Fragenliste von Potenzreihen

Wie lässt sich \(e^x\) als Potenzreihe interpretieren? Nr. 3697
	\(1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+...\)
	\(1+x-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}-\frac{x^4}{4!}+...\)
	\(x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+...\)
	\(x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\frac{x^4}{4}+...\)
Lösungsweg \(e^x\) lässt sich auch durch \(1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+...\) oder \(\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} \cdot x^n\)darstellen

Wie lässt sich \(\sin x\) als Potenzreihe interpretieren? Nr. 3698
	\(\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{4}-\frac{x^6}{6}+...\)
	\(1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+...\)
	\(x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+...\)
	\(x+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\frac{x^7}{7!}+...\)
Lösungsweg \(\sin x\) lässt sich auch durch \(x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+...\) oder \(\sum\limits_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} \) darstellen.

Wie lässt sich \(\cos x\) als Potenzreihe interpretieren? Nr. 3699
	\(1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+...\)
	\(\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{4}-\frac{x^6}{6}+...\)
	\(1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}-\frac{x^4}{4!}+...\)
	\(x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+...\)
Lösungsweg \(\cos x\) lässt sich auch durch \(1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+...\) oder \(\sum\limits_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} \) darstellen.

Wie lässt sich \(\arctan x\) als Potenzreihe interpretieren? Nr. 3700
	\(1-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+...\)
	\(\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+...\)
	\(0+1-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+...\)
	\(x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+...\)
Lösungsweg \(\arctan x\) lässt sich auch durch \(x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+...\) oder \(\sum\limits_{n=0}^{\infty} (-1)^{n} \cdot \frac{x^{2n+1}}{2n+1} \) darstellen.

Wie lässt sich \(\ln(x+1)\) als Potenzreihe darstellen? Nr. 3701
	\(x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{4}-\frac{x^6}{6}+...\)
	\(1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+...\)
	\(0+1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+...\)
	\(x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+...\)
Lösungsweg \(\ln (x+1)\) lässt sich auch durch \(x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+...\) oder \(\sum\limits_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \cdot \frac{x^n}{n} \) darstellen.

Welche Summenformel gibt die Potenzreihe für \(e^x\) an? Nr. 3702
	\(\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}\)
	\(\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n} \cdot x\)
	\(\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} \cdot x^n\)
	\(\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{1}{x} \cdot x^n\)
Lösungsweg \(e^x\) lässt sich auch durch \(1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+...\) oder \(\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} \cdot x^n\)darstellen

Welche Summenformel gibt die Potenzreihe für \(\sin x\) an. Nr. 3703
	\(\sum\limits_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} \)
	\(\sum\limits_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2}}{(2n)!} \)
	\(\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} \)
	\(\sum\limits_{n=0}^{\infty} (-1)^x \frac{x^{2x+1}}{(2x+1)!} \)
Lösungsweg \(\sin x\) lässt sich auch durch \(x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+...\) oder \(\sum\limits_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} \) darstellen.

Welche Summenformel gibt die Potenzreihe für \(\cos x\) an? Nr. 3704
	\(\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n}}{(2n)!} \)
	\(\sum\limits_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n}}{x} \)
	\(\sum\limits_{n=0}^{\infty} (-1)^x\frac{n}{(2n)!} \)
	\(\sum\limits_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} \)
Lösungsweg \(\cos x\) lässt sich auch durch \(1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+...\) oder \(\sum\limits_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} \) darstellen.

Welche Summenformel gibt die Potenzreihe für \(\arctan x\) an? Nr. 3705
	\(\sum\limits_{n=0}^{\infty} (-1)^{2n} \cdot \frac{2n}{2n+1} \)
	\(\sum\limits_{n=0}^{\infty} (-1)^{n} \cdot \frac{x^{2n}}{x} \)
	\(\sum\limits_{n=0}^{\infty} (-1)^{n} \cdot \frac{x^{2n+1}}{2n+1} \)
	\(\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n+1}}{2n+1} \)
Lösungsweg \(\arctan x\) lässt sich auch durch \(x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+...\) oder \(\sum\limits_{n=0}^{\infty} (-1)^{n} \cdot \frac{x^{2n+1}}{2n+1} \) darstellen.

Welche Summenformel gibt die Potenzreihe für \(\ln(x+1)\) an? Nr. 3706
	\(\sum\limits_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \cdot x^n\)
	\(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n} \)
	\(\sum\limits_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \cdot \frac{x^n}{n} \)
	\(\sum\limits_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \)
Lösungsweg \(\ln (x+1)\) lässt sich auch durch \(x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+...\) oder \(\sum\limits_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \cdot \frac{x^n}{n} \) darstellen.

Welche der gegebenen Summenformeln beschreiben eine Potenzreihe? Nr. 3707
	\(\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{2x^n}{12} \)
	\(\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{2x+n}{12} \)
	\(\sum\limits_{n=1}^{\infty} 3x^n\)
	\(\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{4x}{n}\)
Lösungsweg Eine Potenzreihe liegt in folgender Form vor: \(\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n}\cdot x^n\) bzw. \(\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n}\cdot (x-x_0)^n\) Diese Vorschrift erfüllt: \(\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{2x^n}{12} \) \(\sum\limits_{n=1}^{\infty} 3x^n\)

Welche der gegebenen Summenformeln beschreibt eine Potenzreihe? Nr. 3708
	\(\sum\limits_{n=1}^{\infty} 0,5x^n\)
	\(\sum\limits_{n=1}^{\infty} 0,5x \cdot n\)
	\(\sum\limits_{n=1}^{\infty} 8x+n^2\)
	\(\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{12n}{x}\)
Lösungsweg Eine Potenzreihe liegt in folgender Form vor: \(\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n}\cdot x^n\) bzw. \(\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n}\cdot (x-x_0)^n\) Diese Vorschrift erfüllt: \(\sum\limits_{n=1}^{\infty} 0,5x^n\)

Welche der gegebenen Summenformeln beschreibt eine Potenzreihe? Nr. 3709
	\(\sum\limits_{n=1}^{\infty} 4! \cdot x^n\)
	\(\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{4x^n}{n!}\)
	\(\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{4x^2}{(n+1)!}\)
	\(\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{8!}{n} \cdot (x+0)^n\)
Lösungsweg Eine Potenzreihe liegt in folgender Form vor: \(\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n}\cdot x^n\) bzw. \(\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n}\cdot (x-x_0)^n\) Diese Vorschrift erfüllt: \(\sum\limits_{n=1}^{\infty} 4! \cdot x^n\) \(\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{4x^n}{n!}\) \(\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{8!}{n} \cdot (x+0)^n\)

Welche der gegebenen Summenformeln beschreibt eine Potenzreihe? Nr. 3711
	\(\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{12}{3} \cdot x^n\)
	\(\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{12x}{3n} \)
	\(\sum\limits_{n=1}^{\infty} 12x+13n\)
	\(\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{12^x}{3} \)
Lösungsweg Eine Potenzreihe liegt in folgender Form vor: \(\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n}\cdot x^n\) bzw. \(\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n}\cdot (x-x_0)^n\) Diese Vorschrift erfüllt: \(\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{12}{3} \cdot x^n\)

Welche Potenzreihe beschreibt \(e^2\) ? Nr. 3780
	\(1+2+2+\frac{8}{6}+\frac{16}{24}+...\)
	\(1+2+3+6+8+...\)
	\(1+2,7+20,1+54,6+148,4+...\)
	\(0+1+2,7+20,1+54,6+148,4+...\)
Lösungsweg \(e^x\) lässt sich auch durch \(1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+...\) oder \(\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} \cdot x^n\)darstellen für \(e^2\) ergibt sich daher: \(\frac{2^0}{0!}+\frac{2^1}{1!}+\frac{2^2}{2!}+\frac{2^3}{3!}+\frac{2^4}{4!}+...\) \(=1+2+2+\frac{8}{6}+\frac{16}{24}+...\)

Welche Potenzreihe beschreibt \(e^7\) ? Nr. 3781
	\(1+7+49+343+2401+...\)
	\(1+7+\frac{49}{2}+\frac{343}{6}+\frac{2401}{24}+...\)
	\(1+7+\frac{49}{2}+\frac{343}{3}+\frac{2401}{4}+...\)
	\(1+7+14+28+49...\)
Lösungsweg \(e^x\) lässt sich auch durch \(1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+...\) oder \(\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} \cdot x^n\)darstellen für \(e^7\) ergibt sich daher: \(\frac{7^0}{0!}+\frac{7^1}{1!}+\frac{7^2}{2!}+\frac{7^3}{3!}+\frac{7^4}{4!}+...\) \(=1+7+\frac{49}{2}+\frac{343}{6}+\frac{2401}{24}+...\)

Welche Potenzreihe beschreibt \(\sin(3)\) ? Nr. 3782
	\(3-27+243-2187+...\)
	\(3-\frac{27}{3}+\frac{243}{5}-\frac{2187}{7}+...\)
	\(3-\frac{27}{6}+\frac{243}{120}-\frac{2187}{5040}+...\)
	\(3-\frac{2}{3}+\frac{43}{5}-\frac{18}{7}+...\)
Lösungsweg \(\sin x\) lässt sich auch durch \(x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+...\) oder \(\sum\limits_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} \) darstellen. Für \(\sin(3)\) gilt daher: \(3-\frac{3^3}{3!}+\frac{3^5}{5!}-\frac{3^7}{7!}+...\) \(=3-\frac{27}{6}+\frac{243}{120}-\frac{2187}{5040}+...\)

Welche Potenzreihe beschreibt \(\sin(5)\) ? Nr. 3783
	\(5-125+3125-78125+...\)
	\(5-\frac{125}{3}+\frac{3125}{5}-\frac{78125}{7}+...\)
	\(1-\frac{125}{6}+\frac{3125}{120}-\frac{78125}{5040}+...\)
	\(5-\frac{125}{6}+\frac{3125}{120}-\frac{78125}{5040}+...\)
Lösungsweg \(\sin x\) lässt sich auch durch \(x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+...\) oder \(\sum\limits_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} \) darstellen. Für \(\sin(5)\) gilt daher: \(5-\frac{5^3}{3!}+\frac{5^5}{5!}-\frac{5^7}{7!}+...\) \(=5-\frac{125}{6}+\frac{3125}{120}-\frac{78125}{5040}+...\)

Welche Potenzreihe beschreibt \(\cos(2)\) ? Nr. 3784
	\(1-2+1-2+...\)
	\(1-2+\frac{2}{3}-\frac{64}{720}+...\)
	\(1-2+1-\frac{64}{6}+...\)
	\(1-\frac{4}{2}+\frac{16}{4}-\frac{64}{6}+...\)
Lösungsweg \(\cos x\) lässt sich auch durch \(1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+...\) oder \(\sum\limits_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} \) darstellen. Für \(\cos(2)\) gilt daher: \(1-\frac{2^2}{2!}+\frac{2^4}{4!}-\frac{2^6}{6!}+...\) \(=1-\frac{4}{2}+\frac{16}{24}-\frac{64}{720}+...\) \(=1-2+\frac{2}{3}-\frac{64}{720}+...\)

Welche Potenzreihe beschreibt \(\cos(5)\) ? Nr. 3785
	\(1-\frac{25}{2}+\frac{625}{24}-\frac{15625}{720}+...\)
	\(1-\frac{25}{2}+\frac{625}{4}-\frac{15625}{6}+...\)
	\(1-25+625-15625+...\)
	\(1+2+16+720\)
Lösungsweg \(\cos x\) lässt sich auch durch \(1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+...\) oder \(\sum\limits_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} \) darstellen. Für \(\cos(5)\) gilt daher: \(1-\frac{5^2}{2!}+\frac{5^4}{4!}-\frac{5^6}{6!}+...\) \(=1-\frac{25}{2}+\frac{625}{24}-\frac{15625}{720}+...\)

Bestimmen Sie das Taylorpolynom zweiten Grades der folgenden Funktion mit Entwicklungspunkt a=0. \(f(x)=e^{2x}\) Nr. 3800
	\(1+2x+2x^2\)
	\(0\)
	\(e^{2x}+2e^{2x}+4e^{2x}\)
	\(1+x+\frac{x^2}{2}\)
Lösungsweg Taylorpolynom n-ten Grades: \(T_{a,n}(x)=f(a)+f'(a)\frac{(x-a)}{1!}+f''(a)\frac{(x-a)^2}{2!}+...+f^n(a)\frac{(x-a)^n}{n!}\) Daraus folgt mit n=2 und a=0 \(T_{0,2}(x)=f(0)+f'(0)\frac{(x-0)}{1!}+f''(0)\frac{(x-0)^2}{2!} = 1+2x+4\cdot \frac{x^2}{2}=1+2x+2x^2\) \(f(0)= e^{2x}=1 \\f'(0)=2e^{2x}=2 \\f''(0)=4e^{2x}=4\)

Bestimmen Sie das Taylorpolynom zweiten Grades der folgenden Funktion mit Entwicklungspunkt a=0. \(f(x)=ln(1+x^3)\) Nr. 3801
	1,098
	0
	1
	3x+2
Lösungsweg Taylorpolynom n-ten Grades: \(T_{a,n}(x)=f(a)+f'(a)\frac{(x-a)}{1!}+f''(a)\frac{(x-a)^2}{2!}+...+f^n(a)\frac{(x-a)^n}{n!}\) Daraus folgt mit n=2 und a=0 \(T_{0,2}(x)=f{(0)}+f'(0)\frac{(x-0)}{1!}+f''{(0)}\frac{(x-0)^2}{2!} = 0+0+0=0\) \(f{(0)}= ln(1+x^3)=0 \\f'{(0)}=\frac{1}{1+x^3}\cdot 3x^2=0 \\ \\f''{(0)}=\frac{6x-3x^4}{(1+x^3)^2}=0\)

Bestimmen Sie das Taylorpolynom dritten Grades der folgenden Funktion mit Entwicklungspunkt a=0. \(f{(x)}=\sqrt{1+x}\) Nr. 3803
	0
	\(1+x+4x^2+3x^3\)
	\(3x+2x^2+4x^3+9x^4\)
	\(1+\frac{x}{2}-\frac{x^2}{8}+\frac{x^3}{16}\)
Lösungsweg Taylorpolynom n-ten Grades: \(T_{a,n}(x)=f{(a)}+f'(a)\frac{(x-a)}{1!}+f''{(a)}\frac{(x-a)^2}{2!}+...+f^n{(a)}\frac{(x-a)^n}{n!}\) Daraus folgt mit n=3 und a=0 \(T_{0,3}(x)=f{(0)}+f'(0)\frac{(x-0)}{1!}+f''{(0)}\frac{(x-0)^2}{2!}+f'''{(0)}\frac{(x-0)^3}{3!}= 1+\frac{1}{2}\cdot x+(-\frac{1}{4})\cdot \frac{x^2}{2}+\frac{3}{8}\cdot \frac{x^3}{6}= \) \(1+\frac{x}{2}-\frac{x^2}{8}+\frac{x^3}{16}\) \(f{(0)}= \sqrt{1+x}=(1+x)^{\frac{1}{2}}=1 \\f'{(0)}=\frac{1}{2}\cdot (1+x)^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2} \\f''{(0)}=-\frac{1}{4}\cdot (1+x)^{-\frac{3}{2}}=-\frac{1}{4} \) \(\\f'''_{(0)}=\frac{3}{8}\cdot (1+x)^{-\frac{5}{2}}=\frac{3}{8}\)

Bestimmen Sie das Taylorpolynom zweiten Grades der gegebenen Funktion vom Entwicklungspunkt a=\(\pi\). \(f{(x)}=\sin(2x)\) Nr. 3805
	\(2x-2\pi\)
	0,909
	0
	\(\frac{x^3}{2}\)
Lösungsweg Taylorpolynom n-ten Grades: \(T_{a,n}(x)=f_{(a)}+f'_{(a)}\frac{(x-a)}{1!}+f''_{(a)}\frac{(x-a)^2}{2!}+...+f^n_{(a)}\frac{(x-a)^n}{n!}\) daraus folgt: a=\(\pi\) n=2 \(T_{\pi,2}(x)=f_{(\pi)}+f'_{(\pi)}\frac{(x-\pi)}{1!}+f''_{(\pi)}\frac{(x-\pi)^2}{2!}=0+2(x-\pi)+0=2x-2\pi\) \(f{(\pi)}:sin(2x)=sin(2\pi)=0 \\f'{(\pi)}:2cos(2x)=2cos(2\pi)=2 \\f''{(\pi)}:-4sin(2x)=-4sin(2\pi)=0\)

Bestimmen Sie das Taylorpolynom ersten Grades der gegebenen Funktion vom Entwicklungspunkt a=2. \(f{(x)}=\frac{1}{(x-1)^2}\) Nr. 3806
	\(3x-5\)
	0
	\(5-2x\)
	\(ln(\frac{x^2}{2})\)
Lösungsweg Taylorpolynom n-ten Grades: \(T_{a,n}(x)=f{(a)}+f'{(a)}\frac{(x-a)}{1!}+f''{(a)}\frac{(x-a)^2}{2!}+...+f^n{(a)}\frac{(x-a)^n}{n!}\) daraus folgt: a=2 n=1 \(T_{2,1}(x)=f{(2)}+f'{(2)}\frac{(x-2)}{1!}=1+(-2)\frac{x-2}{1}=1-(2x-4)=5-2x\) \(f{(2)}:\frac{1}{(x-1)^2}=1 \\f'{(2)}:-\frac{2}{(x-1)^3}=-2 \)

Bestimmen Sie das Taylorpolynom ersten Grades der gegebenen Funktion vom Entwicklungspunkt a=1. \(f_{(x)}=e^{3x}\) Nr. 3807
	\(e^3+3e^3x\)
	1
	0
	\(e^3(3x-2)\)
Lösungsweg Taylorpolynom n-ten Grades: \(T_{a,n}(x)=f{(a)}+f'{(a)}\frac{(x-a)}{1!}+f''{(a)}\frac{(x-a)^2}{2!}+...+f^n{(a)}\frac{(x-a)^n}{n!}\) daraus folgt: a=1 n=1 \(T_{1,1}(x)=f{(1)}+f'{(1)}\frac{(x-1)}{1!}=e^3+3e^3(x-1)=e^3(3x-2)\) \(f{(1)}=e^{3x}=e^3 \\f'{(1)}=3e^{3x}=3e^3 \)

Ermitteln Sie einen Schätzwert für f(0,9) für das Taylorpolynom zweiten Grades vom Entwicklungspunkt a=0 der Funktion \(f(x)=ln(1+x^2)\). Nr. 3808
	0,81
	0
	0,59
	1,87
Lösungsweg Formel für Taylorpolynome n-ten Grades: \(T_{a,n}=f(a)+f'(a)\cdot \frac{(x-a)}{1!}+f''(a)\cdot \frac{(x-a)^2}{2!}+...+f^n(a)\cdot \frac{(x-a)^n}{n!}\) a=0, n=2 daraus folgt: \(T_{0,2}=f(a)+f'(a)\cdot \frac{(x-a)}{1!}+f''(a)\cdot \frac{(x-a)^2}{2!}=\) \(=f(0)+f'(0)\cdot \frac{(x-0)}{1!}+f''(0)\cdot \frac{(x-0)^2}{2!}=0+0+2\frac{x^2}{2}=x^2\) Schätzwert bestimmen: \(T_{0,2}(x)=T_{0,2}(0,9)=0,9^2=0,81\) \(f(0)=ln(1+x^2)=0\) \(f'(0)=)=\frac{2x}{x^2+1}=0\) \(f''(0)=)=-\frac{2(x^2-1)}{(x^2+1)^2}=2\)

Ermitteln Sie einen Schätzwert für f(4) für das Taylorpolynom zweiten Grades vom Entwicklungspunkt a=\(\pi\) der Funktion \(f(x)=cos(2x)\). Nr. 3809
	-0,14
	0
	\(-31+16 \pi - 2\pi^2\)
	\(\frac{3\pi}{34}\)
Lösungsweg Formel für Taylorpolynome n-ten Grades: \(T_{a,n}=f(a)+f'(a)\cdot \frac{(x-a)}{1!}+f''(a)\cdot \frac{(x-a)^2}{2!}+...+f^n(a)\cdot \frac{(x-a)^n}{n!}\) a=\(\pi\), n=2 daraus folgt: \(T_{\pi,2}=f(a)+f'(a)\cdot \frac{(x-a)}{1!}+f''(a)\cdot \frac{(x-a)^2}{2!}=\) \(=f(\pi)+f'(\pi)\cdot \frac{(x-\pi)}{1!}+f''(\pi)\cdot \frac{(x-\pi)^2}{2!}=1+0-4 \cdot \frac{(x-\pi)^2}{2}=1-2x^2+4\pi x-2\pi^2\) Schätzwert bestimmen: \(T_{\pi,2}(x)=T_{\pi,2}(4)=1-2\cdot 4^2+4 \cdot 4 \pi -2 \pi^2=-31+16 \pi - 2\pi^2\) \(f(\pi)=cos(2x)=cos(2\pi)=1\) \(f'(\pi)=-2sin(2x)=-2sin(2\pi)=0\) \(f''(\pi)=-4cos(2x)=-4cos(2\pi)=-4\)

Ermitteln Sie einen Schätzwert für f(2) für das Taylorpolynom dritten Grades vom Entwicklungspunkt a=0 der Funktion \(f(x)=e^{2x}\). Nr. 3810
	54,6
	\(e^3+4\)
	0
	\(\frac{71}{3}\)
Lösungsweg Formel für Taylorpolynome n-ten Grades: \(T_{a,n}=f(a)+f'(a)\cdot \frac{(x-a)}{1!}+f''(a)\cdot \frac{(x-a)^2}{2!}+...+f^n(a)\cdot \frac{(x-a)^n}{n!}\) a=0, n=3 daraus folgt: \(T_{0,3}=f(a)+f'(a)\cdot \frac{(x-a)}{1!}+f''(a)\cdot \frac{(x-a)^2}{2!}+f'''(a)\cdot \frac{(x-a)^3}{3!}=\) \(=f(0)+f'(0)\cdot \frac{(x-0)}{1!}+f''(0)\cdot \frac{(x-0)^2}{2!}+f'''(0)\cdot \frac{(x-0)^3}{3!} =1+2 \cdot \frac{x}{1}+4 \cdot \frac{x^2}{2}+8 \cdot \frac{x^3}{6} =1+2x+2x^2+\frac{4x^3}{3} \) Schätzwert bestimmen: \(T_{0,3}(x)=T_{0,3}(2)=1+2 \cdot 2 + 2 \cdot 2^2 + 4 \cdot \frac{2^3}{3} =\frac{71}{3}\) \(f(0)=e^{2x}=e^0=1\) \(f'(0)=2 \cdot e^{2x}=2 \cdot e^0=2\) \(f''(0)=4 \cdot e^{2x}=4 \cdot e^0=4\) \(f'''(0)=8 \cdot e^{2x}=8 \cdot e^0=8\)

Ermitteln Sie den Konvergenzradius der gegebenen Reihe mittels Quotientenkriterium. \(\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{(x-3)^k}{4^k}\) Nr. 3811
	0
	4
	4x+3
	3k+4
Lösungsweg Potenzreihe: \(\sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n(x-x_0)^n\) Konvergenzradius mittels Quotientenkriterium für Potenzreihen: \(r=\lim\limits_{n \to \infty} \left\\| \frac {a_n}{a_{n+1}}\right\\|\) Für die vorliegende Reihe folgt daraus: \(a_n = \frac{1}{4^k}\) \(r=\lim\limits_{n \to \infty} \left\\| \frac {a_n}{a_{n+1}}\right\\|= \left\\| \frac {\frac {1}{4^k}} {\frac{1}{4^{k+1}}} \right\\|= \left\\| \frac {4^{k+1}}{4^k} \right\\|= \left\\| 4^{k+1-k} \right\\|= \) \(=\lim\limits_{n \to \infty} (4)=4\)

Ermitteln Sie den Konvergenzradius der gegebenen Reihe mittels Quotientenkriterium. \(\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{k^2}{4^k} \cdot (x-2)^k\) Nr. 3812
	4
	0
	\(\frac{k}{16}\)
	8
Lösungsweg Potenzreihe: \(\sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n(x-x_0)^n\) Konvergenzradius mittels Quotientenkriterium für Potenzreihen: \(r=\lim\limits_{n \to \infty} \left\\| \frac {a_n}{a_{n+1}}\right\\|\) Für die vorliegende Reihe folgt daraus: \(a_n = \frac{ k^2}{4^k}\) \(r=\lim\limits_{n \to \infty} \left\\| \frac {a_n}{a_{n+1}}\right\\|= \left\\| \frac {\frac {k^2}{4^k}} {\frac{(k+1)^2}{4^{k+1}}} \right\\|= \)\(\left\\| \frac {k^2 \cdot 4^{k+1}}{ (k+1)^2 \cdot 4^k} \right\\|= \left\\| 4 \cdot \frac {k^2}{(k+1)^2} \right\\|= \)\(\left\\| 4 \cdot \frac {k^2}{k^2+2k+1} \right\\|= \left\\| 4 \cdot \frac {k^2}{k^2(1+\frac{2}{k}+\frac{1}{k^2})} \right\\|=\) Anwenden der Quotientenregel: \(\frac{\lim\limits_{n \to \infty} (4)}{\lim\limits_{n \to \infty}(1+\frac{2}{k}+\frac{1}{k^2})}\) Anwenden der Summenregel: \(\frac{4}{ \lim\limits_{n \to \infty}(1)+ \lim\limits_{n \to \infty}(\frac{2}{k})+ \lim\limits_{n \to \infty}(\frac{1}{k^2})}= \frac{4}{1+0+0}=4 \)

Ermitteln Sie den Konvergenzradius der gegebenen Reihe mittels Quotientenkriterium. \(\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{5k}{15^k} \cdot (x-2,5)^k\) Nr. 3813
	4k
	0
	25
	15
Lösungsweg Potenzreihe: \(\sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n(x-x_0)^n\) Konvergenzradius mittels Quotientenkriterium für Potenzreihen: \(r=\lim\limits_{n \to \infty} \left\\| \frac {a_n}{a_{n+1}}\right\\|\) Für die vorliegende Reihe folgt daraus: \(a_n = \frac{5k}{15^k}\) \(r=\lim\limits_{n \to \infty} \left\\| \frac {a_n}{a_{n+1}}\right\\|= \left\\| \frac {\frac {5k}{15^k}} {\frac{5(k+1)}{15^{k+1}}} \right\\|= \)\(\left\\| \frac {5k \cdot 15^{k+1}}{ (5k+5) \cdot 15^k} \right\\|= \left\\| \frac {5k \cdot 15}{(5k+5)} \right\\|= \)\(\left\\| \frac {15}{1+\frac{1}{k}} \right\\|\) Anwenden der Quotientenregel: \(\frac{\lim\limits_{n \to \infty} (15)}{\lim\limits_{n \to \infty}(1+\frac{1}{k})}\) Anwenden der Summenregel: \(\frac{15}{ \lim\limits_{n \to \infty}(1)+ \lim\limits_{n \to \infty}(\frac{1}{k})}= \frac{15}{1+0}=15 \)

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Die Mathe Plattform des Technikum Wien gewinnt den eLearning Award 2019 als Projekt des Jahres in der Kategorie Hochschule.

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Im Juli starten wieder die Warm-up Kurse - ein kostenloser Service für Aufgenommene und Studierende der FHTW.

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