y und z als Konstanten behandeln

\(f(x,y)=\frac{\sqrt{e^x+y}}{3}\)

\(\frac{\part f}{\part x}= \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}(e^x+y)^{-\frac{1}{2}} \cdot e^x= \frac{e^x}{6\sqrt{e^x+y}}\)

\(\frac{\part f}{\part y}=\frac13 \cdot \frac12 (e^x+y)^{-\frac12} \cdot 1 =\frac{1}{6\sqrt{e^x+y}}\)

Innere Ableitung mal äußere Ableitung

x und y als Konstanten behandeln

\(f(x,y)=3x^2-2xy\)

Partielle Ableitungen:

\(\frac{\part f}{\part x}= 6x-2y\)

\(\frac{\part f}{\part y}= -2x\)

\(\nabla f= \begin{pmatrix}6x-2y \\ -2x \end{pmatrix}\)

\(\nabla f (1,2) = \begin{pmatrix}2 \\ -2 \end{pmatrix}\)

\(f(x,y,z)=x^2y+3z\)

Partielle Ableitungen:

\(\frac{\part f}{\part x}= 2xy\)

\(\frac{\part f}{\part y}= x^2\)

\(\frac{\part f}{\part z}= 3\)

\(\nabla f= \begin{pmatrix}2xy \\ x^2 \\ 3 \end{pmatrix}\)

\(\nabla f (1,3,9) = \begin{pmatrix}6 \\ 1\\ 3 \end{pmatrix}\)

Der Gradient ist gegeben durch:

\(\nabla f = \left( \begin{array}{c} \frac{\partial f}{\partial x} \\\ \frac{\partial f}{\partial y} \\\ \end{array}\right) = \left( \begin{array}{c} 2x \\\ 2y \\\ \end{array}\right)\)

\(div \vec{A} = \nabla \cdot \vec{A} = \frac{\partial A_x}{\partial x} + \frac{\partial A_y}{\partial y} + \frac{\partial A_z}{\partial z} = \\ \)

\(= \frac{\partial y^2x}{\partial x} + \frac{\partial xyz}{\partial y} + \frac{\partial (x^2+z^2)}{\partial z}\)

\(= y^2 + xz + 2z\)

\(\nabla f(x, y, z) = \left( \begin{array}{c} \frac{\partial f}{\partial x} \\\ \frac{\partial f}{\partial y} \\\ \frac{\partial f}{\partial z} \end{array}\right) \)

\(\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{1}{2} (x^2 + y^2 + z^2)^{-\frac{1}{2} } \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}} \\ \)

\(\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}} \\ \frac{\partial f}{\partial z} = \frac{z}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}}\)

Also erhält man für den Gradienten von f:

\(\nabla f(x, y, z) = \frac{1 }{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}}\left( \begin{array}{c} x \\\ y \\\ z \end{array}\right) \)

\(V(\vec{x})=\left(\begin{array}{c} {x+\sin x} \\ {e^{x}} \\ {\ln x} \end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{l} {x} \\ {y} \\ {z} \end{array}\right) = \\ = x^2 + x\cdot \sin x + ye^x + z\ln x\)

\(\nabla V(x, y, z) = \left( \begin{array}{c} { \frac{\partial V}{\partial x} }\\ { \frac{\partial V}{\partial y} } \\ { \frac{\partial V}{\partial z} } \end{array}\right) \)

\(\frac{\partial V}{\partial x} = 2x +x \cdot \cos x + \sin x + ye^x + z \frac{1}{x}\)

\(\frac{\partial V}{\partial y} = e^x\)

\(\frac{\partial V}{\partial z} = \ln x\)

\(\nabla V(\vec{x})=\left(\begin{array}{c} {2x +x \cdot \cos x + \sin x + ye^x + z \frac{1}{x}} \\ {e^{x}} \\ {\ln x} \end{array}\right)\)

\(div (\vec{r}) = \nabla \cdot \left(\begin{array}{c} {x} \\ {y} \\ {z} \end{array}\right) = \)

\(= \frac{ \partial \vec{r_x} }{ \partial x} + \frac{ \partial \vec{r_y} }{ \partial y} + \frac{ \partial \vec{r_z} }{ \partial z} = \\ = 1 + 1 + 1 = 3\)

\(f(x,y,z) = x^3y +2z\cos x -y^2 \ln x\)

\(\frac{ \partial f}{\partial x} = 3x^2y -2z \sin x -y^2\frac{1}{x} \)

\(\frac{ \partial f}{\partial y} = x^3 -2y \ln x \\ \frac{ \partial f}{\partial z} = 2\cos x \)

\(f(x,y) = -y^2 \ln (3x) - x^3e^{2y} +2y\cos (x^2) \)

\(\frac{ \partial f}{\partial x} = -y^2 \frac{1}{x} -3x^2e^{2y} -2y \sin (x^2)2x = \\ = \frac{-y^2}{x} -3x^2e^{2y} -4xy \sin (x^2)\)

\(\frac{ \partial f}{\partial y} = -2y \ln (3x) -2x^3e^{2y}+2\cos (x^2)\)

\(\vec{\nabla} \times \vec{F} = \Bigg( \array { {\partial_x} \\ {\partial_y} \\ {\partial_z} } \Bigg) \times \Big( \array { {x} \\ {y} \\ {z} } \Big) \)\(= \Bigg( \array { { \partial_y ( z) - \partial_z(y) } \\ { \partial_z(x) - \partial_x(z) } \\ { \partial_x(y) - \partial_y(x) } } \Bigg) = \Big( \array { { 0} \\ {0} \\ {0}} \Big) \)

\(\vec{\nabla} \times \vec{F} = \Bigg( \array { {\partial_x} \\ {\partial_y} \\ {\partial_z} } \Bigg) \times \Bigg( \array { {2x-y} \\ {y+z^2} \\ {3} } \Bigg) \)\(= \Bigg( \array { { \partial_y ( 3) - \partial_z(y+z^2) } \\ { \partial_z(2x-y) - \partial_x(3) } \\ { \partial_x(y+z^2) - \partial_y(2x-y) } } \Bigg) \)\( = \Big( \array { { -2z} \\ {0} \\ {1}} \Big)\)

\(\vec{\nabla} \times \vec{F} = \Bigg( \array { {\partial_x} \\ {\partial_y} \\ {\partial_z} } \Bigg) \times \Bigg( \array { {xyz} \\ {x^2-z} \\ {\cos (x)} } \Bigg)\)\(= \Bigg( \array { { \partial_y ( \cos (x)) - \partial_z(x^2-z) } \\ { \partial_z(xyz) - \partial_x(\cos (x)) } \\ { \partial_x(x^2-z) - \partial_y(xyz) } } \Bigg) = \)

\(= \Bigg( \array { {0 - (-1) } \\ { xy - (-\sin (x)) } \\ { 2x - xz } } \Bigg) = \Bigg( \array { {1 } \\ { xy+\sin (x)) } \\ { x(2 - z) } } \Bigg)\)

\(\vec{\nabla} \times \vec{F} = \Bigg( \array { {\partial_x} \\ {\partial_y} \\ {\partial_z} } \Bigg) \times \Bigg( \array { {3y} \\ {5z} \\ {-x} } \Bigg) \)\(= \Bigg( \array { { \partial_y ( -x) - \partial_z(5z) } \\ { \partial_z(3y) - \partial_x(-x) } \\ { \partial_x(5z) - \partial_y(3y) } } \Bigg) = \Big( \array { { -5} \\ {1} \\ {-3}} \Big) \)

\( \vec{\nabla} \times \vec{F} = \Bigg( \array { {\partial_x} \\ {\partial_y} \\ {\partial_z} } \Bigg) \times \Bigg( \array { {e^y} \\ {\ln x} \\ {-2xz} } \Bigg)\)\(= \Bigg( \array { { \partial_y ( -2xz) - \partial_z(\ln x) } \\ { \partial_z(e^y) - \partial_x(-2xz) } \\ { \partial_x(\ln x) - \partial_y(e^y) } } \Bigg) \)\(= \Bigg( \array { { 0} \\ {2z} \\ {\frac{1}{x} - e^y}} \Bigg)\)

\(\frac{ \partial f}{ \partial x} = -4ye^{-2x} - \frac{1}{x} +4\cos(z)\)

\(\frac{ \partial f}{ \partial x} = \ln y \cdot \cos x +4ye^{-x}\)

\(\frac{ \partial f}{ \partial y} = \frac{1}{y} \sin x -4e^{-x}\)

\(d f = \frac{ \partial f}{\partial x} dx + \frac{ \partial f}{\partial y} dy = \)\( \frac{ \partial (3x^2y-4xy^3)}{\partial x} dx + \frac{ \partial (3x^2y-4xy^3)}{\partial y} dy = \)

\(= (6xy-4y^3)dx +(3x^2-12xy^2)dy\)

\(d f = \frac{ \partial f}{\partial x} dx + \frac{ \partial f}{\partial y} dy + \frac{ \partial f}{\partial z} dz = \)\( \frac{ \partial ( 2y\cos x - \frac{2z}{3}e^y)}{\partial x} dx + \frac{ \partial ( 2y\cos x - \frac{2z}{3}e^y)}{\partial y} dy + \frac{ \partial ( 2y\cos x - \frac{2z}{3}e^y)}{\partial z} dz= \)

\(= -2y\sin xdx + (2\cos x-\frac{2z}{3}e^y)dy -\frac{2}{3}e^ydz\)

\(d f = \frac{ \partial f}{\partial r} dr + \frac{ \partial f}{\partial \varphi} d\varphi = \)\(\frac{ \partial ( r^2 (\cos \varphi + \sin \varphi) )}{\partial r} dr + \frac{ \partial ( r^2 (\cos \varphi + \sin \varphi))}{\partial \varphi} d\varphi = \)

\(=2r (\cos \varphi + \sin \varphi)dr + r^2(\cos \varphi - \sin \varphi) d\varphi\)

\(d f = \frac{ \partial f}{\partial r} dr + \frac{ \partial f}{\partial \varphi} d\varphi = \)\(\frac{ \partial (\frac{1}{r} \sqrt{\cos \varphi -2\sin \varphi} )}{\partial r} dr + \frac{ \partial ( \frac{1}{r} \sqrt{\cos \varphi -2\sin \varphi})}{\partial \varphi} d\varphi = \)

\(= -\frac{1}{r^2}\sqrt{\cos \varphi -2\sin \varphi} \; dr + \frac{1}{r} \cdot \frac{(-\sin \varphi -2\cos \varphi ) }{2 \sqrt{\cos \varphi -2\sin \varphi}} d\varphi =\)

\(= -\frac{1}{r^2}\sqrt{\cos \varphi -2\sin \varphi} \; dr - \frac{\sin \varphi +2\cos \varphi }{2r \sqrt{\cos \varphi -2\sin \varphi}} d\varphi \)

Die Hesse-Matrix \(H\) einer zweimal differenzierbaren Funktion \(f: \ \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}\)  enthält alle partiellen zweiten Ableitungen:

Für eine Funktion in 2 Variablen gilt, \(f: \ \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}\):

Sind alle zweiten Ableitungen stetig, so ist die Differentiationsreihenfolge nach dem Satz von Schwarz irrelevant.
Die Hesse-Matrix ist dann symmetrisch \(H^T = H\).

Die Hesse-Matrix \(H\) einer zweimal differenzierbaren Funktion \(f: \ \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}\)  enthält alle partiellen zweiten Ableitungen:

Berechnung der partiellen Ableitungen:

\(f_x = 6xy^4 - 8x^3 \)

\(f_y = 12 x^2 y^3 - 3 \sin(3y)\)

\(f_{xx}=6y^4 - 24 x^2 \\ f_{xy}=f_{yx} = 24xy^3 \\ f_{yy} = 36x^2 y^2 - 9\cos(3y)\)

Hesse-Matrix: \(H(x, \ y) = \begin{pmatrix} 6y^4 - 24 x^2 & 24xy^3 \\ 24xy^3 & 36x^2 y^2 - 9\cos(3y) \end{pmatrix}\)

Die Hesse-Matrix \(H\) einer zweimal differenzierbaren Funktion \(f: \ \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}\)  enthält alle partiellen zweiten Ableitungen:

Berechnung der partiellen Ableitungen:

\(f_x = 4x^3y + 5y^3e^{5x} \\ f_y = x^4 - 10y^4 + 3y^2 e^{5x}\)

\(f_{xx}= 12x^2y + 25 y^3 e^{5x} \\ f_{xy}=f_{yx} = 4x^3 + 15y^2 e^{5x}\\ f_{yy} = -40 y^3 + 6y e^{5x}\)

Hesse-Matrix: \(H(x, \ y) = \begin{pmatrix} 12x^2y + 25 y^3 e^{5x} & 4x^3 + 15y^2 e^{5x} \\ 4x^3 + 15y^2 e^{5x} & -40 y^3 + 6y e^{5x} \end{pmatrix}\)

Die Hesse-Matrix \(H\) einer zweimal differenzierbaren Funktion \(f: \ \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}\)  enthält alle partiellen zweiten Ableitungen:

Berechnung der partiellen Ableitungen:

\(f_x = 6xy + 2y^2 \\ f_y = 3x^2 - 5 +4xy\)

\(f_{xx}=6y \\ f_{xy}=f_{yx} = 6x + 4y\\ f_{yy} = 4x\)

Hesse-Matrix: \(H(x, \ y) = \begin{pmatrix} 6y & 6x + 4y \\ 6x + 4y & 4x \end{pmatrix}\)

Die Hesse-Matrix \(H\) einer zweimal differenzierbaren Funktion \(f: \ \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}\)  enthält alle partiellen zweiten Ableitungen:

Berechnung der partiellen Ableitungen:

\(f_x = 8x +3 \\ f_y = -2y\)

\(f_{xx}=8 \\ f_{xy}=f_{yx} = 0 \\ f_{yy} = -2\)

Hesse-Matrix: \(H(x, \ y) = \begin{pmatrix} 8 & 0 \\ 0 & -2 \end{pmatrix}\)

Die Hesse-Matrix \(H\) einer zweimal differenzierbaren Funktion \(f: \ \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}\)  enthält alle partiellen zweiten Ableitungen:

Berechnung der partiellen Ableitungen:

\(f_x = 12x -2y \\ f_y = -2x + 6y -4\)

\(f_{xx}=12 \\ f_{xy}=f_{yx} = -2 \\ f_{yy} = 6\)

Hesse-Matrix: \(H(x, \ y) = \begin{pmatrix} 12 & -2\\ -2 & 6 \end{pmatrix}\)

Die Hesse-Matrix \(H\) einer zweimal differenzierbaren Funktion \(f: \ \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}\)  enthält alle partiellen zweiten Ableitungen:

Berechnung der partiellen Ableitungen:

\(f_x = 6xy - y e^{3z} \\ f_y = 3x^2 + 4z^3 - x e^{3z} \\ f_z = 12yz^2 - 3xye^{3z} + 4z^3\)

\(f_{xx}=6y \\ f_{yy} = 0 \\ f_{zz} = 24yz- 9 xye^{3z}+ 12z^2 \\ f_{xy}=f_{yx} = 6x -e^{3z} \\ f_{xz}=f_{zx} = -3ye^{3z} \\ f_{yz}=f_{zy} = 12z^2 -3xe^{3z} \\ \)

Hesse-Matrix: \(H(x, \ y) = \begin{pmatrix} 6y & 6x -e^{3z} & -3ye^{3z}\\ 6x -e^{3z} & 0 & 12z^2 -3xe^{3z} \\ -3ye^{3z} & 12z^2 -3xe^{3z} & 24yz- 9 xye^{3z}+ 12z^2 \end{pmatrix}\)

Die Hesse-Matrix \(H\) einer zweimal differenzierbaren Funktion \(f: \ \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}\)  enthält alle partiellen zweiten Ableitungen:

Berechnung der partiellen Ableitungen:

\(f_x = 3x^2y +z^2 \\ f_y = x^3 + 5z^2 \\ f_z = 2xz - 1 + 10yz\)

\(f_{xx}=6xy \\ f_{yy} = 0 \\ f_{zz} = 2x + 10y \\ f_{xy}=f_{yx} = 3x^2 \\ f_{xz}=f_{zx} = 2z\\ f_{yz}=f_{zy} = 10z\)

Hesse-Matrix: \(H(x, \ y, \ z) = \begin{pmatrix} 6xy & 3x^2 & 2z \\ 3x^2 & 0 & 10z \\ 2z & 10z & 2x + 10y \end{pmatrix}\)

Die Hesse-Matrix \(H\) einer zweimal differenzierbaren Funktion \(f: \ \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}\)  enthält alle partiellen zweiten Ableitungen:

Berechnung der partiellen Ableitungen:

\(f_x = 5z + 8x \\ f_y = 8y \\ f_z = 5x - 1\)

\(f_{xx}=8 \\ f_{yy} = 8 \\ f_{zz} = 0 \\ f_{xy}=f_{yx} = 0 \\ f_{xz}=f_{zx} = 5\\ f_{yz}=f_{zy} = 0\)

Hesse-Matrix: \(H(x, \ y, \ z) = \begin{pmatrix} 8 & 0 & 5 \\ 0 & 8 & 0 \\ 5 & 0 & 0 \end{pmatrix}\)

Die Jacobi-Matrix \(J\) einer Funktion \(f: \ \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^k\) enthält alle 1. partiellen Ableitungen von \(f\).

In den Spalten von \(J\) stehen die partiellen Ableitungen von \(f\) nach den einzelnen Variablen, die Zeilen von \(J\) beinhalten daher alle 1. partiellen Ableitungen der einzelnen Komponenten von \(f\).

Die Jacobi-Matrix ist damit von der Dimension \(n\)x\(k\).

Komponentenweise ist die Jacobi-Matrix an der Stelle \(\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n\) gegeben durch:

\(J_{il} (\mathbf{x} ) = \frac{\partial f_i}{\partial x_l}(\mathbf{x} ) \)

Für \(f: \ \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^2\) ist die Matrixform:

Berechnung der partiellen Ableitungen und Einsetzen in die Matrixform ergibt:

\(J = \begin{pmatrix} 6x & 1 & 0 \\ yz^2 & xz^2 & 2xyz \end{pmatrix}\)

Die Jacobi-Matrix \(J\) einer Funktion \(f: \ \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^k\) enthält alle 1. partiellen Ableitungen von \(f\).

In den Spalten von \(J\) stehen die partiellen Ableitungen von \(f\) nach den einzelnen Variablen, die Zeilen von \(J\) beinhalten daher alle 1. partiellen Ableitungen der einzelnen Komponenten von \(f\).

Die Jacobi-Matrix ist damit von der Dimension \(n\)x\(k\).

Komponentenweise ist die Jacobi-Matrix an der Stelle \(\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n\) gegeben durch:

\(J_{il} (\mathbf{x} ) = \frac{\partial f_i}{\partial x_l}(\mathbf{x} ) \)

Für \(f: \ \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^3\) ist die Matrixform:

Berechnung der partiellen Ableitungen und Einsetzen in die Matrixform ergibt:

\(J = \begin{pmatrix} 0 & 12y^2 \\ \cos(x + 2y) \; & \; 2\cos(x +2y) \\ e^{x+y^2} & 2y e^{x+y^2} \end{pmatrix}\)

Die Jacobi-Matrix \(J\) einer Funktion \(f: \ \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^k\) enthält alle 1. partiellen Ableitungen von \(f\).

In den Spalten von \(J\) stehen die partiellen Ableitungen von \(f\) nach den einzelnen Variablen, die Zeilen von \(J\) beinhalten daher alle 1. partiellen Ableitungen der einzelnen Komponenten von \(f\).

Die Jacobi-Matrix ist damit von der Dimension \(n\)x\(k\).

Komponentenweise ist die Jacobi-Matrix an der Stelle \(\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n\) gegeben durch:

\(J_{il} (\mathbf{x} ) = \frac{\partial f_i}{\partial x_l}(\mathbf{x} ) \)

Für \(f: \ \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2\) ist die Matrixform:

\(J = \begin{pmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x} & \frac{\partial f_1}{\partial y} \\ \frac{\partial f_2}{\partial x} & \frac{\partial f_2}{\partial y} \end{pmatrix}\)

Berechnung der partiellen Ableitungen und Einsetzen in die Matrixform ergibt:

\(J = \begin{pmatrix} - \frac{2}{x^3} & 0 \\ y & x - 4e^{4y} \end{pmatrix}\)

Die Jacobi-Matrix \(J\) einer Funktion \(f: \ \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^k\) enthält alle 1. partiellen Ableitungen von \(f\).

In den Spalten von \(J\) stehen die partiellen Ableitungen von \(f\) nach den einzelnen Variablen, die Zeilen von \(J\) beinhalten daher alle 1. partiellen Ableitungen der einzelnen Komponenten von \(f\).

Die Jacobi-Matrix ist damit von der Dimension \(n\)x\(k\).

Komponentenweise ist die Jacobi-Matrix an der Stelle \(\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n\) gegeben durch:

\(J_{il} (\mathbf{x} ) = \frac{\partial f_i}{\partial x_l}(\mathbf{x} ) \)

Für skalare Funktionen \(f: \ \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}\) ist die Jacobi-Matrix die Transponierte des Gradienten \(\text{grad} f = \nabla f\):

\(J (\mathbf{x}) = \begin{pmatrix} \frac{\partial f}{\partial x_1}(\mathbf{x}) \: & \frac{\partial f}{\partial x_2}(\mathbf{x}) & \ldots & \frac{\partial f}{\partial x_n}(\mathbf{x}) \end{pmatrix}\)\(= \left( \text{grad} f \right)^T\)

Berechnung der partiellen Ableitungen und Einsetzen in die Matrixform ergibt:

\(J = \begin{pmatrix} 8xy \; & 4x^2 - 3 \sin(3y -2z) \; & 2\sin(3y -2z) + 5 \end{pmatrix}\)

Die Jacobi-Matrix \(J\) einer Funktion \(f: \ \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^k\) enthält alle 1. partiellen Ableitungen von \(f\).

In den Spalten von \(J\) stehen die partiellen Ableitungen von \(f\) nach den einzelnen Variablen, die Zeilen von \(J\) beinhalten daher alle 1. partiellen Ableitungen der einzelnen Komponenten von \(f\).

Die Jacobi-Matrix ist damit von der Dimension \(n\)x\(k\).

Komponentenweise ist die Jacobi-Matrix an der Stelle \(\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n\) gegeben durch:

\(J_{il} (\mathbf{x} ) = \frac{\partial f_i}{\partial x_l}(\mathbf{x} ) \)

Für skalare Funktionen \(f: \ \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}\) ist die Jacobi-Matrix die Transponierte des Gradienten \(\text{grad} f = \nabla f\):

\(J (\mathbf{x}) = \begin{pmatrix} \frac{\partial f}{\partial x_1}(\mathbf{x}) \: & \frac{\partial f}{\partial x_2}(\mathbf{x}) & \ldots & \frac{\partial f}{\partial x_n}(\mathbf{x}) \end{pmatrix}\)\(= \left( \text{grad} f \right)^T\)

Berechnung der partiellen Ableitungen und Einsetzen in die Matrixform ergibt:

\(J = \begin{pmatrix} \frac{1}{yz} \; & 5 \cos(5y) -\frac{x}{y^2z} \; & -\frac{x}{yz^2} + 3 \end{pmatrix}\)