Taylorpolynom n-ten Grades:

\(T_{a,n}(x)=f(a)+f'(a)\frac{(x-a)}{1!}+f''(a)\frac{(x-a)^2}{2!}+...+f^n(a)\frac{(x-a)^n}{n!}\)

Daraus folgt mit n=2 und a=0

\(T_{0,2}(x)=f(0)+f'(0)\frac{(x-0)}{1!}+f''(0)\frac{(x-0)^2}{2!} = 1+2x+4\cdot \frac{x^2}{2}=1+2x+2x^2\)
 

\(f(0)= e^{2x}=1 \\f'(0)=2e^{2x}=2 \\f''(0)=4e^{2x}=4\)

Taylorpolynom n-ten Grades:

\(T_{a,n}(x)=f(a)+f'(a)\frac{(x-a)}{1!}+f''(a)\frac{(x-a)^2}{2!}+...+f^n(a)\frac{(x-a)^n}{n!}\)

Daraus folgt mit n=2 und a=0

\(T_{0,2}(x)=f{(0)}+f'(0)\frac{(x-0)}{1!}+f''{(0)}\frac{(x-0)^2}{2!} = 0+0+0=0\)
 

\(f{(0)}= ln(1+x^3)=0 \\f'{(0)}=\frac{1}{1+x^3}\cdot 3x^2=0 \\ \\f''{(0)}=\frac{6x-3x^4}{(1+x^3)^2}=0\)

Taylorpolynom n-ten Grades:

\(T_{a,n}(x)=f{(a)}+f'(a)\frac{(x-a)}{1!}+f''{(a)}\frac{(x-a)^2}{2!}+...+f^n{(a)}\frac{(x-a)^n}{n!}\)

Daraus folgt mit n=3 und a=0

\(T_{0,3}(x)=f{(0)}+f'(0)\frac{(x-0)}{1!}+f''{(0)}\frac{(x-0)^2}{2!}+f'''{(0)}\frac{(x-0)^3}{3!}= 1+\frac{1}{2}\cdot x+(-\frac{1}{4})\cdot \frac{x^2}{2}+\frac{3}{8}\cdot \frac{x^3}{6}= \)
 

\(1+\frac{x}{2}-\frac{x^2}{8}+\frac{x^3}{16}\)

\(f{(0)}= \sqrt{1+x}=(1+x)^{\frac{1}{2}}=1 \\f'{(0)}=\frac{1}{2}\cdot (1+x)^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2} \\f''{(0)}=-\frac{1}{4}\cdot (1+x)^{-\frac{3}{2}}=-\frac{1}{4} \)

\(\\f'''_{(0)}=\frac{3}{8}\cdot (1+x)^{-\frac{5}{2}}=\frac{3}{8}\)

Taylorpolynom n-ten Grades:

\(T_{a,n}(x)=f_{(a)}+f'_{(a)}\frac{(x-a)}{1!}+f''_{(a)}\frac{(x-a)^2}{2!}+...+f^n_{(a)}\frac{(x-a)^n}{n!}\)

daraus folgt:

a=\(\pi\)

n=2

\(T_{\pi,2}(x)=f_{(\pi)}+f'_{(\pi)}\frac{(x-\pi)}{1!}+f''_{(\pi)}\frac{(x-\pi)^2}{2!}=0+2(x-\pi)+0=2x-2\pi\)

\(f{(\pi)}:sin(2x)=sin(2\pi)=0 \\f'{(\pi)}:2cos(2x)=2cos(2\pi)=2 \\f''{(\pi)}:-4sin(2x)=-4sin(2\pi)=0\)

Taylorpolynom n-ten Grades:

\(T_{a,n}(x)=f{(a)}+f'{(a)}\frac{(x-a)}{1!}+f''{(a)}\frac{(x-a)^2}{2!}+...+f^n{(a)}\frac{(x-a)^n}{n!}\)

daraus folgt:

a=2

n=1

\(T_{2,1}(x)=f{(2)}+f'{(2)}\frac{(x-2)}{1!}=1+(-2)\frac{x-2}{1}=1-(2x-4)=5-2x\)

\(f{(2)}:\frac{1}{(x-1)^2}=1 \\f'{(2)}:-\frac{2}{(x-1)^3}=-2 \)

Taylorpolynom n-ten Grades:

\(T_{a,n}(x)=f{(a)}+f'{(a)}\frac{(x-a)}{1!}+f''{(a)}\frac{(x-a)^2}{2!}+...+f^n{(a)}\frac{(x-a)^n}{n!}\)

daraus folgt:

a=1

n=1

\(T_{1,1}(x)=f{(1)}+f'{(1)}\frac{(x-1)}{1!}=e^3+3e^3(x-1)=e^3(3x-2)\)

\(f{(1)}=e^{3x}=e^3 \\f'{(1)}=3e^{3x}=3e^3 \)

Formel für Taylorpolynome n-ten Grades:

\(T_{a,n}=f(a)+f'(a)\cdot \frac{(x-a)}{1!}+f''(a)\cdot \frac{(x-a)^2}{2!}+...+f^n(a)\cdot \frac{(x-a)^n}{n!}\)

a=0, n=2

daraus folgt:

\(T_{0,2}=f(a)+f'(a)\cdot \frac{(x-a)}{1!}+f''(a)\cdot \frac{(x-a)^2}{2!}=\)

\(=f(0)+f'(0)\cdot \frac{(x-0)}{1!}+f''(0)\cdot \frac{(x-0)^2}{2!}=0+0+2\frac{x^2}{2}=x^2\)

Schätzwert bestimmen:

\(T_{0,2}(x)=T_{0,2}(0,9)=0,9^2=0,81\)

\(f(0)=ln(1+x^2)=0\)

\(f'(0)=)=\frac{2x}{x^2+1}=0\)

\(f''(0)=)=-\frac{2(x^2-1)}{(x^2+1)^2}=2\)

Formel für Taylorpolynome n-ten Grades:

\(T_{a,n}=f(a)+f'(a)\cdot \frac{(x-a)}{1!}+f''(a)\cdot \frac{(x-a)^2}{2!}+...+f^n(a)\cdot \frac{(x-a)^n}{n!}\)

a=\(\pi\), n=2

daraus folgt:

\(T_{\pi,2}=f(a)+f'(a)\cdot \frac{(x-a)}{1!}+f''(a)\cdot \frac{(x-a)^2}{2!}=\)

\(=f(\pi)+f'(\pi)\cdot \frac{(x-\pi)}{1!}+f''(\pi)\cdot \frac{(x-\pi)^2}{2!}=1+0-4 \cdot \frac{(x-\pi)^2}{2}=1-2x^2+4\pi x-2\pi^2\)

Schätzwert bestimmen:

\(T_{\pi,2}(x)=T_{\pi,2}(4)=1-2\cdot 4^2+4 \cdot 4 \pi -2 \pi^2=-31+16 \pi - 2\pi^2\)

\(f(\pi)=cos(2x)=cos(2\pi)=1\)

\(f'(\pi)=-2sin(2x)=-2sin(2\pi)=0\)

\(f''(\pi)=-4cos(2x)=-4cos(2\pi)=-4\)

Formel für Taylorpolynome n-ten Grades:

\(T_{a,n}=f(a)+f'(a)\cdot \frac{(x-a)}{1!}+f''(a)\cdot \frac{(x-a)^2}{2!}+...+f^n(a)\cdot \frac{(x-a)^n}{n!}\)

a=0, n=3

daraus folgt:

\(T_{0,3}=f(a)+f'(a)\cdot \frac{(x-a)}{1!}+f''(a)\cdot \frac{(x-a)^2}{2!}+f'''(a)\cdot \frac{(x-a)^3}{3!}=\)

\(=f(0)+f'(0)\cdot \frac{(x-0)}{1!}+f''(0)\cdot \frac{(x-0)^2}{2!}+f'''(0)\cdot \frac{(x-0)^3}{3!} =1+2 \cdot \frac{x}{1}+4 \cdot \frac{x^2}{2}+8 \cdot \frac{x^3}{6} =1+2x+2x^2+\frac{4x^3}{3} \)

Schätzwert bestimmen:

\(T_{0,3}(x)=T_{0,3}(2)=1+2 \cdot 2 + 2 \cdot 2^2 + 4 \cdot \frac{2^3}{3} =\frac{71}{3}\)

\(f(0)=e^{2x}=e^0=1\)

\(f'(0)=2 \cdot e^{2x}=2 \cdot e^0=2\)

\(f''(0)=4 \cdot e^{2x}=4 \cdot e^0=4\)

\(f'''(0)=8 \cdot e^{2x}=8 \cdot e^0=8\)

Zuerst bestimmt man die Ableitungen der Funktion. Dafür kann man die Funktion in folgender Form anschreiben:

\(f(x) = (1-x)^{-1}\)

Dann erhält man durch Ableiten:

\(f^{\prime} (x) = (-1) \cdot (1-x)^{-2} \cdot (-1) = (1-x)^{-2} \\ f^{\prime \prime} (x) = (-2) \cdot (1-x)^{-3} \cdot (-1) = 2(1-x)^{-3} \\ \)

\(f^{\prime \prime \prime} (x) = (-3) \cdot 2(1-x)^{-4} \cdot (-1) = 3 \cdot 2 (1-x)^{-4} \\ \)

\(f^{\prime \prime \prime \prime} (x) = (-4) \cdot 3 \cdot 2(1-x)^{-5} \cdot (-1) = 4 \cdot 3 \cdot 2 (1-x)^{-5} = 4! (1-x)^{-5} \)

Somit kann man nun einen allgemeinen Ausdruck für die n-te Ableitung der Funktion anschreiben:

\(f^{(n)}(x) = n! (1-x)^{-(n+1)} = \frac{n!}{(1-x)^{n+1}}\)

Nun können die Funktion sowie Ableitungen an der Stelle x=0 ausgewertet werden und man erhält:

\(f(0) = 1 \\ f^{\prime} (0) = 1 \\ f^{\prime \prime} (0) = 2 \\ f^{\prime \prime \prime} (0) = 3! \\ f^{\prime \prime \prime \prime} (0) = 4! \\ f^{(n)} (0) = n! \)

Nun kann man in die Formel für die Taylorreihe einsetzen:

\(f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n = 1 + x + \frac{2x^2}{2!} + \frac{3! x^3}{3!} + \frac{4!x^4}{4!} + ... = \\ = 1+ x + x^2 + x^3 + x^4 + .... = \\ = \sum_{n=0}^{\infty} x^n\)

\(f^\prime (x) = -\sin x \; \Rightarrow f^\prime (0) = 0 \\ f^{\prime \prime} (x) = -\cos x \; \Rightarrow f^{\prime \prime} (0) = -1 \\ \)

\(f^{\prime \prime \prime} (x) = \sin x \; \Rightarrow f^{\prime \prime \prime} (0) = 0 \\ f^{\prime \prime \prime \prime}(x) = \cos x \; \Rightarrow f^{\prime \prime \prime \prime} (0) = 1 \\\)

\(\Rightarrow f(x) = f(x_0) + f^\prime(x_0)(x-x_0)+ \frac{1}{2!}f^{\prime \prime}(x_0)(x-x_0)^2+ \frac{1}{3!}f^{\prime \prime \prime}(x_0)(x-x_0)^3 + ....\)

\(f(x)= 1 + 0 -\frac{1}{2}x^2 + 0 + \frac{1}{4!}x^4 + 0 - ....\)

Man erkennt, dass die Terme mit ungeraden Potenzen immer wegfallen und die Terme mit geraden Potenzen alternierden Vorzeichen aufweisen:

\(f(x)= 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} +\frac{x^8}{8!} \pm ....\)

\(f^\prime (x) = \cos x \; \Rightarrow f^\prime (\pi) = -1 \\ f^{\prime \prime} (x) = -\sin x \; \Rightarrow f^{\prime \prime} (\pi) = 0 \\ \)

\(f^{\prime \prime \prime} (x) = -\cos x \; \Rightarrow f^{\prime \prime \prime} (\pi) = 1 \\ f^{\prime \prime \prime \prime}(x) = -\sin x \; \Rightarrow f^{\prime \prime \prime \prime} (\pi) = 0 \\\)

\(\Rightarrow f(x) = f(x_0) + f^\prime(x_0)(x-x_0)+ \frac{1}{2!}f^{\prime \prime}(x_0)(x-x_0)^2+ \frac{1}{3!}f^{\prime \prime \prime}(x_0)(x-x_0)^3 + ....\)

\(f(x)= 0 - (x-\pi) + 0 + \frac{1}{3!}(x-\pi)^3 + 0 - \frac{1}{5!}(x-\pi)^5 + 0 - ....\)

Man erkennt, dass die Terme mit geraden Potenzen immer wegfallen und die Terme mit ungeraden Potenzen alternierden Vorzeichen aufweisen:

\(f(x)= - (x-\pi) + \frac{1}{3!}(x-\pi)^3 - \frac{1}{5!} (x-\pi)^5 +\frac{1}{7!}(x-\pi)^7 \pm ....\)