\(\iiint_V 3x-y+2z \qquad \mathrm{d}V = \int_0^1 \int_0^1 \int_0^1 3x-y+2z \qquad \mathrm{d}z \qquad \mathrm{d}y \qquad\mathrm{d}x =\)\( \int_0^1 \int_0^1 3x-z+1 \qquad \mathrm{d}y \qquad\mathrm{d}x = \int_0^1 3x-z+1 \qquad\mathrm{d}x = \frac{3}{2}-\frac{1}{2}+1=2\)

\(\int\limits_{1}^{2}\int\limits_{0}^{3}\int\limits_{0}^{1} 2x^2+yz \qquad \mathrm{d}z \qquad \mathrm{d}y \qquad \mathrm{d}x =\)

\(\int\limits_{1}^{2}\int\limits_{0}^{3} 2x^2z+\frac y2 z^2 |_0^1 \qquad \mathrm{d}y \qquad \mathrm{d}x = \int\limits_{1}^{2}\int\limits_{0}^{3} 2x^2+\frac y2 \qquad \mathrm{d}y \qquad \mathrm{d}x =\)

\(\int\limits_{1}^{2} 2x^2y+\frac {y^2}{4} \qquad|_0^3 \qquad \mathrm{d}x = \int\limits_{1}^{2} \frac 94 +6x^2 \qquad \mathrm{d}x =\)

\(\frac{9x}{4} +2x^3 \qquad|_1^2 = \frac{65}{4} \)

\(f(x)=x^2+2\)

Das Volumen eines Rotationskörpers um die x Achse ist

\(\pi \int_a^b (f(x))^2 \ \mathrm{d}x\)

\(\int_{-1}^3 (x^2+2)^2 \ \mathrm{d}x = \frac{x^5}{5}+\frac{4 x^3}{3}+4 x |_{-1}^3 = \frac{1532}{15}\)

\(V=\pi \frac{1532}{15}\)

Das Volumen eines Rotationskörpers um die x Achse ist

\(\pi \int_a^b (f(x))^2 \ \mathrm{d}x\)

\(\int_0^1 (\sqrt{x+1})^2 \ \mathrm{d}x = \int_0^1 x+1 \ \mathrm{d}x = \frac{x^2}{2}+x \ |_0^1 = \frac{3}2\)

\(V=\frac{3\pi}{2}\)

Am einfachsten ist es, hierfür Zylinderkoordinaten zu verwenden.

\(V = \bigint_0^{10} \bigint_0^4 \bigint_0^{2\pi} \rho \ d\varphi dz d\rho = \\ = 2\pi \bigint_0^{10} \bigint_0^4 \rho \ dz d\rho= \\ = 2\pi \cdot 4 \bigint_0^{10} \rho \ d\rho = \\ \)

\(=8\pi \frac{\rho^2}{2} \mid_0^{10} = \\ = 8\pi \frac{10^2}{2} = 8\cdot 50\pi = 400\pi\)

Der Satz von Gauß stellt eine Beziehung zwischen einem Oberflächen- und einem Volumsintegral her:

\(\oint_{A} \vec{A} \cdot d \vec{f}=\int_{V} \operatorname{div} \vec{A} d V\)

Um den Satz von Gauß anweden zu können, benötigen Sie also zuerst die Divergenz des Vektorfeldes \(\vec{A}\):

\(div \vec{A} = \frac{ \partial \vec{A_x} }{\partial x} + \frac{ \partial \vec{A_y} }{\partial y} + \frac{ \partial \vec{A_z} }{\partial z} = 1 +1 + 1 =3\)

Es gilt also:

\(\oint_{A} \vec{A} \cdot d \vec{f}=\int_{V} 3 d V = 3V\)

Der Satz von Gauß stellt eine Beziehung zwischen einem Oberflächen- und einem Volumsintegral her:

\(\oint_{A} \vec{A} \cdot d \vec{f}=\int_{V} \operatorname{div} \vec{A} d V\)

Um den Satz von Gauß anweden zu können, benötigen Sie also zuerst die Divergenz des Vektorfeldes \(\vec{A}\):

\(div \vec{A} = \frac{ \partial \vec{A_x} }{\partial x} + \frac{ \partial \vec{A_y} }{\partial y} + \frac{ \partial \vec{A_z} }{\partial z} = 1 +8y + 0 = 1+ 8y\)

\(\oint_{A} \vec{A} \cdot d \vec{f}=\bigint_{V} (1+8y) d V = \bigint_{0}^1 \bigint_{0}^2 \bigint_{0}^1 (1+8y) dx dy dz\)\(= \bigint_{0}^1 \bigint_{0}^2 (1+8y)x \mid_0^1 dy dz = \bigint_{0}^1 \bigint_{0}^2 (1+8y) dy dz = \bigint_{0}^1 (y+8\frac{y^2}{2}) \mid_{0}^2 dz = \)

\(= \bigint_{0}^1 (2+8\frac{2^2}{2}) dz = \bigint_{0}^1 18 dz = 18z \mid_0^1 = 18\)

Der Satz von Gauß stellt eine Beziehung zwischen einem Oberflächen- und einem Volumsintegral her:

\(\oint_{A} \vec{A} \cdot d \vec{f}=\int_{V} \operatorname{div} \vec{A} d V\)

Um den Satz von Gauß anweden zu können, benötigen Sie also zuerst die Divergenz des Vektorfeldes \(\vec{A}\):

\(div \vec{A} = \frac{ \partial \vec{A_x} }{\partial x} + \frac{ \partial \vec{A_y} }{\partial y} + \frac{ \partial \vec{A_z} }{\partial z} = (2x-y) -3 -x = x-y-3\)

Somit folgt:

\(\oint_{A} \vec{A} \cdot d \vec{f}=\bigint_{V} (x-y-3) d V = \bigint_{0}^2 \bigint_{0}^x \bigint_{0}^1 (x-y-3)dx dy dz\)

Da die y-Integrationsgrenzen von x abhängen, muss die Integration über y zuerst durchgeführt werden:

\(= \bigint_{0}^2 \bigint_{0}^1 \bigint_{0}^x (x-y-3)dy dx dz = \bigint_{0}^2 \bigint_{0}^1 (xy- \frac{y^2}{2}-3y)\mid_{0}^xdx dz = \)\(\bigint_{0}^2 \bigint_{0}^1 (x^2- \frac{x^2}{2}-3x) dx dz =\)

\(= \bigint_{0}^2 \bigint_{0}^1 ( \frac{x^2}{2}-3x) dx dz = \bigint_{0}^2 ( \frac{x^3}{2\cdot3}-\frac{3x^2}{2}) \mid_{0}^1 dz = \bigint_{0}^2 ( \frac{1}{6}-\frac{3}{2}) dz = \)\(\bigint_{0}^2 (- \frac{4}{3}) dz =\)

\(= (- \frac{4}{3}z) \mid_{0}^2 = - \frac{4}{3} \cdot 2 = - \frac{8}{3}\)

Der Satz von Gauß stellt eine Beziehung zwischen einem Oberflächen- und einem Volumsintegral her:

\(\oint_{A} \vec{A} \cdot d \vec{f}=\int_{V} \operatorname{div} \vec{A} d V\)

Um den Satz von Gauß anweden zu können, benötigen Sie also zuerst die Divergenz des Vektorfeldes \(\vec{A}\):

\(div \vec{A} = \frac{ \partial \vec{A_x} }{\partial x} + \frac{ \partial \vec{A_y} }{\partial y} + \frac{ \partial \vec{A_z} }{\partial z} = yz +2y + 3z^2 \)

Somit erhalten Sie:

\(\oint_{A} \vec{A} \cdot d \vec{f}= \bigint_{V} (yz +2y + 3z^2 ) d V = \bigint_{-1}^1 \bigint_{0}^2 \bigint_{0}^y (yz +2y + 3z^2 ) dx dy dz =\)

\(= \bigint_{-1}^1 \bigint_{0}^2 (yzx +2yx + 3z^2x ) \mid_{0}^y dy dz = \bigint_{-1}^1 \bigint_{0}^2 (y^2z +2y^2 + 3z^2y ) dy dz =\)

\( = \bigint_{-1}^1 (\frac{y^3}{3}z + 2\frac{y^3}{3} + 3z^2 \cdot \frac{y^2}{2} ) \mid_{0}^2dz = \bigint_{-1}^1 (\frac{2^3}{3}z + 2\frac{2^3}{3} + 3z^2 \cdot \frac{2^2}{2} ) dz =\)

\( = \bigint_{-1}^1 (\frac{8}{3}z + \frac{16}{3} + 6z^2 ) dz = (\frac{8}{3} \cdot \frac{z^2}{2} + \frac{16}{3}z + 6 \frac{z^3}{3} ) \mid_{-1}^1 = \)

\(= (\frac{8}{3} \cdot \frac{1}{2} + \frac{16}{3} + 6 \cdot \frac{1}{3} ) - (\frac{8}{3} \cdot \frac{1}{2} - \frac{16}{3} - 6 \cdot\frac{1}{3} ) =\)

\(= (\frac{4}{3} + \frac{16}{3} + \frac{6}{3} ) - (\frac{4}{3} - \frac{16}{3} - \frac{6}{3} ) =\)\((\frac{4}{3} + \frac{16}{3} + \frac{6}{3} - \frac{4}{3} +\frac{16}{3} +\frac{6}{3} ) = \frac{32}{3} + \frac{12}{3} = \frac{44}{3} \)

Der Satz von Gauß stellt eine Beziehung zwischen einem Oberflächen- und einem Volumsintegral her:

\(\oint_{A} \vec{A} \cdot d \vec{f}=\int_{V} \operatorname{div} \vec{A} d V\)

Um den Satz von Gauß anweden zu können, benötigen Sie also zuerst die Divergenz des Vektorfeldes \(\vec{A}\):

\(div \vec{A} = \frac{ \partial \vec{A_x} }{\partial x} + \frac{ \partial \vec{A_y} }{\partial y} + \frac{ \partial \vec{A_z} }{\partial z} = e^x +2z + 0 = e^x+2z\)

Somit:

\(\oint_{A} \vec{A} \cdot d \vec{f}=\bigint_{V} (e^x +2z) d V = \bigint_{0}^3 \bigint_{0}^1 \bigint_{0}^z (e^x+2z) dx dy dz =\)

\(=\bigint_{0}^3 \bigint_{0}^1 (e^x+2zx) \mid_{0}^z dy dz =\bigint_{0}^3 \bigint_{0}^1 (e^z+2z^2 -e^0) dy dz =\bigint_{0}^3 \bigint_{0}^1 (e^z+2z^2 -1) dy dz =\)

\(=\bigint_{0}^3 (ye^z+2z^2y -y) \mid_{0}^1 dz =\bigint_{0}^3 (e^z+2z^2 -1) dz = \)

\(= (e^z+ \frac{2z^3}{3} -z) \mid_{0}^3 = (e^3+ \frac{2\cdot 3^3}{3} -3) - (e^0) = e^3+ 18 -3 -1 = e^3 + 14\)

\(\bigint_{V} f(x,y,z) d V = \bigint_{1}^2 \bigint_{0}^1 \bigint_{0}^{\pi} (\cos(x) + 2y^3z - \frac{1}{z} ) dxdydz =\)

\( = \bigint_{1}^2 \bigint_{0}^1 (\sin(x) + 2y^3zx - \frac{x}{z} ) \mid_{0}^{\pi} dydz = \bigint_{1}^2 \bigint_{0}^1 (\sin(\pi) + 2y^3z\pi - \frac{\pi}{z} - \sin(0)) dydz =\)

\( = \bigint_{1}^2 \bigint_{0}^1 (2\pi y^3z- \frac{\pi}{z}) dydz = \bigint_{0}^1 (2\pi \frac{y^4}{4}z- \frac{\pi}{z}y) \mid_{0}^1 dz = \bigint_{1}^2 (2\pi \frac{1}{4}z- \frac{\pi}{z}) dz =\)

\(= \pi \bigint_{1}^2 (\frac{z}{2}- \frac{1}{z}) dz = \pi \big( \frac{z^2}{4}- \ln(z) \big) \mid_{1}^2 = \pi \big( \frac{2^2}{4}- \ln(2) - \frac{1^2}{4} + \ln(1)\big) =\)

\(= \pi \big(1- \ln(2) - \frac{1}{4}\big) = \pi \big(\frac{3}{4}- \ln(2) \big) \)

\(\bigint_{V} f(x,y,z) d V = \bigint_{0}^3 \bigint_{0}^{2\pi} \bigint_{0}^{1} ( 4x^2 + 2\sin(y) - e^z ) dxdydz =\)

\(= \bigint_{0}^3 \bigint_{0}^{2\pi}( \frac{4x^3}{3} + 2x\sin(y) - xe^z )\mid_{0}^{1} dydz = \bigint_{0}^3 \bigint_{0}^{2\pi}( \frac{4}{3} + 2\sin(y) - e^z ) dydz =\)

\(= \bigint_{0}^3 ( \frac{4}{3}y - 2\cos(y) - ye^z ) \mid_{0}^{2\pi} dz = \bigint_{0}^3 \Big( ( \frac{4}{3} \cdot 2\pi - 2\cos(2\pi) - 2\pi e^z) - (-2\cos(0) )\Big) dz =\)

\(= \bigint_{0}^3 \Big( \frac{4}{3} \cdot 2\pi - 2 - 2\pi e^z + 2 \Big) dz = 2\pi \bigint_{0}^3 \Big( \frac{4}{3}- e^z \Big) dz = 2\pi \Big( \frac{4}{3}z - e^z \Big) \mid_{0}^3 =\)

\( = 2\pi \Big( \frac{4}{3}\cdot 3 - e^3 - (-e^0)\Big) = 2\pi \Big( 4 - e^3 +1 \Big) = 2\pi ( 5 - e^3 ) \)

Der Satz von Gauß stellt eine Beziehung zwischen einem Oberflächen- und einem Volumsintegral her:

\(\oint_{A} \vec{A} \cdot d \vec{f}=\int_{V} \operatorname{div} \vec{A} d V\)

Um den Satz von Gauß anweden zu können, benötigen Sie also zuerst die Divergenz des Vektorfeldes \(\vec{A}\):

\(div \vec{A} = \frac{ \partial \vec{A_x} }{\partial x} + \frac{ \partial \vec{A_y} }{\partial y} + \frac{ \partial \vec{A_z} }{\partial z} = 3x^2 + 3y^2 +3z^2 = 3(x^2+y^2+z^2)\)

Somit:

\(\oint_{A} \vec{A} \cdot d \vec{f}= 3 \bigint_{V} (x^2+y^2+z^2) d V \)

Weil über eine Halbkugel integriert wird, ist es von Vorteil, in Kugelkoordinaten zu rechnen. Dafür ist zu wissen:

\(dV = dx dy dz = r^2 \sin\theta dr d\varphi d\theta \) , wobei \(\varphi \in [0, \; 2\pi) \; \text{ und } \; \theta \in [0, \; \pi).\)

Außerdem: \(r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\)

\(\oint_{A} \vec{A} \cdot d \vec{f}= 3 \bigint_{V} (x^2+y^2+z^2) d V = 3 \bigint_{0}^{\pi} \bigint_{0}^{2\pi} \bigint_{0}^R (r^2) r^2 \sin\theta dr d\varphi d\theta =\)

\(= 3 \bigint_{0}^{\pi} \bigint_{0}^{2\pi} \bigint_{0}^R r^4 \sin\theta dr d\varphi d\theta \)

Da der Integrand unabhängig von \(\varphi \) ist, kann diese Integration direkt durchgeführt werden:

\( = 3 \bigint_{0}^{\pi} \bigint_{0}^R r^4 \sin\theta \varphi \; \mid_0^{2\pi} dr d\theta = 3 \cdot 2\pi \bigint_{0}^{\pi} \bigint_{0}^R r^4 \sin\theta dr d\theta =\)\(6\pi \bigint_{0}^{\pi} \frac{r^5}{5} \; \mid_0^R \sin\theta d\theta =\)

\(= 6\pi \frac{R^5}{5} \bigint_{0}^{\pi} \sin\theta d\theta = 6\pi \frac{R^5}{5} ( -\cos\theta) \mid_{0}^{\pi} = - 6\pi \frac{R^5}{5} ( \cos\theta) \mid_{0}^{\pi} =\)

\(= - 6\pi \frac{R^5}{5} ( -1 - 1) = \frac{12\pi}{5}R^5\)

Weil über eine Halbkugel integriert wird, ist es von Vorteil, in Kugelkoordinaten zu rechnen. Dafür ist zu wissen:

\(dV = dx dy dz = r^2 \sin\theta dr d\varphi d\theta \) , wobei \(\varphi \in [0, \; 2\pi) \; \text{ und } \; \theta \in [0, \; \pi).\)

Außerdem gilt:

\(x=r \cdot \sin \theta \cdot \cos \varphi \\ y=r \cdot \sin \theta \cdot \sin \varphi \\ z=r \cdot \cos \theta \)

Somit folgt:

\(f(x,y,z) = 4x^2 + 4y^2 -4z^2\)

\(\rightarrow f(r, \varphi , \theta)= 4r^2 \sin^2\theta \cos^2 \varphi + 4r^2 \sin^2\theta \sin^2 \varphi - 4r^2\cos^2\theta = \)

\(= 4 r^2 \sin^2\theta ( \cos^2 \varphi + \sin^2 \varphi) - 4r^2\cos^2\theta =\)\(4 r^2 \sin^2\theta - 4r^2\cos^2\theta = 4r^2 (\sin^2\theta - \cos^2\theta) \)

Nun kann ein Additionstheorem verwendet werden: \(\cos 2 x=\cos ^{2} x-\sin ^{2} x\)

\(\rightarrow f(r, \varphi , \theta)= -4r^2 \cos(2\theta)\)

Also:

\(\bigint_{V} f(x,y,z) d V \) \(= \bigint_{0}^{\pi} \bigint_{0}^{2\pi} \bigint_{0}^5 (-4r^2 \cos(2\theta)) r^2 \sin\theta dr d\varphi d\theta =\)

\(= -4 \bigint_{0}^{\pi} \bigint_{0}^{2\pi} \bigint_{0}^5 r^4 \cos(2\theta) \sin\theta dr d\varphi d\theta \)

Da der Integrand unabhängig von \(\varphi \) ist, kann diese Integration direkt durchgeführt werden:

\(= -4 \bigint_{0}^{\pi} \bigint_{0}^5 r^4 \cos(2\theta) \sin(\theta) \varphi \mid_{0}^{2\pi}dr d\theta = -4 \cdot 2\pi \bigint_{0}^{\pi} \bigint_{0}^5 r^4 \cos(2\theta) \sin(\theta) dr d\theta\)

\(= -8\pi \bigint_{0}^{\pi} \frac{r^5}{5} \mid_{0}^5 \cos(2\theta) \sin(\theta) d\theta \)\(= -8\pi \frac{5^5}{5} \bigint_{0}^{\pi} \cos(2\theta) \sin(\theta) d\theta = -8\pi \cdot 625 \bigint_{0}^{\pi} \cos(2\theta) \sin(\theta) d\theta \)

Um das Integral zu lösen, kann beispielweise in einer Integraltafel nachgeschlagen werden (oder Mathematiksoftware–Integralrechner):

Aus der Tabelle: \(\bigint \cos(2\theta) \sin(\theta) d\theta = \frac{1}{6} \big( 3\cos\theta - \cos(3\theta) \big) + konst.\)

\(\rightarrow \bigint_0^{\pi} \cos(2\theta) \sin(\theta) d\theta = \frac{1}{6} \big( 3\cos\theta - \cos(3\theta) \big)\mid_0^{\pi} = \)

\(=\frac{1}{6} \big( 3\cos\pi - \cos(3\pi) \big) - \frac{1}{6} \big( 3\cdot\cos(0) - \cos(0) \big) =\)

\(=\frac{1}{6} \big( 3\cdot (-1) - (-1) \big) - \frac{1}{6} \big( 3\cdot1- 1\big) =\frac{1}{6} \big( -3 +1 \big) - \frac{1}{6} \cdot 2 =-\frac{2}{6} - \frac{2}{6} = - \frac{4}{6} = - \frac{2}{3}\)

Als Endergebnis erhalten wir schließlich:

\(\bigint_{V} f(x,y,z) d V = -8\pi \cdot 625 \bigint_{0}^{\pi} \cos(2\theta) \sin(\theta) d\theta = -8\pi \cdot 625 \cdot (-\frac{2}{3}) = \frac{10 000}{3} \pi\)

Dieses Beispiel wird am besten direkt in Kugelkoordinaten gelöst. Es gilt:

\(dV = dx dy dz = r^2 \sin\theta dr d\varphi d\theta \)

\(\bigint_{V} f(x,y,z) d V \)\(= \bigint_{0}^{\frac{\pi}{2}} \bigint_{0}^{\frac{\pi}{2}} \bigint_{0}^3 ( r + r\sin(\theta)) r^2 \sin\theta dr d\varphi d\theta =\)

\(= \bigint_{0}^{\frac{\pi}{2}} \bigint_{0}^{\frac{\pi}{2}} \bigint_{0}^3 r^3 \sin\theta dr d\varphi d\theta + \)\( \bigint_{0}^{\frac{\pi}{2}} \bigint_{0}^{\frac{\pi}{2}} \bigint_{0}^3 r^3\sin^2(\theta)dr d\varphi d\theta \)

Beide Integranden sind unabhängig von \(\varphi\). Diese Integration kann also in beiden Fällen direkt durchgeführt werden:

\(= \bigint_{0}^{\frac{\pi}{2}} \bigint_{0}^3 r^3 \sin\theta \varphi \mid_{0}^{\frac{\pi}{2}} dr d\theta + \)\( \bigint_{0}^{\frac{\pi}{2}} \bigint_{0}^3 r^3\sin^2(\theta) \varphi \mid_{0}^{\frac{\pi}{2}} dr d\theta =\)

\(= \frac{\pi}{2} \bigint_{0}^{\frac{\pi}{2}} \bigint_{0}^3 r^3 \sin\theta dr d\theta + \)\(\frac{\pi}{2} \bigint_{0}^{\frac{\pi}{2}} \bigint_{0}^3 r^3\sin^2(\theta) dr d\theta =\)

\(= \frac{\pi}{2} \bigint_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{ r^4}{4} \mid_{0}^3 \sin\theta d\theta + \)\(\frac{\pi}{2} \bigint_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{r^4}{4} \mid_{0}^3 \sin^2(\theta) d\theta =\)

\(= \frac{\pi}{2}\cdot \frac{3^4}{4} \bigint_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin\theta d\theta + \)\(\frac{\pi}{2} \cdot \frac{3^4}{4} \bigint_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2(\theta) d\theta =\)

\(= \frac{81\pi}{8} (-\cos\theta ) \mid_{0}^{\frac{\pi}{2}} + \frac{81\pi}{8} \bigint_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2(\theta) d\theta =\)

\(= \frac{81\pi}{8} \Big(-\cos( \frac{\pi}{2}) - \big(-\cos(0) \big) \Big) + \frac{81\pi}{8} \bigint_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2(\theta) d\theta =\)

\(= \frac{81\pi}{8} \Big(0 +1 \Big) + \frac{81\pi}{8} \bigint_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2(\theta) d\theta =\)

\(= \frac{81\pi}{8} + \frac{81\pi}{8} \bigint_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2(\theta) d\theta \)

Um das Integral zu lösen, kann beispielweise eine Integraltafel verwendet werden:

\(\bigint \sin^2(\theta) d\theta = \frac{1}{2} \big( \theta - \sin \theta \cos\theta \big) + konst.\)

Daher:

\(\bigint_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2(\theta) d\theta = \frac{1}{2} \big( \frac{\pi}{2} - \sin \frac{\pi}{2} \cos\frac{\pi}{2} \big) - \frac{1}{2} \big( 0 - \sin( 0) \cos(0) \big) = \)\( \frac{\pi}{4}\)

Das Endergebnis lautet somit:

\(\bigint_{V} f(x,y,z) d V = \frac{81\pi}{8} + \frac{81\pi}{4} \bigint_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2(\theta) d\theta =\)

\(= \frac{81\pi}{8} + \frac{81\pi}{8} \cdot \frac{\pi}{4} = \frac{81\pi}{8} + \frac{81\pi^2}{32} = \frac{81\pi}{8} \Big( 1+ \frac{\pi}{4} \Big)\)

\(\bigint_{V} f(x,y,z) d V = \bigint_{0}^{\pi} \bigint_{0}^2 \bigint_{0}^{1} ( 4e^x + \sqrt{y} - \cos(z)) dxdydz =\)

\(= \bigint_{0}^{\pi} \bigint_{0}^2 ( 4e^x + x\sqrt{y} - \cos(z)x)\mid_{x=0}^1 dydz =\)\(= \bigint_{0}^{\pi} \bigint_{0}^2 ( 4e + \sqrt{y} - \cos(z) - 4e^0) dydz = \bigint_{0}^{\pi} \bigint_{0}^2 ( 4e + \sqrt{y} - \cos(z) -4) dydz =\)

\(= \bigint_{0}^{\pi} ( 4ey + \frac{2}{3}y^{ \frac{3}{2} } - \cos(z)y -4y) \mid_{y=0}^2 dz =\)

\(= \bigint_{0}^{\pi} ( 4e \cdot2 + \frac{2}{3}\cdot2^{ \frac{3}{2} } - \cos(z)\cdot2 - 4\cdot 2) dz =\)

\(= \bigint_{0}^{\pi} ( 8e + \frac{2}{3}\cdot 2 \cdot \sqrt{2} - 2\cos(z)-8) dz =\)

\(= ( 8e z + \frac{4}{3}\cdot \sqrt{2} \; z - 2\sin(z)-8z) \mid_{0}^{\pi}=\)

\(= \Big( 8\pi e + \frac{4}{3}\cdot \sqrt{2} \cdot \pi - 2\sin(\pi)-8\pi \Big) - \big(-2\sin(0)\Big) =\)

\(= \Big( 8\pi e + \frac{4}{3}\cdot \sqrt{2} \cdot \pi - 8\pi \Big) = \frac{4}{3}\cdot \pi \big( 6e + \sqrt{2} - 6 \big) \)

\(\bigint_{V} f(x,y,z) d V = \bigint_{-1}^{1} \bigint_{0}^1 \bigint_{0}^{y} (4xy + 3z^2) dxdydz =\)\( \bigint_{-1}^{1} \bigint_{0}^1 (\frac{4yx^2}{2} + 3z^2x) \mid_{x=0}^ydydz =\)

\(= \bigint_{-1}^{1} \bigint_{0}^1 (\frac{4y^3}{2} + 3z^2y) dydz = \bigint_{-1}^{1} (\frac{4y^4}{2 \cdot 4} + \frac{3z^2y^2}{2}) \mid_{y=0}^1dz =\)\( \bigint_{-1}^{1} (\frac{4}{8} + \frac{3z^2}{2}) dz =\)

\(= (\frac{4}{8}z + \frac{3z^3}{2 \cdot 3}) \mid_{-1}^{1} = (\frac{1}{2} + \frac{1}{2}) - (-\frac{1}{2} - \frac{1}{2}) = 1 - (-1) = 2\)

Das Volumen eines Drehkörpers, der entsteht wenn eine Funktion um die x-Achse rotiert, kann mit folgender Formel berechnet werden:

\(V = \pi \Bigint_{x_1}^{x_2} f(x)^2 dx\)

Somit:

\(V = \pi \bigint_{8}^{27} \Big( \frac{1}{\sqrt[3]{x}} \Big)^2 dx = \pi \bigint_{8}^{27} \Big( x^{-1/3} \Big)^2 dx = \)\(\pi \bigint_{8}^{27} x^{-2/3} dx = \pi \frac{3}{1} x^{\frac{1}{3} } \; \mid_{8}^{27} = 3\pi (27^{\frac{1}{3}} - 8^{\frac{1}{3} }) = 3\pi (3- 2) = 3 \pi\)

Das Volumen eines Drehkörpers, der entsteht wenn eine Funktion um die x-Achse rotiert wird, kann mit folgendes Formel berechnet werden:

\(V = \pi \Bigint_{x_1}^{x_2} f(x)^2 dx\)

Somit:

\(V = \pi \bigint_{0}^{9} \Big( 2x \cdot \sqrt{9-x} \Big)^2 dx = \pi \bigint_{0}^{9} \Big(4x^2 \cdot(9-x) \Big) dx = \pi \bigint_{0}^{9} \Big(36x^2 -4x^3 \Big) dx = \)

\(= \pi \Big(\frac{36x^3}{3} -\frac{4x^4}{4} \Big) \mid_{0}^{9} = \pi \Big(12\cdot 9^3 -9^4 \Big) \ = 2187 \pi\)

Das Volumen eines Drehkörpers, das entsteht wenn eine Funktion um die x-Achse rotiert, kann mit folgender Formel berechnet werden:

\(V = \pi \Bigint_{x_1}^{x_2} f(x)^2 dx\)

Somit:

\(V = \pi \bigint_{0}^{\pi} \Big( 3 \cdot \sin(x) \Big)^2 dx = \pi \bigint_{0}^{\pi} 9\cdot \sin^2(x) dx = 9\pi \bigint_{0}^{\pi}\sin^2(x) dx \)

Das Integral kann z.B. mit partieller Integration berechnet werden (oder aber in einer Integraltafel nachgeschlagen werden):

\( \bigint \sin^2(x) dx = \frac{1}{2} \big( x -\sin x \cos x \big)+C, \quad mit\quad C\in \mathbb{R}\)

Daher:

\(9\pi \bigint_{0}^{\pi}\sin^2(x) dx = 9\pi \cdot \frac{1}{2} \big( x -\sin x \cos x \big) \, \mid_0^\pi = \)

\(= 9\pi \cdot \frac{1}{2} \big[\big( \pi -\sin (\pi) \cos (\pi) \big) - \big( 0 -\sin (0) \cos (0) \big)\big] = \frac{9\pi^2}{2} \)

Das Volumen eines Drehkörpers, der entsteht wenn eine Funktion um die x-Achse rotiert wird, kann mit folgendes Formel berechnet werden:

\(V = \pi \Bigint_{x_1}^{x_2} f(x)^2 dx\)

Somit:

\(V = \pi \bigint_{1}^{2} \Big( 4 \ln(x)\Big)^2 dx = \pi \bigint_{1}^{2} 16 (\ln(x))^2 dx = 16\pi \bigint_{1}^{2} (\ln(x))^2 dx \)

Das Integral kann mittels partieller Integration gelöst werden:

\(\bigint f^\prime(x) \cdot g(x) dx = f(x) \cdot g(x) - \bigint f(x) \cdot g^\prime(x) dx\)

Nun wählt man:

\(f^\prime(x) =1 \rightarrow f(x) = x \\ g(x) = (\ln(x))^2 \rightarrow g^\prime(x) = 2 \cdot \frac{1}{x} \ln(x) = \frac{2}{x} \ln(x)\)

\(\bigint (\ln(x))^2 dx = x \cdot (\ln x)^2 - \bigint x \cdot \frac{2}{x}\ln(x) dx = x \cdot (\ln x)^2 - 2\bigint \ln(x) dx = \)

\(=x \cdot (\ln x)^2 - 2x ( \ln x -1) = x [ (\ln x)^2 - 2 \ln x + 2) ]\)

Somit erhalten Sie:

\(V = 16\pi \bigint_{1}^{2} (\ln(x))^2 dx = 16\pi \cdot x [ (\ln x)^2 - 2 \ln x + 2) ]_1^2 = \)

\(= 16\pi \Big[ 2(\ln 2)^2 - 4 \ln 2 + 4 - 1 \Big] = 16\pi \Big[ 2(\ln 2)^2 - 4 \ln 2 + 3 \Big] \approx 59.73\)

Das Volumen eines Drehkörpers, der entsteht wenn eine Funktion um die x-Achse rotiert wird, kann mit folgendes Formel berechnet werden:

\(V = \pi \Bigint_{x_1}^{x_2} f(x)^2 dx\)

Somit:

\(V = \pi \bigint_{0}^{4b} \Big( b \cdot x^2 \Big)^2 dx = \pi \bigint_{0}^{4b} b^2 \cdot x^4 dx = b^2 \pi \bigint_{0}^{4b} x^4 dx = b^2 \pi \frac{x^5}{5} \; \mid_{0}^{4b} = \)

\(=b^2 \pi \frac{(4b)^5}{5} = \frac{1024}{5} \pi b^7\)

Das Volumen eines Drehkörpers, der entsteht wenn eine Funktion um die x-Achse rotiert wird, kann mit folgender Formel berechnet werden:

\(V = \pi \Bigint_{x_1}^{x_2} f(x)^2 dx\)

Somit:

\(V = \pi \bigint_{0}^{1} \Big(e^{2x} - 4 \Big)^2 dx = \pi \bigint_{0}^{1} \big( (e^{2x})^2 -8e^{2x} +16 \big)dx = \pi \bigint_{0}^{1} \big( e^{4x} -8e^{2x} +16 \big)dx =\)

\(= \pi \big(\frac{1}{4} e^{4x} - \frac{8}{2}e^{2x} +16x \big)_{0}^{1} = \pi \big[ \big(\frac{1}{4} e^{4} - \frac{8}{2}e^{2} +16 \big) - \big(\frac{1}{4} e^{0} - \frac{8}{2}e^{0} \big) \big] = \)\(\pi \big[ \big(\frac{1}{4} e^{4} - \frac{8}{2}e^{2} +16 \big) - \big(\frac{1}{4} - 4 \big) \big] =\)

\(= \pi \big[ \frac{1}{4} e^{4} - 4e^{2} + \frac{79}{4} \big] = \frac{ \pi }{4} \big[ e^{4} - 16e^{2} + 79 \big] \)