \omega})|\limits_{\tiny-\frac{\pi}{2}}^{\tiny 0}) + (- cos(k \omega t) \cdot \frac{1}{k \omega})|\limits_{\tiny 0}^{\tiny\frac{\pi}{2}} =\)

Integrationsgrenzen einsetzen:

\(\frac{2}{\pi} (\frac{1}{k \omega}-\frac{\cos(\frac{-\pi k \omega}{2})}{k \omega} + \frac{1}{k \omega}-\frac{\cos(\frac{\pi k \omega}{2})}{k \omega} )=\)

\(\frac{4-2 \cos(-\frac{\pi k \omega}{2})- 2 \cos(\frac{\pi k \omega}{2}) } {\pi k\omega}\)

\(T=\pi\)

Formel für \(b_k\):

\(b_k=\frac{2}{T} \int\limits_{\tiny{-\frac{T}{2}}}^{\tiny{\frac{T}{2}}} f(t) \cdot sin(k \omega t) dt \)

Abschnittweise in die Formel einsetzen:

\(= \frac{2}{\pi}( \int\limits_{\tiny{\frac{-\pi}{2}}}^{\tiny{-\frac{\pi}{4}}} -1\cdot sin(k \omega t) dt \) \( + \int\limits_{-\tiny{\frac{\pi}{4}}}^{\tiny{\frac{\pi}{4}}}\frac{4}{\pi} t \cdot sin(k \omega t)dt + \int\limits_{\tiny{\frac{\pi}{4}}}^{\tiny{\frac{\pi}{2}}} 1\cdot sin(k \omega t) dt ) =\)

Integrieren (siehe unten):

\(=\frac{2}{\pi} (cos(k \omega t) \cdot \frac{1}{k \omega} |\limits_{-\tiny \frac{\pi}{2}}^{-\tiny\frac{\pi}{4}}\)\( +\frac{4(\sin(k\omega t)-k\omega t \cos(k\omega t))}{\pi k^2\omega^2}| \limits_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}-\)\(cos(k \omega t) \cdot \frac{1}{k \omega} |\limits_{\tiny \frac{\pi}{4}}^{\tiny\frac{\pi}{2}})\)

Integrationsgrenzen einsetzen:

\(=\frac{2}{\pi} [\frac{cos(-\frac{k \omega \pi}{4})}{k \omega} -\frac{cos(-\frac{k \omega \pi}{2})}{k \omega} +\)\(\frac{8 \sin(\frac{\pi k \omega}{4})-2 \pi k \omega \cos(\frac{\pi k \omega}{4})}{\pi k^2\omega^2}\)\(-\frac{cos(\frac{k \omega \pi}{2})}{k \omega} +\frac{cos(\frac{k \omega \pi}{4})}{k \omega}]=\)

\(\frac{2}{\pi} [\frac{8 \sin(\frac{k\omega}{4})-2k\omega \pi \cos(\frac{k \omega \pi}{4})}{k^2 \omega^2 \pi}]\)\(=\frac{16 \sin(\frac{k\omega}{4})-4k\omega \pi \cos(\frac{k \omega \pi}{4})}{(k \omega \pi)^2}\)

Für das Integrieren von 

\(\int\limits_{-\tiny{\frac{\pi}{4}}}^{\tiny{\frac{\pi}{4}}} t \cdot sin(k \omega t)dt \)

Formel für partielle Integration anwenden:

\(\int u' \cdot v dt = u \cdot v - \int u \cdot v' \)       \(-->\)] -->          \(u = -cos (k \omega t) \frac{1}{k \omega} \\ u'= sin (k \omega t) \)      v =t \\[15in] v'=1

Einsetzen: 

\(- cos(k \omega t) \cdot \frac{1}{k \omega} \cdot t|\limits_{-\frac{\tiny \pi}{4}}^{\frac{\tiny \pi}{4}}- \)\(\int\limits_{-\frac{\tiny \pi}{4}}^{\tiny{\frac{\pi}{4}}} - cos(k \omega t) \cdot \frac{1}{k \omega} \cdot 1 dt\)

nun das verbliebene Integral lösen:

\(\frac{- cos(k \omega t) \cdot t}{k \omega}|\limits_{-\frac{\tiny \pi}{4}}^{\tiny \frac{\pi}{4}}+ \frac{sin(k \omega t)}{(k \omega)^2}|\limits_{-\frac{\tiny \pi}{4}}^{\tiny\frac{\pi}{4}}\)

zuerst zusammenfassen zu:

\( \frac{(\sin(k\omega t)-k\omega t \cos(k\omega t))}{ k^2\omega^2}| \limits_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}\)

\(S _\infty f(t)= c_0 + \sum\limits_{k=1}^{\infty} a_k \cdot cos (k \omega t) + \sum\limits_{k=1}^{\infty} b_k \cdot sin (k \omega t)\)

Die Funktion ist gerade, daraus folgt \(b_k = 0\).

\(T=2 \pi\)

Zuerst Berechnung der Koeffizienten (siehe unten), dann in die Formel für \(S_\infty f(t)\) einsetzen:

\(c_0 = \frac{1}{2}\)

\(a_k=\frac{sin(\frac{k \omega 3 \pi}{2})- sin(\frac{k \omega \pi}{2})}{k \omega \pi} \)

\(S _\infty f(t)= c_0 + \sum\limits_{k=1}^{\infty} a_k \cdot cos (k \omega t) + \sum\limits_{k=1}^{\infty} b_k \cdot sin (k \omega t)\)

\(S _\infty f(t)= \frac{1}{2} + \sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{sin(\frac{k \omega 3 \pi}{2})- sin(\frac{k \omega \pi}{2})}{k \omega \pi} \cdot cos (k \omega t) \)\(+ \sum\limits_{k=1}^{\infty} 0 \cdot sin (k \omega t)\)

\(S _\infty f(t)= \frac{1}{2} + \sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{sin(\frac{k \omega 3 \pi}{2})- sin(\frac{k \omega \pi}{2})}{k \omega \pi} \cdot cos (k \omega t) \)

Berechnung von \(c_0\):

\(c_0=\frac{1}{T} \int\limits_{0}^{T} f(t) dt \)

Abschnittweise in die Formel einsetzen:

\(= \frac{1}{T} \int\limits_{0}^{\tiny{\frac{\pi}{2}}} 0 dt + \int\limits_{\tiny{\frac{\pi}{2}}}^{\tiny{\frac{3\pi}{2}}} 1 dt + \int\limits_{\tiny{\frac{3\pi}{2}}}^{\tiny{2\pi}} 0 dt = \)

Integrieren:

\(=\frac{1}{2\pi}(0+ \frac{1}{2\pi} (t|\limits_{\tiny\frac{\pi}{2}}^{\tiny\frac{3\pi}{2}}) +0)=\)

Integrationsgrenzen einsetzen:

\(=\frac{1}{2\pi}(\frac{3\pi}{2}-\frac{\pi}{2})= \frac{\pi}{2\pi}= \frac{1}{2}\)

Berechnung von \(a_k\):

\(a_k=\frac{2}{T} \int\limits_{0}^{T}} f(t) \cdot cos(k \omega t) dt \)

Abschnittweise in die Formel einsetzen:

\(= \frac{2}{2\pi} \int\limits_{0}^{\tiny{\frac{\pi}{4}}} 0 \cdot cos(k \omega t)dt + \int\limits_{\tiny{\frac{\pi}{4}}}^{\tiny{\frac{3\pi}{2}}} 1 \cdot cos(k \omega t) dt \)\(+ \int\limits_{\tiny{\frac{\pi}{2}}}^{\pi} 0 dt \cdot cos(k \omega t) =\)

Integrieren:

\(=\frac{1}{\pi}(0+(sin(k \omega t)\cdot \frac{1}{k \omega}) |\limits_{\tiny\frac{\pi}{2}}^{\tiny\frac{3\pi}{2}}+0)=\)

Integrationsgrenzen einsetzen:

\(=\frac{1}{\pi}[sin(\frac{k \omega 3 \pi}{2}) \cdot \frac{1}{k\omega}-(sin(k \omega \pi) \cdot \frac{1}{k \omega} )]= \)\(\frac{sin(\frac{k \omega 3 \pi}{2})}{k\omega\pi}-\frac{sin(\frac{k \omega \pi}{2})}{k \omega \pi} \)

\(S _\infty f(t)= c_0 + \sum\limits_{k=1}^{\infty} a_k \cdot cos (k \omega t) + \sum\limits_{k=1}^{\infty} b_k \cdot sin (k \omega t)\)

Die Funktion ist gerade, daraus folgt \(b_k = 0\).

\(T=2 \pi\)

Zuerst Berechnung der Koeffizienten (siehe unten), dann in die Formel für \(S_\infty f(t)\) einsetzen:

\(c_0 = \frac{1}{4}\)

\(a_k=\frac{2}{\pi k \omega}[-3 \sin(\frac{k \omega \pi}{4})+ 2(\sin(k \omega \pi) - \sin(\frac{k \omega \pi}{2}))] \)

\(S _\infty f(t)= c_0 + \sum\limits_{k=1}^{\infty} a_k \cdot cos (k \omega t) + \sum\limits_{k=1}^{\infty} b_k \cdot sin (k \omega t)\)

\(S _\infty f(t)= \frac{1}{4} + \sum\limits_{k=1}^{\infty} \)\(\frac{2}{\pi k \omega}[-3 \sin(\frac{k \omega \pi}{4})+ 2(\sin(k \omega \pi) - \sin(\frac{k \omega \pi}{2}))] \cdot cos(k \omega t)\)\(+ \sum\limits_{k=1}^{\infty} 0 \cdot sin (k \omega t)\)

\(S _\infty f(t)= \frac{1}{4} + \sum\limits_{k=1}^{\infty} \)\(\frac{2}{\pi k \omega}[-3 \sin(\frac{k \omega \pi}{4})+ 2(\sin(k \omega \pi) - \sin(\frac{k \omega \pi}{2}))] \cdot cos(k \omega t)\)

Berechnung von \(c_0\):

\(c_0=\frac{1}{T} \int\limits_{\tiny{-\frac{T}{2}}}^{\tiny{\frac{T}{2}}} f(t) dt =\frac{2}{T} \int\limits_{0}^{\tiny{\frac{T}{2}}} f(t) dt \)

Abschnittweise in die Formel einsetzen:

\(= \frac{2}{2\pi} \int\limits_{0}^{\tiny{\frac{\pi}{4}}} -3 dt + \int\limits_{\tiny{\frac{\pi}{2}}}^{\pi} 2 dt = \)

Integrieren:

\(=\frac{1}{\pi}(-3t|\limits_{0}^{\tiny\frac{\pi}{4}}+0+2t|\limits_{\tiny\frac{\pi}{2}}^{\pi})=\)

Integrationsgrenzen einsetzen:

\(=\frac{1}{\pi}(0-\frac{3\pi}{4}+2\pi-\frac{2\pi}{2})= \frac{1}{\pi}(-\frac{3\pi}{4}+\pi)= \frac{1}{\pi} \cdot \frac{\pi}{4}= \frac{1}{4}\)

Berechnung von \(a_k\):

\(a_k=\frac{2}{T} \int\limits_{\tiny{-\frac{T}{2}}}^{\tiny{\frac{T}{2}}} f(t) \cdot cos(k \omega t) dt =\frac{4}{T} \int\limits_{0}^{\tiny{\frac{T}{2}}} f(t)\cdot cos(k \omega t) dt \)

Abschnittweise in die Formel einsetzen:

\(= \frac{4}{2\pi} \int\limits_{0}^{\tiny{\frac{\pi}{4}}} -3 \cdot cos(k \omega t)dt + \int\limits_{\tiny{\frac{\pi}{4}}}^{\tiny{\frac{3\pi}{2}}} 0\cdot cos(k \omega t) dt \)\(+ \int\limits_{\tiny{\frac{\pi}{2}}}^{\pi} 2 \cdot cos(k \omega t)dt =\)

Integrieren:

\(=\frac{2}{\pi}(-3(- sin(k \omega t) \cdot \frac{1}{k \omega})|\limits_{0}^{\tiny\frac{\pi}{4}}+0+2(- sin(k \omega t) \cdot \frac{1}{k \omega})|\limits_{\tiny\frac{\pi}{2}}^{\pi})=\)

Integrationsgrenzen einsetzen:

\(=\frac{2}{\pi}[0-3(sin(\frac{k \omega \pi}{4}) \cdot \frac{1}{k \omega})+ 2(sin(k \omega \pi) \cdot \frac{1}{k \omega})- 2(sin(\frac{k \omega \pi}{2}) \cdot \frac{1}{k \omega})]= \)

 \(=\frac{2}{\pi k \omega}[-3 \sin(\frac{k \omega \pi}{4})+ 2(\sin(k \omega \pi) - \sin(\frac{k \omega \pi}{2}))] \)

\(S _\infty f(t)= c_0 + \sum\limits_{k=1}^{\infty} a_k \cdot cos (k \omega t) + \sum\limits_{k=1}^{\infty} b_k \cdot sin (k \omega t)\)

Die Funktion ist gerade, daraus folgt \(c_0=0\) und \(a_k = 0\).

\(T= \pi\)

Zuerst Berechnung der Koeffizienten (siehe unten), dann in die Formel für \(S_\infty f(t)\) einsetzen:

\(b_k= \frac {2 - 4 cos (\frac{k \omega \pi}{2})+ 2 cos (k \omega \pi)}{k \omega \pi}\)

\(S _\infty f(t)= c_0 + \sum\limits_{k=1}^{\infty} a_k \cdot cos (k \omega t) + \sum\limits_{k=1}^{\infty} b_k \cdot sin (k \omega t)\)

\(S _\infty f(t)= 0+ \sum\limits_{k=1}^{\infty} 0 \cdot cos(k \omega t) \)\(+ \sum\limits_{k=1}^{\infty} [ \frac{2}{k \omega \pi} - \frac {4 cos (\frac{k \omega \pi}{2})}{k \omega \pi}+ \frac {2 cos (k \omega \pi)}{k \omega \pi}] \cdot sin (k \omega t)\)

\(S _\infty f(t)= \) \( \sum\limits_{k=1}^{\infty} [ \frac{2}{k \omega \pi} - \frac {4 cos (\frac{k \omega \pi}{2})}{k \omega \pi}+ \frac {2 cos (k \omega \pi)}{k \omega \pi}] \cdot sin (k \omega t)\)

Formel für \(b_k\):

\(b_k=\frac{2}{T} \int\limits_{\tiny{-\frac{T}{2}}}^{\tiny{\frac{T}{2}}} f(t) \cdot sin(k \omega t) dt \)

Abschnittweise in die Formel einsetzen:

\(= \frac{2}{\pi} \int\limits_{0}^{\tiny{\frac{\pi}{2}}} 1 \cdot sin(k \omega t) dt + \int\limits_{\tiny{- \frac{\pi}{2}}}^{\tiny \pi} -1 \cdot sin(k \omega t)dt = \)

Integrieren:

\(=\frac{2}{\pi} (cos (k \omega t) \cdot \frac{1}{k \omega})|\limits_{0}^{\tiny\frac{\pi}{2}}) + (-1(- cos(k \omega t) \cdot \frac{1}{k \omega})|\limits_{\tiny\frac{\pi}{2}}^{\pi} =\)

Integrationsgrenzen einsetzen:

\(\frac{2}{\pi}\)\( [-cos (\frac{k \omega \pi}{2}) \cdot \frac{1}{k \omega})+ \frac{1}{k \omega} + cos ({k \omega \pi) \cdot \frac{1}{k \omega} -cos (\frac{k \omega \pi}{2}) \cdot \frac{1}{k \omega}) ]=\)

\(\frac{2}{\pi}[ \frac{1}{k \omega} - 2cos (\frac{k \omega \pi}{2}) \cdot \frac{1}{k \omega}+ cos (k \omega \pi) \cdot \frac{1}{k \omega})]= \)

\( \frac{2}{k \omega \pi} - \frac {4 cos (\frac{k \omega \pi}{2})}{k \omega \pi}+ \frac {2 cos (k \omega \pi)}{k \omega \pi}\)

\(S _\infty f(t)= c_0 + \sum\limits_{k=1}^{\infty} a_k \cdot cos (k \omega t) + \sum\limits_{k=1}^{\infty} b_k \cdot sin (k \omega t)\)

Die Funktion ist gerade, daraus folgt \(c_0=0\) und \(a_k = 0\).

\(T= \pi\)

Zuerst Berechnung der Koeffizienten (siehe unten), dann in die Formel für \(S_\infty f(t)\) einsetzen:

\(b_k=\frac{8 \sin(\frac{k\omega}{4})-2k\omega \pi \cos(\frac{k \omega \pi}{2})}{(k \omega \pi)^2}\)

\(S _\infty f(t)= c_0 + \sum\limits_{k=1}^{\infty} a_k \cdot cos (k \omega t) + \sum\limits_{k=1}^{\infty} b_k \cdot sin (k \omega t)\)

\(S _\infty f(t)= 0+ \sum\limits_{k=1}^{\infty} 0 \cdot cos(k \omega t) \)\(+\sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{16 \sin(\frac{k\omega}{4})-4k\omega \pi \cos(\frac{k \omega \pi}{4})}{(k \omega \pi)^2} \cdot \sin(k\omega t)\)

\(S _\infty f(t)= \) \(\sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{16 \sin(\frac{k\omega}{4})-4k\omega \pi \cos(\frac{k \omega \pi}{4})}{(k \omega \pi)^2} \cdot \sin(k\omega t)\)

Berechnung von \(b_k\):

\(b_k=\frac{2}{T} \int\limits_{\tiny{-\frac{T}{2}}}^{\tiny{\frac{T}{2}}} f(t) \cdot sin(k \omega t) dt \)

Abschnittweise in die Formel einsetzen:

\(= \frac{2}{\pi}( \int\limits_{\tiny{\frac{-\pi}{2}}}^{\tiny{-\frac{\pi}{4}}} -1\cdot sin(k \omega t) dt \)\( + \int\limits_{-\tiny{\frac{\pi}{4}}}^{\tiny{\frac{\pi}{4}}}\frac{4}{\pi} t \cdot sin(k \omega t)dt + \int\limits_{\tiny{\frac{\pi}{4}}}^{\tiny{\frac{\pi}{2}}} 1\cdot sin(k \omega t) dt ) =\)

Integrieren (siehe unten):

\(=\frac{2}{\pi} (cos(k \omega t) \cdot \frac{1}{k \omega} |\limits_{-\tiny \frac{\pi}{2}}^{-\tiny\frac{\pi}{4}}\)\( +\frac{4(\sin(k\omega t)-k\omega t \cos(k\omega t))}{\pi k^2\omega^2}| \limits_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}-\)\(cos(k \omega t) \cdot \frac{1}{k \omega} |\limits_{\tiny \frac{\pi}{4}}^{\tiny\frac{\pi}{2}})\)

 \(=\frac{2}{\pi} [\frac{cos(-\frac{k \omega \pi}{4})}{k \omega} -\frac{cos(-\frac{k \omega \pi}{2})}{k \omega} +\)\(\frac{8 \sin(\frac{\pi k \omega}{4})-2 \pi k \omega \cos(\frac{\pi k \omega}{4})}{\pi k^2\omega^2}\)\(-\frac{cos(\frac{k \omega \pi}{2})}{k \omega} +\frac{cos(\frac{k \omega \pi}{4})}{k \omega}]=\)

\(\frac{2}{\pi} [\frac{8 \sin(\frac{k\omega}{4})-2k\omega \pi \cos(\frac{k \omega \pi}{4})}{k^2 \omega^2 \pi}]\)\(=\frac{16 \sin(\frac{k\omega}{4})-4k\omega \pi \cos(\frac{k \omega \pi}{4})}{(k \omega \pi)^2}\)

Für das Integrieren von 

\(\int\limits_{0}^{\tiny{\frac{\pi}{4}}} t \cdot sin(k \omega t)dt \)

Formel für partielle Integration anwenden:

\(\int u' \cdot v dt = u \cdot v - \int u \cdot v' \)       \(-->\)] -->          \(u = -cos (k \omega t) \frac{1}{k \omega} \\ u'= sin (k \omega t) \)      v =t \\[15in] v'=1

Einsetzen: 

\(- cos(k \omega t) \cdot \frac{1}{k \omega} \cdot t|\limits_{\tiny 0}^{\frac{\tiny \pi}{4}}- \int\limits_{0}^{\tiny{\frac{\pi}{4}}} - cos(k \omega t) \cdot \frac{1}{k \omega} \cdot 1 dt \)

nun das verbliebene Integral lösen:

\(\frac{- cos(k \omega t) \cdot t}{k \omega}|\limits_{\tiny 0}^{\tiny \frac{\pi}{4}}+ \frac{sin(k \omega t)}{(k \omega)^2}|\limits_{\tiny 0}^{\tiny\frac{\pi}{4}}\)

\(\frac{- cos(k \omega t) \cdot t}{k \omega}|\limits_{\tiny 0}^{\frac{\tiny \pi}{4}}+ \frac{sin(k \omega t)}{(k \omega)^2}|\limits_{\tiny 0}^{\tiny\frac{\pi}{4}}\)

\(S _\infty f(t)= c_0 + \sum\limits_{k=1}^{\infty} a_k \cdot cos (k \omega t) + \sum\limits_{k=1}^{\infty} b_k \cdot sin (k \omega t)\)

\(T= \pi\)

Zuerst Berechnung der Koeffizienten (siehe unten), dann in die Formel für \(S_\infty f(t)\) einsetzen:

\(c_0= \frac{\pi}{8}\)

\(a_k=\frac{ sin(\frac{k \omega \pi}{2})}{k \omega} + \frac{2 cos(\frac{k \omega \pi}{2})-2}{\pi (k \omega)^2 } \)

\(b_k = -\frac{ cos(\frac{k \omega \pi}{2})}{k \omega} +\frac{2}{\pi} \cdot \frac{sin(\frac{k \omega \pi}{2})}{(k \omega)^2 } \)

\(S _\infty f(t)= c_0 + \sum\limits_{k=1}^{\infty} a_k \cdot cos (k \omega t) + \sum\limits_{k=1}^{\infty} b_k \cdot sin (k \omega t)\)

\(S _\infty f(t)= \)   \( \frac{\pi}{8}+ \sum\limits_{k=1}^{\infty} [\frac{ sin(\frac{k \omega \pi}{2})}{k \omega} + \frac{2 cos(\frac{k \omega \pi}{2})-2}{\pi (k \omega)^2 } ] \cdot cos(k \omega t)\)\(+ \sum\limits_{k=1}^{\infty} [ -\frac{ cos(\frac{k \omega \pi}{2})}{k \omega} +\frac{2}{\pi} \cdot \frac{sin(\frac{k \omega \pi}{2})}{(k \omega)^2 } ] \cdot sin (k \omega t)\)

Berechnung von \(c_0\):

\(c_0=\frac{1}{T} \int\limits_{\tiny{-\frac{T}{2}}}^{\tiny{\frac{T}{2}}} f(t) dt = \)

Abschnittweise in die Formel einsetzen:

\(= \frac{1}{\pi} \int\limits_{0}^{\tiny{\frac{\pi}{2}}} t \cdot dt + \int\limits_{\tiny{\frac{\pi}{2}}}^{\pi} 0 \cdot dt = \)

Integrieren:

\(=\frac{1}{\pi}(\frac{t^2}{2}|\limits_{0}^{\tiny\frac{\pi}{2}}+0)=\)

Integrationsgrenzen einsetzen:

\(=\frac{1}{\pi}(\frac{(\frac{\pi}{2})^2}{2}-0)= \frac{1}{\pi}(-\frac{\pi^2}{8})= \frac{\pi}{8}\)

Berechnung von \(a_k\):

\(a_k=\frac{2}{T} \int\limits_{\tiny{-\frac{T}{2}}}^{\tiny{\frac{T}{2}}} f(t) \cdot cos(k \omega t) dt=\)

Abschnittweise in die Formel einsetzen:

\(= \frac{2}{\pi} \int\limits_{0}^{\tiny{\frac{\pi}{2}}} t \cdot cos(k \omega t)dt + \int\limits_{\tiny{\frac{\pi}{2}}}^{\pi} 0 \cdot cos(k \omega t) dt = \)

Integrieren (siehe unten):

\(=\frac{2}{\pi} [sin(k \omega t) \cdot \frac{1}{k \omega} \cdot t|\limits_{0}^{\tiny \frac{\pi}{2}}- \int\limits_{0}^{\tiny{\frac{\pi}{2}}} sin(k \omega t) \cdot \frac{1}{k \omega}dt]=\)

\(=\frac{2}{\pi} [\frac{sin (k \omega t) \cdot t}{k \omega}|\limits_{\tiny 0}^{\tiny \frac{\pi}{2}}+ \)\(\frac{cos(k \omega t)}{(k \omega)^2}|\limits_{\tiny 0}^{\tiny\frac{\pi}{2}}]=\)

Integrationsgrenzen einsetzen:

\(=\frac{2}{\pi} [(\frac{\pi}{2}\cdot\frac{ sin(\frac{k \omega \pi}{2})}{k \omega} - 0) +( \frac{ cos(\frac{k \omega \pi}{2})}{(k \omega)^2} -\frac 1 {(k \omega)^2})]= \)

\(=\frac{ sin(\frac{k \omega \pi}{2})}{k \omega} + \frac{2 cos(\frac{k \omega \pi}{2})-2}{\pi (k \omega)^2 } \)

_______________________________

Für das Integrieren von 

\(\int\limits_{0}^{\tiny{\frac{\pi}{2}}} t \cdot cos(k \omega t)dt \)

Formel für partielle Integration anwenden:

\(\int u' \cdot v dt = u \cdot v - \int u \cdot v' \)       \(-->\)] -->          \(u = sin (k \omega t) \frac{1}{k \omega} \\ u'= cos (k \omega t) \)      v =t \\[15in] v'=1

Einsetzen: 

\(sin(k \omega t) \cdot \frac{1}{k \omega} \cdot t|\limits_{\tiny 0}^{\frac{\tiny \pi}{2}}- \int\limits_{0}^{\tiny{\frac{\pi}{2}}} sin(k \omega t) \cdot \frac{1}{k \omega} \cdot 1 dt \)

Berechnung von \(b_k\):

\(b_k=\frac{2}{T} \int\limits_{\tiny{-\frac{T}{2}}}^{\tiny{\frac{T}{2}}} f(t) \cdot sin(k \omega t) dt=\)

Abschnittweise in die Formel einsetzen:

\(= \frac{2}{\pi} \int\limits_{0}^{\tiny{\frac{\pi}{2}}} t \cdot sin(k \omega t)dt + \int\limits_{\tiny{\frac{\pi}{2}}}^{\pi} 0 \cdot sin(k \omega t) dt = \)

Integrieren (siehe unten):

\(=\frac{2}{\pi} [- cos(k \omega t) \cdot \frac{1}{k \omega} \cdot t|\limits_{0}^{\tiny \frac{\pi}{2}}- \)\(\int\limits_{0}^{\tiny{\frac{\pi}{2}}} - cos(k \omega t) \cdot \frac{1}{k \omega}dt]=\)

\(=\frac{2}{\pi} [\frac{- cos(k \omega t) \cdot t}{k \omega}|\limits_{\tiny 0}^{\tiny \frac{\pi}{2}}+ \)\(\frac{sin(k \omega t)}{(k \omega)^2}|\limits_{\tiny 0}^{\tiny\frac{\pi}{2}}]=\)

Integrationsgrenzen einsetzen:

\(=\frac{2}{\pi} [(-\frac{\pi}{2}\cdot\frac{ cos(\frac{k \omega \pi}{2})}{k \omega} - 0) +( \frac{ sin(\frac{k \omega \pi}{2})}{(k \omega)^2} -0)]= \)

\(=-\frac{ cos(\frac{k \omega \pi}{2})}{k \omega} +\frac{2}{\pi} \cdot \frac{sin(\frac{k \omega \pi}{2})}{(k \omega)^2 } \)

_______________________________

Für das Integrieren von 

\(\int\limits_{0}^{\tiny{\frac{\pi}{2}}} t \cdot sin(k \omega t)dt \)

Formel für partielle Integration anwenden:

\(\int u' \cdot v dt = u \cdot v - \int u \cdot v' \)       \(-->\)] -->          \(u = -cos (k \omega t) \frac{1}{k \omega} \\ u'= sin (k \omega t) \)      v =t \\[15in] v'=1

Einsetzen: 

\(- cos(k \omega t) \cdot \frac{1}{k \omega} \cdot t|\limits_{\tiny 0}^{\frac{\tiny \pi}{2}}- \int\limits_{0}^{\tiny{\frac{\pi}{2}}} - cos(k \omega t) \cdot \frac{1}{k \omega} \cdot 1 dt \)

\(S _\infty f(t)= c_0 + \sum\limits_{k=1}^{\infty} a_k \cdot cos (k \omega t) + \sum\limits_{k=1}^{\infty} b_k \cdot sin (k \omega t)\)

\(S _\infty f(t)= 0 + \sum\limits_{k=1}^{\infty} 0 \cdot cos (k \omega t)\)\( + \sum\limits_{k=1}^{\infty} ( - \frac{8cos \frac{k \omega \pi}{2}}{k \omega \pi} + \frac{8cos \frac{k \omega \pi}{4}}{k \omega \pi} ) \cdot sin (k \omega t)\)

\(S _\infty f(t)= \sum\limits_{k=1}^{\infty} ( - \frac{8cos \frac{k \omega \pi}{2}}{k \omega \pi} + \frac{8cos \frac{k \omega \pi}{4}}{k \omega \pi} ) \cdot sin (k \omega t)\)

\(S _\infty f(t)= c_0 + \sum\limits_{k=1}^{\infty} a_k \cdot cos (k \omega t) + \sum\limits_{k=1}^{\infty} b_k \cdot sin (k \omega t)\)

\(S _\infty f(t)= 0 + \sum\limits_{k=1}^{\infty} 0 \cdot cos (k \omega t)\)\( + \sum\limits_{k=1}^{\infty} ( \frac{2 sin \frac{k \omega \pi}{2}}{(k \omega)^2 \pi} - \frac{cos \frac{3k \omega \pi}{4}}{k \omega} ) \cdot sin (k \omega t)\)

\(S _\infty f(t)= \sum\limits_{k=1}^{\infty} ( \frac{2 sin \frac{k \omega \pi}{2}}{(k \omega)^2 \pi} - \frac{cos \frac{3k \omega \pi}{4}}{k \omega} ) \cdot sin (k \omega t)\)

\(S _\infty f(t)= c_0 + \sum\limits_{k=1}^{\infty} a_k \cdot cos (k \omega t) + \sum\limits_{k=1}^{\infty} b_k \cdot sin (k \omega t)\)

\(S _\infty f(t)= 0 + \sum\limits_{k=1}^{\infty} 0 \cdot cos (k \omega t)\)\( + \sum\limits_{k=1}^{\infty} ( \frac{6 cos \frac{k \omega \pi}{2}}{k \omega \pi} - \frac{6 cos (k \omega \pi)}{k \omega \pi} ) \cdot sin (k \omega t)\)

\(S _\infty f(t)= \sum\limits_{k=1}^{\infty} ( \frac{6 cos \frac{k \omega \pi}{2}}{k \omega \pi} - \frac{6 cos (k \omega \pi)}{k \omega \pi} ) \cdot sin (k \omega t)\)

\(S _\infty f(t)= c_0 + \sum\limits_{k=1}^{\infty} a_k \cdot cos (k \omega t) + \sum\limits_{k=1}^{\infty} b_k \cdot sin (k \omega t)\)

\(S _\infty f(t)= \frac{\pi}{4} + \sum\limits_{k=1}^{\infty} (\frac{2 cos \frac{k \omega \pi}{2}}{(k \omega)^2 \pi} + \frac{sin (\frac{3 k \omega \pi}{4})}{k \omega } ) \cdot cos (k \omega t)\)\( + \sum\limits_{k=1}^{\infty} 0 \cdot sin (k \omega t)\)

\(S _\infty f(t)= \frac{\pi}{4} + \sum\limits_{k=1}^{\infty} (\frac{2 cos \frac{k \omega \pi}{2}}{(k \omega)^2 \pi} + \frac{sin (\frac{3 k \omega \pi}{4})}{k \omega } ) \cdot cos (k \omega t)\)

\(S _\infty f(t)= c_0 + \sum\limits_{k=1}^{\infty} a_k \cdot cos (k \omega t) + \sum\limits_{k=1}^{\infty} b_k \cdot sin (k \omega t)\)

\(S _\infty f(t)= \frac{\pi}{2} + \sum\limits_{k=1}^{\infty} \)\(( -\frac{8 cos (k \omega \pi)}{k \omega \pi} - \frac{10 cos (\frac{9 k \omega \pi}{10})}{k \omega \pi } +\frac{18}{k \omega \pi} ) \cdot cos (k \omega t)\)\( + \sum\limits_{k=1}^{\infty} 0 \cdot sin (k \omega t)\)

\(S _\infty f(t)= \frac{\pi}{4} + \sum\limits_{k=1}^{\infty} \)\(( -\frac{8 cos (k \omega \pi)}{k \omega \pi} - \frac{10 cos (\frac{9 k \omega \pi}{10})}{k \omega \pi } +\frac{18}{k \omega \pi} ) \cdot cos (k \omega t)\)

\(S _\infty f(t)= c_0 + \sum\limits_{k=1}^{\infty} a_k \cdot cos (k \omega t) + \sum\limits_{k=1}^{\infty} b_k \cdot sin (k \omega t)\)

\(S _\infty f(t)= \frac{\pi}{4} + \sum\limits_{k=1}^{\infty} (\frac{2cos(\frac{k\omega\pi}{2})}{\pi(k\omega)^2}+ \frac{sin(\frac{3k\omega\pi}{2})}{k\omega}) \cdot cos (k \omega t) + 0\)

Omega einsetzen:

\(\omega=\frac{2\pi}{T}=\frac{2\pi}{2\pi}=1\)

\(S _\infty f(t)= \frac{\pi}{4} + \sum\limits_{k=1}^{\infty} (\frac{2cos(\frac{k\pi}{2})}{\pi(k)^2}+ \frac{sin(\frac{3k\pi}{2})}{k}) \cdot cos (k t) \)

Fourierkoeffizienten für k=1,2 auswerten(siehe unten) und einsetzen:

 \(S _2 f(t)= \frac{\pi}{4} + [-1 \cdot cos(1t)+(-\frac{1}{2\pi})\cdot cos(2t)]= \)

\(S _2 f(t)= \frac{\pi}{4} - cos(t)- \frac{1}{2\pi} \cdot cos(2t) \)

\(k=1: \\a_1=\frac{2cos(\frac{ 1 \cdot \pi}{2})}{\pi(1)^2}+ \frac{sin(\frac{3 \cdot 1 \cdot \pi}{2})}{1} = 0-1=-1\)   

\(k=2: \\a_2=\frac{2cos(\frac{ 2 \cdot \pi}{2})}{\pi(2)^2}+ \frac{sin(\frac{3 \cdot 2 \cdot \pi}{2})}{2} = -\frac{1}{2\pi}\)   

\(S _\infty f(t)= c_0 + \sum\limits_{k=1}^{\infty} a_k \cdot cos (k \omega t) + \sum\limits_{k=1}^{\infty} b_k \cdot sin (k \omega t)\)

\(S _\infty f(t)= \frac{1}{4} + \sum\limits_{k=1}^{\infty} (\frac{6sin(\frac{k\omega\pi}{4})}{k \omega \pi} -\frac{4sin(k\omega\pi)}{k\omega\pi}) \cdot cos (k \omega t) + 0\)

Omega einsetzen:

\(\omega=\frac{2\pi}{T}=\frac{2\pi}{2\pi}=1\)

\(S _\infty f(t)= \frac{1}{4} + \sum\limits_{k=1}^{\infty} (\frac{6sin(\frac{k\pi}{4})}{k\pi} -\frac{4sin(k\pi)}{k\pi}) \cdot cos (k t) \)

Fourierkoeffizienten für k=1,2,3 auswerten(siehe unten) und einsetzen:

 \(S _3 f(t)= \frac{1}{4} +\frac{3 \sqrt2}{\pi} \cdot cos(1t)+\frac{3}{\pi}\cdot cos(2t) +\frac{ \sqrt2}{\pi} \cdot cos(3t)\)

\(k=1: \\a_1=\frac{6sin(\frac{1\pi}{4})}{1\pi} -\frac{4sin(1\pi)}{1\pi}= \frac{3 \cdot \sqrt 2}{\pi}-0=\frac{3 \cdot \sqrt 2}{\pi}\)   

\(k=2: \\a_2=\frac{6sin(\frac{2\pi}{4})}{2\pi} -\frac{4sin(2\pi)}{2\pi}= \frac{3}{\pi}-0=\frac{3}{\pi}\)   

\(k=3: \\a_3=\frac{6sin(\frac{3\pi}{4})}{3\pi} -\frac{4sin(3\pi)}{3\pi}= \frac{\sqrt 2}{\pi}-0=\frac{ \sqrt 2}{\pi}\)

\(S _\infty f(t)= c_0 + \sum\limits_{k=1}^{\infty} a_k \cdot cos (k \omega t) + \sum\limits_{k=1}^{\infty} b_k \cdot sin (k \omega t)\)

\(S _\infty f(t)=0 + 0+ \sum\limits_{k=1}^{\infty} (\frac{8cos(\frac{k\omega\pi}{2})}{k \omega \pi} +\frac{8cos(\frac{k\omega\pi}{4})}{k \omega \pi}) \cdot sin (k \omega t)\)

Omega einsetzen:

\(\omega=\frac{2\pi}{T}=\frac{2\pi}{2\pi}=1\)

\(S _\infty f(t)= \sum\limits_{k=1}^{\infty} (\frac{8cos(\frac{k \pi}{2})}{k \pi} +\frac{8cos(\frac{k \pi}{4})}{k \pi}) \cdot sin (k t)\)

Fourierkoeffizienten für k=1,2 auswerten(siehe unten) und einsetzen:

 \(S _2 f(t)= (\frac{4 \sqrt2}{\pi}) \cdot sin(1t)- \frac{4}{\pi}\cdot sin(2t) \)

\(k=1: \\a_1=\frac{8cos(\frac{1 \pi}{2})}{1 \pi} +\frac{8cos(\frac{1 \pi}{4})}{1 \pi}= 0 + \frac{8 \cdot \frac{\sqrt 2}{2}}{\pi}= \frac{4 \cdot \sqrt 2}{\pi}\)   

\(k=2: \\a_2=\frac{8cos(\frac{2 \pi}{2})}{2 \pi} +\frac{8cos(\frac{2 \pi}{4})}{2 \pi}= -\frac{4}{\pi} + 0= -\frac{4 }{\pi}\)
   

\(S _\infty f(t)= c_0 + \sum\limits_{k=1}^{\infty} a_k \cdot cos (k \omega t) + \sum\limits_{k=1}^{\infty} b_k \cdot sin (k \omega t)\)

\(S _\infty f(t)=0 + 0+ \sum\limits_{k=1}^{\infty} (\frac{2sin(\frac{k\omega\pi}{2})}{\pi (k \omega)^2} -\frac{cos(\frac{3k\omega\pi}{4})}{k \omega }) \cdot sin (k \omega t)\)

Omega einsetzen:

\(\omega=\frac{2\pi}{T}=\frac{2\pi}{2\pi}=1\)

\(S _\infty f(t)= \sum\limits_{k=1}^{\infty} (\frac{2sin(\frac{k\pi}{2})}{\pi(k)^2} -\frac{cos(\frac{3k\pi}{4})}{k}) \cdot sin (k t)\)

Fourierkoeffizienten für k=1,2 auswerten(siehe unten) und einsetzen:

 \(S _3 f(t)= (\frac{2}{\pi}+\frac{\sqrt2}{2}) \cdot sin(1t)+0+ (-\frac{2}{9\pi}-\frac{\sqrt2}{6}) \cdot sin(3t) \)

\(k=1: \\a_1=\frac{2sin(\frac{1\pi}{2})}{1^2 \pi} -\frac{cos(\frac{3 \cdot 1 \cdot \pi}{4})}{1}= \frac{2}{\pi} - \frac{- \frac{\sqrt 2}{2}}{1}= \frac{2}{\pi}+ \frac{\sqrt 2}{2}\)   

\(k=2: \\a_2=\frac{2sin(\frac{2\pi}{2})}{2^2\pi} -\frac{cos(\frac{3 \cdot 2 \cdot \pi}{4})}{2}= 0\)   

\(k=3: \\a_3=\frac{2sin(\frac{3\pi}{2})}{3^2 \pi} -\frac{cos(\frac{3 \cdot 3 \cdot \pi}{4})}{3}= -\frac{2}{9\pi}- \frac{\sqrt 2}{6}\)

\(S _\infty f(t)= c_0 + \sum\limits_{k=1}^{\infty} a_k \cdot cos (k \omega t) + \sum\limits_{k=1}^{\infty} b_k \cdot sin (k \omega t)\)

\(S _\infty f(t)=0 + 0+ \sum\limits_{k=1}^{\infty} (\frac{6cos(\frac{k\omega\pi}{2})}{k \omega \pi} -\frac{6cos(k\omega\pi)}{k \omega \pi}) \cdot sin (k \omega t)\)

Omega einsetzen:

\(\omega=\frac{2\pi}{T}=\frac{2\pi}{2\pi}=1\)

\(S _\infty f(t)= \sum\limits_{k=1}^{\infty} (\frac{6cos(\frac{k \pi}{2})}{k \pi} -\frac{6cos(k \pi)}{k \pi}) \cdot sin (k t)\)

Fourierkoeffizienten für k=1,2,3 auswerten(siehe unten) und einsetzen:

 \(S _3 f(t)= \frac{6}{\pi} \cdot sin(t) - \frac{6}{\pi} \cdot sin(2t)+ (\frac{2}{\pi}) \cdot sin(3t) \)

\(k=1: \\a_1=\frac{6cos(\frac{1\pi}{2})}{1 \pi} -\frac{6cos(1\pi)}{1 \pi}= 0 + \frac{6}{\pi}= \frac{6}{\pi}\)   

\(k=2: \\a_2=\frac{6cos(\frac{2\pi}{2})}{2 \pi} -\frac{6cos(2\pi)}{2 \pi}= -\frac{3}{\pi} - \frac{3}{\pi}= - \frac{6}{\pi}\)
   

\(k=3: \\a_3=\frac{6cos(\frac{3\pi}{2})}{3 \pi} -\frac{6cos(3\pi)}{3 \pi}= 0 + \frac{2}{\pi}= \frac{2}{\pi}\)