Bei der arithmetischen Folge ist die Differenz zweier aufeinanderfolgender Zahlen immer ident:

\(d = a_{n+1} - a_{n} \\12-2=10 \) 

aus dieser Differenz können die nachfolgenden Glieder abgeleitet werden:

\(a_{n+1}= a_{n}+d \\12 + 10 = 22 \\22 + 10 = 32 \\32 + 10 = 42\)

Bei der arithmetischen Folge ist die Differenz zweier aufeinanderfolgender Zahlen immer ident:

\(d = a_{n+1} - a_{n} \\2,5-5=-2,5 \) 

aus dieser Differenz können die nachfolgenden Glieder ableitet werden:

\(a_{n+1}= a_{n}+d \\2,5 - 2,5 = 0 \\0-2,5 =-2,5 \\-2,5-2,5 = -5\)

Bei der geometrischen Folge ist der Quotient zweier aufeinanderfolgender Zahlen immer ident:

\(q = a_{n+1} / a_{n} \\10/2=5 \) 

aus dieser Quotienten können die nachfolgenden Glieder ableitet werden:

\(a_{n+1}= a_{n}*q \\10*5=50 \\50*5=250 \\250*5=1250\)

Bei der geometrischen Folge ist der Quotient zweier aufeinanderfolgender Zahlen immer ident:

\(q = a_{n+1} / a_{n} \\4/10=0,4 \) 

aus dieser Quotienten können die nachfolgenden Glieder ableitet werden:

\(a_{n+1}= a_{n}*q \\4*0,4=1,6 \\1,6*0,4=0,64 \\0,64*0,4=0,256\)

\(\) ist eine explizite Bildungsvorschrift, daher:

\(a_{1}=4*1+3=7 \\a_{2}=4*2+3=11 \\a_{3}=4*3+3=15\)

\(\)ist eine explizite Bildungsvorschrift, daher:

a_{1}=\frac{1}{2 \cdot 1+1}=\frac{1}{3} \\[10in] a_{2}=\frac{2}{2 \cdot 2+1}=\frac{2}{5} \\[10in] a_{3}=\frac{3}{2 \cdot 3+1}=\frac{3}{7}

\( \) ist eine explizite Bildungsvorschrift, daher:

a_{1}=\frac{(-1)^1}{1+1}=\frac{-1}{2} \\[10in] a_{2}=\frac{(-1) ^2}{2+1}=\frac{1}{3} \\[10in] a_{3}=\frac{(-1)^3}{3+1}=\frac{-1}{4}

\(\) ist eine explizite Bildungsvorschrift, daher:

a_{1}= (1-1)^2+7=7 \\[10in] a_{2}= (2-1)^2+7=8 \\[10in] a_{3}= (3-1)^2+7=11

Die Differenz zwischen zwei benachbarten Folgegliedern ist immer gleich: \(a_{n+1}-a_{n}=d\)

daraus folgt:

 \(a_{5}-a_{3}=a_{n+2}-a_{n}=2d \\\frac{61-46}{2}=7,5=d\)

Die Differenz zwischen zwei benachbarten Folgegliedern ist immer gleich: \(a_{n+1}-a_{n}=d\)

daraus folgt:

 \(a_{7}-a_{4}=a_{n+3}-a_{n}=3d \\\frac{59,7-48,6}{3}=3,7=d\)

Die Differenz zwischen zwei benachbarten Folgegliedern ist immer gleich: \(a_{n+1}-a_{n}=d\)

daraus folgt:

 \(a_{9}-a_{3}=a_{n+6}-a_{n}=6d \\\frac{-14,1-12,3}{6}=-4,4=d\)

Der Quotient zwischen zwei benachbarten Folgegliedern ist immer gleich: \(\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=q\)

daraus folgt:

 \frac{a_{4}}{a_{2}}=\frac{a_{n+2}}{a_{n}}=q^2 \\[10in] \sqrt{\frac{36288}{252}}=12=q

Der Quotient zwischen zwei benachbarten Folgegliedern ist immer gleich: \(\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=q\)

daraus folgt:

 \frac{a_{5}}{a_{3}}=\frac{a_{n+2}}{a_{n}}=q^2 \\[10in] \sqrt{\frac{1350,5625}{110,25}}=3,5=q

Der Quotient zwischen zwei benachbarten Folgegliedern ist immer gleich: \(\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=q\)

daraus folgt:

 \frac{a_{6}}{a_{3}}=\frac{a_{n+3}}{a_{n}}=q^3 \\[10in] \sqrt[3]{\frac{61440}{960}}=4=q

\(\)ist eine explizite Bildungsvorschrift, daher:

a_{2}=\frac{2}{2 ^2}=\frac{2}{4} \\[10in] a_{3}=\frac{3}{3 ^2}=\frac{3}{9} \\[10in] a_{4}=\frac{4}{4 ^2}=\frac{4}{16}

\(\)ist eine explizite Bildungsvorschrift, daher:

a_{1}=2\cdot 1^2=2 \\[10in] a_{2}=2\cdot 2^2=8 \\[10in] a_{3}=2\cdot 3^2=18

\(\)ist eine explizite Bildungsvorschrift, daher:

a_{1}=2^1=2 \\[10in] a_{2}=2^2=4 \\[10in] a_{3}=2^3=8 \\[10in] a_{4}=2^4=16 \\[10in] a_{5}=2^5=32

\(a_{n+1}=a_{n}+d \), daraus folgt:

\\[10in]a_{1}=7 \\a_{2}=a_{1}+d=7+21=28 \\a_{3}=a_{2}+d=28+21=49

\(a_{n+1}=a_{n}+d \), daraus folgt:

\\[10in]a_{1}=15 \\a_{2}=a_{1}+d=15-3,7=11,3 \\a_{3}=a_{2}+d=11,3-3,7=7,6

\(a_{n+1}=a_{n}+d \), daraus folgt:

\\[10in]a_{1}=37 \\a_{2}=a_{1}+d=37+3,44=40,44 \\a_{3}=a_{2}+d=40,44+3,44=43,88

\(a_{n+1}=a_{n}\cdot q \), daraus folgt:

\\[10in]a_{1}=3 \\a_{2}=a_{1}\cdot q=3\cdot 7,5=22,5 \\a_{3}=a_{2}\cdot q=22,5\cdot 7,5=168,75

\(a_{n+1}=a_{n}\cdot q\), daraus folgt:

\\[10in]a_{1}=4,5 \\a_{2}=a_{1}\cdot q=4,5\cdot 3,2=14,4 \\a_{3}=a_{2}\cdot q=14,4\cdot 3,2=46,08

\(a_{n+1}=a_{n}\cdot q\), daraus folgt:

\\[10in]a_{1}=8 \\a_{2}=a_{1}\cdot q=8\cdot (-2)=-16 \\a_{3}=a_{2}\cdot q=-16\cdot (-2)=32

Zuerst muss die Differenz(d) ermittelt werden:

\(d=\frac{a_{5}-a_{3}}{2}=\frac{20-12}{2}=4\)

für arithmetische Folgen gilt:

\(a_{n}=a_{1}+(n-1)\cdot d\)

daraus folgt:

a_{1}=a_{n}-(n-1)\cdot d \\[10in] a_{1}=a_{3}-(3-1)\cdot 4=4

Zuerst muss die Differenz(d) ermittelt werden:

\(d=\frac{a_{7}-a_{4}}{3}=\frac{24,5-20}{3}=1,5\)

für arithmetische Folgen gilt:

\(a_{n}=a_{1}+(n-1)\cdot d\)

daraus folgt:

a_{1}=a_{n}-(n-1)\cdot d \\[10in] a_{1}=a_{4}-(4-1)\cdot 1,5=15,5

Zuerst muss die Differenz(d) ermittelt werden:

\(d=\frac{a_{7}-a_{3}}{4}=\frac{33-55}{4}=-5,5\)

für arithmetische Folgen gilt:

\(a_{n}=a_{1}+(n-1)\cdot d\)

daraus folgt:

a_{1}=a_{n}-(n-1)\cdot d \\[10in] a_{1}=a_{3}-(3-1)\cdot (-5,5)=66

Zuerst muss der Quotient(q) ermittelt werden:

\(q=\sqrt{\frac{a_{5}}{a_{3}}}=\sqrt{\frac{12,5}{50}}=0,5\)

für geometrische Folgen gilt:

\(a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1}\)

daraus folgt:

a_{1}=\frac{a_{n}}{ q^{n-1}} \\[10in] a_{1}=\frac{a_{3}}{0,5^{3-1}}=200

Zuerst muss der Quotient(q) ermittelt werden:

\(q=\sqrt{\frac{a_{6}}{a_{4}}}=\sqrt{\frac{96}{24}}=2\)

für geometrische Folgen gilt:

\(a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1}\)

daraus folgt:

a_{1}=\frac{a_{n}}{ q^{n-1}} \\[10in] a_{1}=\frac{a_{4}}{2^{4-1}}=3

Zuerst muss der Quotient(q) ermittelt werden:

\(q=\sqrt{\frac{a_{7}}{a_{3}}}=\sqrt{\frac{1093,55}{13,5}}=3\)

für geometrische Folgen gilt:

\(a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1}\)

daraus folgt:

a_{1}=\frac{a_{n}}{ q^{n-1}} \\[10in] a_{1}=\frac{a_{13,5}}{3^{3-1}}=1,5

\(1< 3 < 6< 10< 15< 21\)

Die Folgeglieder der Folge steigen stets -> daraus folgt streng monoton steigendes Wachstumsverhalten:

\(a_{n+1}>a_{n}\)

\(2<4<8<16< 32\)

Die Folgeglieder der Folge steigen stets -> daraus folgt streng monoton  steigend Wachstumsverhalten:

\(a_{n+1}>a_{n}\)

\(8> 4>2>1>0,5\)

Die Folgeglieder der Folge fallen stets -> daraus folgt streng monoton fallendes Wachstumsverhalten:

\(a_{n+1}

\(\frac{1}{3} >\qquad \frac{1}{4} >\qquad \frac{1}{5} >\qquad \frac{1}{6}>\qquad \frac{1}{7}\)

Die Folgeglieder der Folge fallen stets -> daraus folgt streng monoton fallendes Wachstumsverhalten:

\(a_{n+1}

\(1\leq \qquad 1<\qquad 2<\qquad 3<\qquad 5<\qquad 8\)

Die Folgeglieder der Folge sind entweder größer oder gleich dem Vorgängerglied -> daraus folgt monoton  steigendes Wachstumsverhalten:

\(a_{n+1}\geq a_{n}\)

\(44>14\geq 14>\qquad 4\)

Die Folgeglieder der Folge sind entweder kleiner oder gleich dem Vorgängerglied -> daraus folgt monoton fallendes Wachstumsverhalten:

\(a_{n+1}\leq a_{n}\)

\(4< 5 > 3 < 6 > 2 \)

es liegt kein stetig steigendes oder fallendes Wachstumsverhalten vor -> daraus folgt kein monotones Wachstumsverhalten

\(-1<2>-3<4>-5<6\)

es liegt kein stetig steigendes oder fallendes Wachstumsverhalten vor -> daraus folgt kein monotones Wachstumsverhalten

Überprüfung ob streng monton steigendes Wachstumsverhalten vorliegt:

\(a_{n+1}>a_{n}\)

daraus folgt:

\(\frac{2n-1}{n+1}<\frac{2(n+1)-1}{(n+1)+1}\)

\frac{2n-1}{n+1}<\frac{2n+1}{n+2} \\[10in] (2n-1)(n+2)<(2n+1)(n+1) \\[10in] 2n^2+3n-2<2n^2+3n+1 \\[10in] -2<1

-2>1 wahre Aussage für \(n \in \mathbb{N}\), daraus folgt diese Folge ist streng monoton  steigend

Überprüfung ob streng monton fallendes Wachstumsverhalten vorliegt:

\(a_{n}>a_{n+1}\)

daraus folgt:

\(\frac{1}{n}>\frac{1}{n+1}\)

n+1>n \\[10in] 1>0

1>0 wahre Aussage für \(n \in \mathbb{N}\), daraus folgt diese Folge ist streng monoton fallend 

Überprüfung ob streng monton  steigendes Wachstumsverhalten vorliegt:

\(a_{n}

daraus folgt:

\(4n+3<4(n+1)+3\)

4n+3<4n+7 \\[10in] 3<7

3>7 wahre Aussage für \(n \in \mathbb{N}\), daraus folgt diese Folge ist streng monoton  steigend

Überprüfung ob streng monton steigendes Wachstumsverhalten vorliegt:

\(a_{n}

daraus folgt:

\((n-1)^2+7<((n+1)-1)^2+7\)

n^2-2n+8

-2n < -1 für \(n \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\) , daraus folgt diese Folge ist streng monoton steigend

Überprüfung ob streng monton fallendes Wachstumsverhalten vorliegt:

\(a_{n}>a_{n+1}\)

daraus folgt:

\(\frac{1}{2n}>\frac{1}{2(n+1)} \\ 2n+2>2n \\ 2>0\)

\(2>0\) wahre Aussage für \(n \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\), daraus folgt diese Folge ist streng monoton fallend 

Überprüfung ob streng monton fallendes Wachstumsverhalten vorliegt:

\(a_{n}>a_{n+1}\)

daraus folgt:

\(\frac{2n+1}{n^2}>\frac{2(n+1)+1}{(n+1)^2}\)

\frac{2n+1}{n^2}>\frac{2n+3}{n^2+2n+1} \\[10in] (2n+1)(n^2+2n+1)>n^2(2n+3) \\[10in] 2n^3+5n^2+4n+1>2n^3+3n^2 \\[10in] 2n^2+4n+1>0

\(2n^2+4n+1>0\) wahre Aussage für \(n \in \mathbb{N}\), daraus folgt diese Folge ist streng monoton fallend 

 Überprüfung ob 2 eine obere Schranke ist:

\(2>\frac{2n-1}{n+1} \)

2n+2>2n-1 \\[10in] 2>-1

2>-1 ist eine wahre Aussage für \(n \in \mathbb{N}\), daraus folgt das 2 eine obere Schranke für diese Folge ist

Da 3>2, ist auch 3 eine obere Schranke.

Überprüfung ob 6 eine obere Schranke ist:

\(6>\frac{3n+6}{n+1} \)

6>\frac{3n+6}{n+1} \\[10in] 6n+6>3n+6 \\[10in] 6n>3n \\[10in] 6>3

6>3 ist eine wahre Aussage für \(n \in \mathbb{N}\), daraus folgt das 6 eine obere Schranke für diese Folge ist

Da 12>6, ist auch 12 eine obere Schranke.

4 ist keine obere Schranke, da

4n+4>3n+6 nur für n>2

Obere Schranke:

\(x>\frac{1}{2n} \)

gilt für

\(x>\frac{1}{2} \)  für \(n \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)

Untere Schranke

x<4n+3

für x<7

Überprüfung ob 1 eine untere Schranke ist:

\(1<\frac{n^2+1}{n^2} \)

\(n^2

\(n^2 ist eine wahre Aussage für \(n \in \mathbb{N}\), daraus folgt das 1 eine untere Schranke für diese Folge ist

Da \(-1<1\) und \(0<1\), sind auch -1 und 0 untere Schranken.

3 ist keine untere Schranke

da

\(3n^2gilt für kein \(n \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)

Untere Schranke

\(x<(n-1)^2+7 \)

da \((n-1)^2 \geq 0\) muss gelten \(x<7\)

Überprüfung ob 6 eine untere Schranke ist:

\(6<(n-1)^2+7 \)

6

\(0 ist eine wahre Aussage für \(n \in \mathbb{N}\), daraus folgt das 6 eine untere Schranke für diese Folge ist

Da \(5<6\), ist auch 5 eine untere Schranke.

\(\lim\limits_{n \to \infty}(\frac{4}{\infty}+1)\cdot2= (0+1)\cdot 2= 2\)

2 ist der Grenzwert für diese Folge.

\(\lim\limits_{n \to \infty}\frac{1}{\infty}+7= 0+7= 7\)

7 ist der Grenzwert für diese Folge.

\(\lim\limits_{n \to \infty}(\frac{7}{\infty}-1)(\frac{1}{\infty}+4)= (0-1)(0+4)= -4\)

-4 ist der Grenzwert für diese Folge.

\lim\limits_{n \to \infty}\frac{2n-1}{n+1} \\[10in] \lim\limits_{n \to \infty}\frac{n(2-\frac{1}{n})}{n(1+\frac{1}{n})}  

n kürzen:

\(\lim\limits_{n \to \infty}\frac{2-\frac{1}{n}}{1+\frac{1}{n}} \)

Quotientenregel anwenden:

\(\frac{\lim_{n \to \infty}(2-\frac{1}{n})}{\lim_{n \to \infty}(1+\frac{1}{n})}\)

Summen-/Differenzregeln anwenden:

\(\frac{\lim_{n \to \infty}(2)-\lim_{n \to \infty}(\frac{1}{n})}{\lim_{n \to \infty}(1)+\lim_{n \to \infty}(\frac{1}{n})}\)

Nullfolge bzw. konstante Folge:

\(\frac{2-0}{1+0} =2\)

2 ist der Grenzwert dieser Folge.

\lim\limits_{n \to \infty}\frac{3n+6}{n+1} \\[10in] \lim\limits_{n \to \infty}\frac{n(3+\frac{6}{n})}{n(1+\frac{1}{n})}  

n kürzen:

\(\lim\limits_{n \to \infty}\frac{3+\frac{6}{n}}{1+\frac{1}{n}} \)

Quotientenregel anwenden:

\(\frac{\lim_{n \to \infty}(3+\frac{6}{n})}{\lim_{n \to \infty}(1+\frac{1}{n})}\)

Summen-/Differenzregeln anwenden:

\(\frac{\lim_{n \to \infty}(3)+\lim_{n \to \infty}(\frac{6}{n})}{\lim_{n \to \infty}(1)+\lim_{n \to \infty}(\frac{1}{n})}\)

Nullfolge bzw. konstante Folge:

\(\frac{3+0}{1+0} =3\)

3 ist der Grenzwert dieser Folge.

\lim\limits_{n \to \infty}\frac{n+1}{n-1} \\[10in] \lim\limits_{n \to \infty}\frac{n(1+\frac{1}{n})}{n(1-\frac{1}{n})}  

n kürzen:

\(\lim\limits_{n \to \infty}\frac{1+\frac{1}{n}}{1-\frac{1}{n}} \)

Quotientenregel anwenden:

\(\frac{\lim_{n \to \infty}(1+\frac{1}{n})}{\lim_{n \to \infty}(1-\frac{1}{n})}\)

Summen-/Differenzregeln anwenden:

\(\frac{\lim_{n \to \infty}(1)+\lim_{n \to \infty}(\frac{1}{n})}{\lim_{n \to \infty}(1)-\lim_{n \to \infty}(\frac{1}{n})}\)

Nullfolge bzw. konstante Folge:

\(\frac{1+0}{1-0} =1\)

1 ist der Grenzwert dieser Folge.

\lim\limits_{n \to \infty}\frac{n^2-1}{n^2} \\[10in] \lim\limits_{n \to \infty}\frac{n^2(1+\frac{1}{n^2})}{n^2}  

n kürzen:

\(\lim\limits_{n \to \infty}(1-\frac{1}{n^2})\)

Summen-/Differenzregeln anwenden:

\(\lim_{n \to \infty}(1)-\lim_{n \to \infty}(\frac{1}{n^2})\)

Nullfolge bzw. konstante Folge:

\(1-0 =1\)

1 ist der Grenzwert dieser Folge.

\(\lim\limits_{n \to \infty}(7n+2)=\infty +2 = \infty \)

Die Folge hat keinen Grenzwert, daraus folgt sie ist divergent.

\(\lim\limits_{n \to \infty}(n^2)=\infty \)

Die Folge hat keinen Grenzwert, daraus folgt sie ist divergent.

\(\lim\limits_{n \to \infty}(2n^2+4)=\infty + 4= \infty \)

Die Folge hat keinen Grenzwert, daraus folgt sie ist divergent.

\(\lim\limits_{n \to \infty}(n^2-n)=n^2(1-\frac{1}{n})=\infty (1-0)= \infty \)

Die Folge hat keinen Grenzwert, daraus folgt sie ist divergent.

\(\lim\limits_{n \to \infty}(\frac{3}{n+1}+1)=0+1= 1 \)

Die Folge hat ihren Grenzwert bei 1 - sie konvergiert gegen 1, daraus folgt sie ist konvergent.

\(\lim\limits_{n \to \infty}(\frac{3}{n^2}-4)=0-4= -4 \)

Die Folge hat ihren Grenzwert bei -4 - sie konvergiert gegen -4, daraus folgt sie ist konvergent.

\(\lim\limits_{n \to \infty}(\frac{3}{n^2}-4)=0-4= -4 \)

Die Folge hat ihren Grenzwert bei -4 - sie konvergiert gegen -4, daraus folgt sie ist konvergent.

\(\lim\limits_{n \to \infty}\frac{n^2}{n^2+1}\)

\(\lim\limits_{n \to \infty}\frac{n^2}{n^2(1+\frac{1}{n^2})}\)

\(n^2\) kürzen

\(\lim\limits_{n \to \infty}\frac{1}{(1+\frac{1}{n^2})} = \frac{1}{1+0}=1\)

Die Folge hat ihren Grenzwert bei 1 - sie konvergiert gegen 1, daraus folgt sie ist konvergent.