\(s_{3}= a_{1}+a_{2}+a_{3} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = 1,75\)

\(s_{4}= a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4} = -2+3+5+12 = 18\)

\(s_{5}= a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5} = 1+3+6+10+15+ = 35\)

\(s_{3}= a_{1}+a_{2}+a_{3} = -3+(-1)+1 = -3\)

Summenformel für die arithmetische Reihe benützen:

\(s_n=\frac{n}{2} \cdot(a_{1}+a_{n})\)

n berechnen:

\(n= \frac{a_{n}-a_{1}}{d}+1= \frac{105-5}{5}+1=21\)

in Formel einsetzen:

\(\frac{21}{2}\cdot(5+105)=1155\)

Summenformel für die arithmetische Reihe benützen:

\(s_n= \frac{n}{2} \cdot(a_{1}+a_{n})\)

n berechnen:

\(n= \frac{a_{n}-a_{1}}{d}+1= \frac{59-(-4)}{3}+1=22\)

in Formel einsetzen:

\(\frac{22}{2}\cdot(-4+59)=605\)

Summenformel für die arithmetische Reihe benützen:

\(s_n= \frac{n}{2} \cdot(a_{1}+a_{n})\)

n berechnen:

\(n= \frac{a_{n}-a_{1}}{d}+1= \frac{102-2}{4}+1=26\)

in Formel einsetzen:

\(\frac{26}{2}\cdot(2+102)=1352\)

Summenformel für die arithmetische Reihe benützen:

\(\frac{n}{2} \cdot(a_{1}+a_{n})\)

n berechnen:

\(n= \frac{a_{n}-a_{1}}{d}+1= \frac{-12-18}{-4}+1=16\)

in Formel einsetzen:

\(\frac{16}{2}\cdot(18+(-12))=48\)

Summenformel für die arithmetische Reihe benützen:

\(\frac{n}{2} \cdot(a_{1}+a_{n})\)

d berechnen:

\(d=\frac{a_{n+7}-a_{n}}{7}=\frac{a_{10}-a_{3}}{7}=4\)

\(a_{1}\) berechnen:

\(a_{1}= a_{3}-2d=4\)

in Formel einsetzen:

\(\frac{3}{2}\cdot(4+12)=24\)

Summenformel für die arithmetische Reihe benützen:

\(\frac{n}{2} \cdot(a_{1}+a_{n})\)

d berechnen:

\(d=\frac{a_{n+3}-a_{n}}{3}=\frac{a_{7}-a_{4}}{3}=1,5\)

\(a_{1}\) und \(a_{20}\) berechnen:

\(a_{1}= a_{4}-3d=15,5\)

\(a_{20}= a_{1}+19d=44\)

in Formel einsetzen:

\(\frac{20}{2}\cdot(15,5+44)=627\)

Summenformel für die arithmetische Reihe benützen:

\(\frac{n}{2} \cdot(a_{1}+a_{n})\)

d berechnen:

\(d=\frac{a_{n+3}-a_{n}}{3}=\frac{a_{5}-a_{2}}{3}=21\)

\(a_{1}\) und \(a_{10}\) berechnen:

\(a_{1}= a_{2}-d=7\)

\(a_{10}= a_{1}+9d=196\)

in Formel einsetzen:

\(\frac{10}{2}\cdot(9+189)=1015\)

Summenformel für die geometrische Reihe benützen:

\(a_{1}\frac{q^n-1}{q-1}\)

\(2\frac{3^{12}-1}{3-1}=531400\)

Summenformel für die geometrische Reihe benützen:

\(a_{1}\frac{q^n-1}{q-1}\)

\(1\frac{6^{8}-1}{6-1}=335923\)

Summenformel für die geometrische Reihe benützen:

\(a_{1}\frac{q^n-1}{q-1}\)

\(3\frac{12^{5}-1}{12-1}=67863\)

Aus der Summenformel ergibt sich folgende Reihe:

2+4+6+8+10

\(s_{n}=s_{5}=\frac{5}{2}(2+10)=30\)

Aus der Summenformel ergibt sich folgende Reihe:

\(\frac{3}{2}+\frac{6}{2}+\frac{9}{2}+\frac{12}{2}+\frac{15}{2}+\frac{18}{2}+\frac{21}{2}+\frac{24}{2}+\frac{27}{2}+\frac{30}{2}\)

\(s_{n}=s_{10}=\frac{10}{2}(\frac{3}{2}+\frac{30}{2})=82,5\)

Aus der Summenformel ergibt sich folgende Reihe:

\(\frac{1}{5}+\frac{2}{5}+\frac{3}{5}+\frac{4}{5}+\frac{5}{5}+\frac{6}{5}+\frac{7}{5}+\frac{8}{5}\)

\(s_{n}=s_{8}=\frac{8}{2}(\frac{1}{5}+\frac{8}{5})=7,2\)

Einsetzen in \(3\cdot 5^i\)

für i= 1:  \(3 \cdot 5^1=15 \)

für i= 2:  \(3 \cdot 5^2=75 \)

für i= 3:  \(3 \cdot 5^3=375 \)

Einsetzen in \(2\cdot 2^i\)

für i= 1:  \(2 \cdot 2^1=4 \)

für i= 2:  \(2 \cdot 2^2=8\)

für i= 3:  \(2 \cdot 2^3=16 \)

Einsetzen in \(4\cdot 4^i\)

für i= 1:  \(4 \cdot 4^1=16 \)

für i= 2:  \(4 \cdot 4^2=64\)

für i= 3:  \(4 \cdot 4^3=256 \)

\(0,\dot 1 \) kann als geometrische Reihe dargestellt werden:

\(0,1\cdot (\frac{1}{10})^0+0,1\cdot (\frac{1}{10})^1+0,1\cdot (\frac{1}{10})^2+ ... = \sum\limits_{k=0}^{\infty} 0,1\cdot(\frac{1}{10})^k\)

einsetzen in die Formel für den Grenzwert für unendliche geometrische Reihen:

wenn 0<q<1, dann 

\(\sum\limits_{k=0}^{\infty} a\cdot q^k = \frac{a}{1-q} = \frac{0,1}{1-\frac{1}{10}} = \frac{0,1}{\frac{9}{10}}= \frac{1}{9}\)  

\(0,\dot 7 \) kann als geometrische Reihe dargestellt werden:

\(0,7\cdot (\frac{1}{10})^0+0,7\cdot (\frac{1}{10})^1+0,7\cdot (\frac{1}{10})^2+ ... = \sum\limits_{k=0}^{\infty} 0,7\cdot(\frac{1}{10})^k\)

einsetzen in die Formel für den Grenzwert für unendliche geometrische Reihen:

wenn 0<q<1, dann 

\(\sum\limits_{k=0}^{\infty} a\cdot q^k = \frac{a}{1-q} = \frac{0,7}{1-\frac{1}{10}} = \frac{0,7}{\frac{9}{10}}= \frac{7}{9}\)  

\(0,\overline {37} \) kann als geometrische Reihe dargestellt werden:

\(0,37\cdot (\frac{1}{100})^0+0,37\cdot (\frac{1}{100})^1+0,37\cdot (\frac{1}{100})^2+ ... = \sum\limits_{k=0}^{\infty} 0,37\cdot(\frac{1}{100})^k\)

einsetzen in die Formel für den Grenzwert für unendliche geometrische Reihen:

wenn 0<q<1, dann 

\(\sum\limits_{k=0}^{\infty} a\cdot q^k = \frac{a}{1-q} = \frac{0,37}{1-\frac{1}{100}} = \frac{0,37}{\frac{99}{100}}= \frac{37}{99}\)  

\(0,\overline {132} \) kann als geometrische Reihe dargestellt werden:

\(0,132\cdot (\frac{1}{1000})^0+0,132\cdot (\frac{1}{1000})^1+0,132\cdot (\frac{1}{1000})^2+ ... = \sum\limits_{k=0}^{\infty} 0,132\cdot(\frac{1}{1000})^k\)

einsetzen in die Formel für den Grenzwert für unendliche geometrische Reihen:

wenn 0<q<1, dann 

\(\sum\limits_{k=0}^{\infty} a\cdot q^k = \frac{a}{1-q} = \frac{0,132}{1-\frac{1}{1000}} = \frac{0,132}{\frac{999}{1000}}= \frac{132}{999}=\frac{44}{333}\)  

\(0,\overline {5} \) kann als geometrische Reihe dargestellt werden:

\(0,5\cdot (\frac{1}{10})^0+0,5\cdot (\frac{1}{10})^1+0,5\cdot (\frac{1}{10})^2+ ... = \sum\limits_{k=0}^{\infty} 0,5\cdot(\frac{1}{10})^k\)

einsetzen in die Formel für den Grenzwert für unendliche geometrische Reihen:

wenn 0<q<1, dann 

\(\sum\limits_{k=0}^{\infty} a\cdot q^k = \frac{a}{1-q} = \frac{0,5}{1-\frac{1}{10}} = \frac{0,5}{\frac{9}{10}}= \frac{5}{9}\)
  

\(0,\overline {456} \) kann als geometrische Reihe dargestellt werden:

\(0,456\cdot (\frac{1}{1000})^0+0,456\cdot (\frac{1}{1000})^1+0,456\cdot (\frac{1}{1000})^2+ ... = \sum\limits_{k=0}^{\infty} 0,456\cdot(\frac{1}{1000})^k\)

einsetzen in die Formel für den Grenzwert für unendliche geometrische Reihen:

wenn 0<q<1, dann 

\(\sum\limits_{k=0}^{\infty} a\cdot q^k = \frac{a}{1-q} = \frac{0,456}{1-\frac{1}{1000}} = \frac{0,456}{\frac{999}{1000}}= \frac{456}{999}=\frac{152}{333}\)  

Eine geometrische Reihe liegt in folgender Form vor:

 \(\sum\limits_{k=1}^{\infty}q^k\)

Diese Form erfüllen:

\(\sum\limits_{k=1}^{\infty}(\frac{1}{2})^k\) 

\(\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{2}{3}\cdot 11^k\)

Eine geometrische Reihe liegt in folgender Form vor:

 \(\sum\limits_{k=1}^{\infty}q^k\)

Diese Vorschrift erfüllen:

\(\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{22^k}{41}\)

\(\sum\limits_{k=1}^{\infty}8^k\)

Eine geometrische Reihe liegt in folgender Form vor:

 \(\sum\limits_{k=1}^{\infty}q^k\)

Diese Vorschrift erfüllt:

\(\sum\limits_{k=1}^{\infty} 40 \cdot (\frac{1}{2})^k\)

Eine geometrische Reihe liegt in folgender Form vor:

 \(\sum\limits_{k=1}^{\infty}q^k\)

Diese Vorschrift erfüllen:

\(\sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{5}{25}^k\)

\(\sum\limits_{k=1}^{\infty} (\frac{5}{8})^k \cdot 2\)

Die Summenformel für geometrische Reihen benutzen:

\(S=a \cdot \frac{1-q^{n+1}}{1-q}\)

einsetzen:

\(20 \cdot \frac{1-8^{4+1}}{1-8} = 20 \cdot \frac{-32767}{-7}= 93 620\)

Die Summenformel für geometrische Reihen benutzen:

\(S=a \cdot \frac{1-q^{n+1}}{1-q}\)

einsetzen:

\(\frac{1}{2} \cdot \frac{1-2^{8+1}}{1-2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{-511}{-1}= 255,5\)

Die Summenformel für geometrische Reihen benutzen:

\(S=a \cdot \frac{1-q^{n+1}}{1-q}\)

einsetzen:

\( \frac{1-4^{10+1}}{1-4} = \frac{-4194303}{-3}= 1398101\)

Die Summenformel für geometrische Reihen benutzen:

\(S=a \cdot \frac{1-q^{n+1}}{1-q}\)

einsetzen:

\(\frac{2}{3} \cdot \frac{1-3^{5+1}}{1-3} = \frac{2}{3} \cdot \frac{-728}{-2}= 242,\overline{6}\)

Die Summenformel für geometrische Reihen benutzen:

\(S=a \cdot \frac{1-q^{n+1}}{1-q}\)

einsetzen:

\( \frac{1}{4} \cdot \frac{1-4^{7+1}}{1-4} = \frac{1}{4} \cdot \frac{-65535}{-3}= 5461,25\)

Die Summenformel für geometrische Reihen benutzen:

\(S=a \cdot \frac{1-q^{n+1}}{1-q}\)

einsetzen:

\(\frac{1-5^{3+1}}{1-5} = \frac{-624}{-4}= 156\)

Eine geometrische Reihe \(\sum\limits_{k=1}^{\infty} a\cdot q^k\) verhält sich konvergent für  \(|q|<1\) und divergent für \(|q|>1\).

Für die vorliegende Reihe gilt:

\(q=\frac{1}{2}\)

\(\frac{1}{2}<1\), daraus folgt die Reihe ist konvergent.

Eine geometrische Reihe \(\sum\limits_{k=1}^{\infty} a\cdot q^k\) verhält sich konvergent für \(|q|<1\) und divergent für \(|q|>1\).

Für die vorliegende Reihe gilt:

\(q=4\)

\(4>1\), daraus folgt die Reihe ist divergent.

Eine geometrische Reihe \(\sum\limits_{k=1}^{\infty} a\cdot q^k\) verhält sich konvergent für \(q<1\) und divergent für \(q>1\).

Für die vorliegende Reihe gilt:

\(q=3\)

\(3>1\), daraus folgt die Reihe ist divergent.

Eine geometrische Reihe \(\sum\limits_{k=1}^{\infty} a\cdot q^k\) verhält sich konvergent für \(q<1\) und divergent für \(q>1\).

Für die vorliegende Reihe gilt:

\(q=4\)

\(4>1\), daraus folgt die Reihe ist divergent.

Eine geometrische Reihe \(\sum\limits_{k=1}^{\infty} a\cdot q^k\) verhält sich konvergent für \(q<1\) und divergent für \(q>1\).

Für die vorliegende Reihe gilt:

\(q=\frac{5}{8}\)

\(\frac{5}{8}<1\), daraus folgt die Reihe ist konvergent.

Eine geometrische Reihe \(\sum\limits_{k=1}^{\infty} a\cdot q^k\) verhält sich konvergent für \(q<1\) und divergent für \(q>1\).

Für die vorliegende Reihe gilt:

\(q=0,3\)

\(0,3<1\), daraus folgt die Reihe ist konvergent.

Falls \(q<1\) kann zur Berechnung des Grenzwertes folgende Formel benutzt werden:

\(S=\frac{1}{1-q}=\frac{1}{1-\frac{1}{3}}=\frac{1}{\frac{2}{3}}=1,5\)

Die Reihe konvergiert gegen 1,5.

Falls \(q<1\) kann zur Berechnung des Grenzwertes folgende Formel benutzt werden:

\(S=\frac{1}{1-q}=\frac{1}{1-\frac{2}{5}}=\frac{1}{\frac{3}{5}}=\frac{5}{3}\)

Die Reihe konvergiert gegen \(\frac{5}{3}\).

Falls \(q<1\) kann zur Berechnung des Grenzwertes folgende Formel benutzt werden:

\(S=\frac{1}{1-q}=\frac{1}{1-\frac{7}{8}}=\frac{1}{\frac{1}{8}}=8\)

Die Folge konvergiert gegen 8.

Falls \(q<1\) kann zur Berechnung des Grenzwertes folgende Formel benutzt werden:

\(S=a \cdot \frac{1}{1-q}=3\cdot \frac{1}{1-\frac{1}{4}}=3 \cdot \frac{1}{\frac{3}{4}}=\frac{12}{3}=4\)

Die Reihe konvergiert gegen 4.

Die Reihe ist divergent da \(q=4\) und \(q>1\), daraus folgt das die Reihe keinen Grenzwert hat.

Die Reihe ist divergent da \(q=5\) und \(q>1\), daraus folgt das die Reihe keinen Grenzwert hat.