Fragenliste von Kurvendiskussion

Bestimmen Sie die Extremwerte der folgenden Funktion: \(f:\qquad x\to \frac{1}{8}x^{4}+\frac{1}{2}x^{3}\) Nr. 1544
	\(T(-3/-\frac{27}{8})\)
	\(H(-3/-\frac{27}{8})\)
	\(T(-3/-\frac{27}{8}), H(0/0)\)
	\(H(-3/-\frac{27}{8}), T(0/0)\)
	\(H(0/0), T(-2/-2)\)
Lösungsweg \(\begin{eqnarray} f(x)=\frac{1}{8}x^{4}+\frac{1}{2}x^{3}\\ \vspace{10}\\ f'(x)=\frac{1}{2}x^{3}+\frac{3}{2}x^{2}\\ \vspace{10}\\ f''(x)=\frac{3}{2}x^{2}+3x\\ \end{eqnarray}\) \(\begin{eqnarray} f'(x)=0\\ \vspace{3}\\ \frac{1}{2}x^{3}+\frac{3}{2}x^{2}=0\\ \vspace{3}\\ \frac{1}{2}\cdot x^{2}\cdot (x+3)=0\\ \end{eqnarray}\) \(\begin{eqnarray} x_{1}\,^{2}=0 \Rightarrow f(x_{1})=0\\ \vspace{5}\\ x+3=0 \Rightarrow x_{2}=-3 \Rightarrow f(x_{2})=-\frac{27}{8}=-3,38\\ \end{eqnarray}\) \(\begin{eqnarray} f''(x_{1})=f''(0) = 0 \Rightarrow keine\,Entscheidung!\\ \vspace{5}\\ f''(x_{2})= f''(-3)= \frac{27}{2}-9>0 \Rightarrow Tiefpunkt\,T(-3/-3,38) \end{eqnarray}\)

Bestimmen Sie die Wendepunkte der folgenden Funktion: \(f:\, x \to \frac{1}{8}x^{4}+\frac{1}{2}x^{3}\) Nr. 1545
	\(W_{1}(0/0);\qquad W_{2}(-2/-2)\)
	\(W_{1}(0/2);\qquad W_{2}(2/-2)\)
	\(W_{1}(0/0);\qquad W_{2}(-2/0)\)
	\(W_{1}(0/0);\qquad W_{2}(-4/0)\)
	\(W(-3/-\frac{27}{8})\)
Lösungsweg \(\begin{eqnarray} f(x)=\frac{1}{8}x^{4}+\frac{1}{2}x^{3}\\ \vspace{10}\\ f'(x)=\frac{1}{2}x^{3}+\frac{3}{2}x^{2}\\ \vspace{10}\\ f''(x)=\frac{3}{2}x^{2}+3x\\ \end{eqnarray}\) \(\begin{eqnarray} f''(x)=0\\ \frac{3}{2}x^{2}+3x=0 \qquad \Rightarrow \qquad 3x\cdot(\frac{x}{2}+1)=0 \end{eqnarray}\) \(\begin{eqnarray} x_{1}=0 \qquad \Rightarrow \qquad f(x_{1})=0\\ \vspace{5}\\ \frac{x}{2}+1=0\qquad \Rightarrow\qquad x_{2}=-2\qquad \Rightarrow\qquad f(x_{2})=-2 \end{eqnarray}\) \(W_{1}(0/0); \qquad W_{2}(-2/-2)\)

Wo besitzt folgende Funktion Extremwerte? \(f:\qquad x \to x^{3}+2x^{2}-3x-4\) Nr. 1547
	Die Funktion besitzt einen Hochpunkt an der Stelle \(x = -\frac{2}{3} +\frac{\sqrt{13}}{3}\) und einen Tiefpunkt an der Stelle \(x = -\frac{2}{3} -\frac{\sqrt{13}}{3}\).
	Die Funktion besitzt einen Tiefpunkt an der Stelle \(x = -\frac{2}{3} +\frac{\sqrt{13}}{3}\) und einen Hochpunkt an der Stelle \(x = -\frac{2}{3} -\frac{\sqrt{13}}{3}\).
	Die Funktion besitzt einen Tiefpunkt an der Stelle \(x = \frac{-2+\sqrt{13}}{3}\) und einen Hochpunkt an der Stelle \(x = \frac{-2-\sqrt{13}}{3}\).
	Die Funktion besitzt keine reellen Extremwerte.
	Die Funktion besitzt einen Extremwert an der Stelle \(x = -\frac{2}{3}\) .
Lösungsweg \(\begin{eqnarray} f(x)=x^{3}+2x^{2}-3x-4\\ f'(x)= 3x^{2}+4x-3\\ f''(x)=6x+4\\ f'(x)=0 \Rightarrow \end{eqnarray}\) \(\begin{eqnarray} \vspace{5}\\ \Rightarrow 3x^{2}+4x-3=0\\ \vspace{5}\\ x^{2}+\frac{4}{3}\cdot x-1=0\\ x_{1,2}=-\frac{2}{3}\pm\sqrt{\frac{4}{9}+1} \end{eqnarray}\) \(\begin{eqnarray} x_{1,2}=-\frac{2}{3}\pm\frac{\sqrt{13}}{3}\\ \Rightarrow \qquad x_{1}=\frac{-2+\sqrt{13}}{3}=0,535\\ \vspace{5}\\ \Rightarrow x_{2}=\frac{-2-\sqrt{13}}{3}=-1,869 \end{eqnarray} \) \(\begin{eqnarray} f(x_{1})=-4,879 \hspace{20} f(x_{2})=2,065\\ f''(x_{1})=7,2>0 \hspace{20} f''(x_{2})=-7,2<0\\ \Rightarrow T(0,535/-4,879) \hspace{20}\Rightarrow H(-1,869/2,065) \end{eqnarray}\)

Bestimmen Sie den Wendepunkt der folgenden Funktion: \(f:\qquad x \to x^{3}+2x^{2}-3x-4\) Nr. 1548
	Die Funktion besitzt keinen Wendepunkt.
	\(W(-\frac{2}{3}/0)\)
	\(W(\frac{2}{3}/-\frac{22}{27})\)
	\(W(-\frac{2}{3}/-\frac{38}{27})\)
Lösungsweg \(\begin{eqnarray} f(x)=x^{3}+2x^{2}-3x-4\\ f'(x)= 3x^{2}+4x-3\\ f''(x)=6x+4\\ f''(x)=0\Rightarrow \end{eqnarray} \) \(\begin{eqnarray} \Rightarrow6x+4=0\\ \vspace{5}\\ x=-\frac{2}{3}=-0,67\\ \vspace{5}\\ f(-\frac{2}{3})=-\frac{38}{27}=-1,41 \end{eqnarray}\) \(\Rightarrow \hspace{20} W(-\frac{2}{3}/-\frac{38}{27})\)

Eine Polynomfunktion dritten Grades hat im Punkt P (-3/4) eine waagrechte Tangente, bei x=-2 einen Wendepunkt und die Nullstelle N (-1/0). Wie lautet die Funktionsgleichung? Nr. 1583
	\(f(x)=x^{3}+6x^{2}+9x+4\)
	\(f(x)=-x^{3}-6x^{2}-9x-4\)
	\(f(x)=5x^{3}+7x^{2}-2\)
	\(f(x)=x^{3}+10x+11\)
	Es gibt keine Polynomfunktion dritten Grades, die all diese Eigenschaften erfüllt.
Lösungsweg \(\begin{eqnarray} f(x)=a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}\\ \vspace{5}\\ f'(x)=3a_{3}x^{2}+2a_{2}x+a_{1}\\ \vspace{5}\\ f''(x)=6a_{3}x+2a_{2} \end{eqnarray}\) Die Angabe legt vier Gleichungen fest: \(\begin{eqnarray} f(-3)=4 \Rightarrow -27a_{3}+9a_{2}-3a_{1}+a_{0}=4\\ f'(-3)=0 \Rightarrow 27a_{3}-6a_{2}+a_{1}=0\\ \end{eqnarray}\) \(\begin{eqnarray} f''(-2)=0 \Rightarrow -12a_{3}+2a_{2}=0\\ f(-1)=0 \Rightarrow -a_{3}+a_{2}-a_{1}+a_{0}=0\\ \end{eqnarray}\) Die Lösung des Gleichungssystems liefert: \(\begin{eqnarray} a_{0}=4\\ a_{1}=9\\ a_{2}=6\\ a_{3}=1 \end{eqnarray}\) Ergebnis: \(f(x)=x^{3}+6x^{2}+9x+4\)

Bestimmen Sie die Extremwerte der folgenden Funktion: \(f(x)=x^{3}+6x^{2}+9x+4\) Nr. 1584
	\(\begin{eqnarray} H (-1/0)\\ T(-3/0) \end{eqnarray}\)
	\(\begin{eqnarray} H (-1/0)\\ T(-4/0) \end{eqnarray}\)
	\(\begin{eqnarray} H (-3/58)\\ T(-1/0) \end{eqnarray}\)
	\(\begin{eqnarray} H (-3/4)\\ T(-1/0) \end{eqnarray} \)
	\(\begin{eqnarray} T(-3/4)\\ H(-1/0) \end{eqnarray} \)
Lösungsweg \(\begin{eqnarray} f(x)=x^{3}+6x^{2}+9x+4\\ f'(x)=3x^{2}+12x+9\\ f''(x)=6x+12 \end{eqnarray}\) \(\begin{eqnarray} f'(x)=0\\ 3x^{2}+12x+9=0\\ x^{2}+4x+3=0\\ \end{eqnarray}\) \(\begin{eqnarray} x_{1,2}=-2\pm\sqrt{4-3}=-2\pm1\\ x_{1}=-3 \Rightarrow f(x_{1})=4\\ x_{2}=-1 \Rightarrow f(x_{2})=0 \end{eqnarray}\) Klassifikation der Extremwerte: \(\begin{eqnarray} f''(x_{1})=f''(-3)=-6 \qquad <0 \Rightarrow Hochpunkt \qquad H(-3/4)\\ \vspace{5}\\ f''(x_{2})=f''(-1)=6 \qquad >0 \Rightarrow Tiefpunkt \qquad T(-1/0) \end{eqnarray} \)

Bestimmen Sie den Wendepunkt der folgenden Funktion: \(f(x)=x^{3}+6x^{2}+9x+4\) Nr. 1585
	\(W_1(-1/0), W_2(-3/4)\)
	\(W(-2/2)\)
	\(W(2/-2)\)
	\(W(-2/0)\)
Lösungsweg \(\begin{eqnarray} f(x)=x^{3}+6x^{2}+9x+4\\ f'(x)=3x^{2}+12x+9\\ f''(x)=6x+12\\ f'''(x)=6 \end{eqnarray} \) \(\begin{eqnarray} f''(x)=0\\ \vspace{5}\\ 6x+12=0\\ \vspace{10}\\ x=-2 \qquad \Rightarrow \qquad f(x)=2 \end{eqnarray}\) \(Wendepunkt \qquad W(-2/2)\)

Von einer Polynomfunktion 3. Grades sind folgende Eigenschaften bekannt: Der Graph schneidet die y-Achse bei y=2 und besitzt den Sattelpunkt S(2/6). Wie lautet die Funktionsgleichung? Nr. 1586
	\(f(x)=2x^{3}-12x^{2}+24x+2\)
	\(f(x)=-\frac{1}{10}x^{3}+\frac{3}{5}x^{2}+\frac{3}{5}x+2\)
	\(f(x)=\frac{1}{2}x^{3}-3x^{2}+6x+2\)
	\(f(x)=- \frac{1}{2}x^{3}+3x^{2}-6x-2\)
	\(f(x)=x^{3}-6x^{2}+12x+2\)
Lösungsweg \(\begin{eqnarray} f(x)=a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}\\ f'(x)=3a_{3}x^{2}+2a_{2}x+a_{1}\\ f''(x)=6a_{3}x+2a_{2}\\ \end{eqnarray}\) \(\begin{eqnarray} f(0)=2 \Rightarrow a_{0}=2\\ f(2)=6 \Rightarrow 8a_{3}+4a_{2}+2a_{1}+a_{0}=6\\ f'(2)=0 \Rightarrow 12a_{3}+4a_{2}+a_{1}=0\\ f''(2)=0 \Rightarrow 12a_{3}+2a_{2}=0 \end{eqnarray}\) \(\begin{eqnarray} 8a_{3}+4a_{2}+2a_{1}=4\\ 12a_{3}+4a_{2}+a_{1}=0\\ 12a_{3}+2a_{2}=0\\ \rule[-10mm]{150cm}{1mm} \end{eqnarray}\) Vereinfacht: \(\begin{eqnarray} 4a_{3}+2a_{2}+a_{1}=2\\ 12a_{3}+4a_{2}+a_{1}=0\\ 6a_{3}+a_{2}=0\\ \Rightarrow a_{2}=-6a_{3}\\ \rule[-10mm]{150cm}{1mm} \end{eqnarray}\) \(\begin{eqnarray} 4a_{3}-12a_{3}+a_{1}=2\\ 12a_{3}-24a_{3}+a_{1}=0\\ \rule[-10mm]{150cm}{1mm} \end{eqnarray}\) \(\begin{eqnarray} -8a_{3}+a_{1}=2\\ -12a_{3}+a_{1}=0\\ \rule[-10mm]{150cm}{1mm} \end{eqnarray}\) \(\begin{eqnarray} 4a_{3}=2\\ \vspace{10}\\ \to a_{3}=\frac{1}{2}\\ \vspace{5}\\ \to a_{1}=6\\ \vspace{5}\\ \to a_{2}=-3 \end{eqnarray}\) Ergebnis: \(f(x)=\frac{1}{2}x^{3}-3x^{2}+6x+2\)

Untersuchen Sie, ob folgende Funktion Extremwerte besitzt: \(f(x)=\frac{1}{2}x^{3}-3x^{2}+6x+2\) Nr. 1587
	Die Funktion besitzt keinen Extremwert.
	Die Funktion besitzt einen Hochpunkt an der Stelle \(\begin{eqnarray} H(2/6)\\ \end{eqnarray}\).
	Die Funktion besitzt einen Tiefpunkt an der Stelle \(\begin{eqnarray} T(2/6)\\ \end{eqnarray}\).
	Die Funktion besitzt einen Hochpunkt an der Stelle \(\begin{eqnarray} H(2/0)\\ \end{eqnarray}\).
	Die Funktion besitzt einen Extremwert an der Stelle \(\begin{eqnarray} (2/6)\\ \end{eqnarray}\).
Lösungsweg \(\begin{eqnarray} f(x)=\frac{1}{2}x^{3}-3x^{2}+6x+2\\ f'(x)=\frac{3}{2}x^{2}-6x+6 \end{eqnarray}\) \(\begin{eqnarray} f'(x)=0\\ \frac{3}{2}x^{2}-6x+6=0\\ x^{2}-4x+4=0\\ \vspace{10}\\ x_{1,2}=2\pm\sqrt{4-4}=2 \end{eqnarray}\) Außer der Stelle x=2 besitzt diese Funktion keine weitere Stelle mit horizontaler Tangente. Da die zweite Ableitung an dieser Stelle aber 0 ist, besitzt die Funktion daher keinen Extremwert.

Der Graph der Funktion \(x \qquad \to \qquad f(x)=x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}\) besitzt den Sattelpunkt S(1/4). Berechnen Sie a1 und a2! Nr. 1589
	\(f(x)=x^{3}-x^{2}+3x+1\)
	\(f(x)=x^{3}-8x^{2}+3x+3\)
	\(f(x)=x^{3}+3x^{2}-3x-3\)
	\(f(x)=x^{3}-3x^{2}+3x+3\)
Lösungsweg \(\begin{eqnarray} f(x)=x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}\\ f'(x)=3x^{2}+2a_{2}x+a_{1}\\ f''(x)=6x+2a_{2} \end{eqnarray}\) Aus der Tatsache, dass S(1/4) ein Sattelpunkt ist, lassen sich drei Gleichungen ableiten: \(\begin{eqnarray} f(1)=4 \qquad \Rightarrow \qquad 1+a_{2}+a_{1}+a_{0}=4\\ f'(1)=0 \qquad \Rightarrow \qquad 3+2a_{2}+a_{1}=0\\ f''(1)=0 \qquad \Rightarrow \qquad 6+2a_{2}=0\\ \end{eqnarray}\) Ergebnis: \(\begin{eqnarray} a_{2}=-3\\ a_{1}=3\\ a_{0}=3 \end{eqnarray}\) \(f(x)=x^{3}-3x^{2}+3x+3\)

Bestimmen Sie die Extremwerte der folgenden Funktion: \(f(x)=x^{3}-3x^{2}+3x+3\) Nr. 1590
	\(\begin{eqnarray} H(1/4)\\ \end{eqnarray}\)
	\(\begin{eqnarray} T(-1/4)\\ \end{eqnarray}\)
	\(\begin{eqnarray} H(1- \sqrt[3]{4}/0)\\ \end{eqnarray}\)
	Die Funktion besitzt keine Extremwerte.
	\(\begin{eqnarray} T(1- \sqrt[3]{4}/0)\\ \end{eqnarray}\)
Lösungsweg \(\begin{eqnarray} f(x)=x^{3}-3x^{2}+3x+3\\ f'(x)=3x^{2}-6x+3\\ f''(x)=6x-6 \end{eqnarray}\) \(\begin{eqnarray} f'(x)=0\\ \vspace{5}\\ 3x^{2}-6x+3=0\\ \vspace{5}\\ x^{2}-2x+1=0\\ \vspace{5}\\ (x-1)^{2}=0\\ \vspace{5}\\ x_{1}=x_{2}=1 \end{eqnarray}\) Es liegt eine Doppelnullstelle der 1. Ableitungsfunktion vor. Das deutet auf einen Wendepunkt hin. (Wie man zb mit der zweiten Ableitung nachweisen kann, die an dieser Stelle 0 ist.)

Der Graph der Funktion \(x \qquad \to \qquad P_{4}(x)=a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}\) besitzt im Ursprung einen Sattelpunkt. Im Punkt \(P(-1/\frac{3}{4})\) hat die Steigung der Tangente den Wert -2. Berechnen Sie den vollständigen Funktionsterm! Nr. 2071
	\(P_{4}(x)=-\frac{1}{4}x^{4}-x^{3}\)
	\(P_{4}(x)=\frac{1}{4}x^{4}+x^{3}\)
	\(P_{4}(x)=-\frac{1}{2}x^{4}-2x^{3}+x\)
	\(P_{4}(x)=4x^{4}-3x^{3}-2x^{2}-x\)
Lösungsweg Es müssen fünf Gleichungen für die folgenden Unbekannten gefunden werden: \(a_{0},\qquad a_{1},\qquad a_{2},\qquad a_{3},\qquad a_{4}\) Zuerst: \(P_{4}(x)=a_{4}\cdot x^{4}+a_{3}\cdot x^{3}+a_{2}\cdot x^{2}+a_{1}\cdot x+a_{0}\) \(P_{4}'(x)=4a_{4}\cdot x^{3}+3a_{3}\cdot x^{2}+2a_{2}\cdot x+a_{1}\) \(P_{4}''(x)=12a_{4}\cdot x^{2}+6a_{3}\cdot x+2a_{2}\) Nun werden die Informationen aus der Angabe ausgewertet: \(P_{4}(0)=0\qquad \to \qquad a_{0}=0 \) \(P_{4}'(0)=0\qquad \to \qquad a_{1}=0\) \(P_{4}''(0)=0\qquad \to \qquad a_{2}=0\) \(P_{4}(-1)=\frac{3}{4}\qquad \to \qquad a_{4}-a_{3}+a_{2}-a_{1}+a_{0}=\frac{3}{4}\) \(P_{4}'(-1)=-2\qquad \to \qquad -4a_{4}+3a_{3}-2a_{2}+a_{1}=-2\) Dieses 5x5 Gleichungssystem reduziert sich sofort auf ein 2x2 Gleichungssystem: \(a_{4}-a_{3}=\frac{3}{4}\) \(-4a_{4}+3a_{3}=-2\) \(\rule[-2]{150}{1}\) \(4a_{4}-4a_{3}=3\) \(-4a_{4}+3a_{3}=-2\) \(\rule[-2]{150}{1}\) \(a_{3}=-1\) \(a_{4}=-\frac{1}{4}\) Ergebnis: \(P_{4}(x)=-\frac{1}{4}x^{4}-x^{3}\)

Bestimmen Sie die Extremwerte der folgenden Funktion: \(P_{4}(x)=-\frac{1}{4}x^{4}-x^{3}\) Nr. 2072
	\(T(-3/-6,75)\)
	\(T(-1/3)\)
	\(H(-3/6,75)\)
	\(H(-1/3)\)
Lösungsweg \(P_{4}(x)=-\frac{1}{4}x^{4}-x^{3}\) \(P_{4}'(x)=-x^{3}-3x^{2}\) \(P''_{4}(x)=-3x^{2}-6x\) \(P_{4}'(x)=0\) \(-x^{3}-3x^{2}=0\) \(-x^{2}\cdot(x+3)=0\) \(x_{1}^{(2)}=0\) \(P_{4}(x_{1})=0\) \(P_{4}''(x_{1})=0\) \(x_{2}=-3\) \(P_{4}(x_{2})=6,75\) \(P_{4}''(x_{2})=-9<0\) \(\to\qquad H(-3/6,75)\)

Bestimmen Sie den/die Wendepunkt/e der folgenden Funktion: \(P_{4}(x)=-\frac{1}{4}x^{4}-x^{3}\) Nr. 2073
	\(W(2/-4)\)
	\(W_{1}(0/0)\) \(W_{2}(-2/4)\)
	\(W_{1}(-4/4)\) \(W_{2}(2/1)\)
	\(W(6/3)\)
Lösungsweg \(P_{4}(x)=-\frac{1}{4}x^{4}-x^{3}\) \(P_{4}'(x)=-x^{3}-3x^{2}\) \(P''_{4}(x)=-3x^{2}-6x\) \(P_{4}''(x)=0\) \(-3x^{2}-6x=0\) \(-3x\cdot(x+2)=0\) \(x_{1}=0\) \(P_{4}(x_{1})=0\) \(W_{1}(0/0)\) \(x_{2}=-2 \) \(P_{4}(x_{2})=4\) \(W_{2}(-2/4)\)

Die Funktion \(f:\qquad x\to a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}\) besitzt den Extremwert \(E(4/4)\). Berechnen Sie \(a_{2} \) und \(a_{3}\). Nr. 2074
	\(f(x)= -\frac{3}{4}x^{3}+\frac{1}{8}x^{2}\)
	\(f(x)=-x^{3}+4x^{2}\)
	\(f(x)= -\frac{1}{8}x^{3}+\frac{3}{4}x^{2}\)
	\(f(x)= 10x^{3}-6x^{2}\)
Lösungsweg \(f(x)=a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}\) \(f'(x)=3a_{3}x^{2}+2a_{2}x\) \(f(4)=4 \to\qquad 64a_{3}+16a_{2}=4\) \(f'(4)=0 \to\qquad 48a_{3}+8a_{2}=0\) \(\rule[-10]{150}{1}\) \(64a_{3}+16a_{2}=4\qquad /:\qquad4\) \(48a_{3}+8a_{2}=0 \qquad /:\qquad 8\) \(\rule[-10]{150}{1}\) \(16a_{3}+4a_{2}=1\) \(6a_{3}+a_{2}=0\) \(\rule[-10]{150}{1}\) \(a_{2}=-6a_{3}\) \(16a_{3}+4\cdot(-6a_{3})=1\) \(16a_{3}-24a_{3}=1\) \(a_{3}=-\frac{1}{8}\) \(a_{2}=\frac{3}{4}\) \(\to f(x)= -\frac{1}{8}\cdot x^{3}+\frac{3}{4}\cdot x^{2}\)

Bestimmen Sie die Nullstellen der folgenden Funktion: \(f(x)= -\frac{1}{8}x^{3}+\frac{3}{4}x^{2}\) Nr. 2075
	\(N_{1}(0/0)\) \(N_{2}(6/0)\)
	\(N_{1}(2/0)\) \(N_{2}(1/0)\)
	\(N_{1}(3/0)\) \(N_{2}(7/0)\)
	\(N_{1}(-2/0)\) \(N_{2}(\frac{1}{2}/0)\)
Lösungsweg \(f(x)= -\frac{1}{8}x^{3}+\frac{3}{4}x^{2}\) \(f(x)=0\) \(-\frac{1}{8}x^{3}+\frac{3}{4}x^{2}=0\) \(x^{2}(-\frac{1}{8}x+\frac{3}{4})=0\) \(x_{1,2}=0\) \(-\frac{1}{8}x+\frac{3}{4}=0\) \(\frac{1}{8}x=\frac{3}{4}\) \(x_{3}=6\) \(\to N_{1}\,^{(2)}(0/0)\) \(\to N_{2}(6/0)\)

Bestimmen Sie die Extremwerte der folgenden Funktion: \(f(x)= -\frac{1}{8}x^{3}+\frac{3}{4}x^{2}\) Nr. 2076
	\(T(0/3)\) \(H(6/6)\)
	\(T(0/0)\) \(H(4/4)\)
	\(T(5/-7)\) \(H(1/1)\)
	\(T(-3/-3)\) \(H(6/6)\)
Lösungsweg \(f(x)= -\frac{1}{8}x^{3}+\frac{3}{4}x^{2}\) \(f'(x)= -\frac{3}{8}x^{2}+\frac{3}{2}x\) \(f''(x)=-\frac{3}{4}x+\frac{3}{2}\) \(f'(x)=0\) \(-\frac{3}{8}x^{2}+\frac{3}{2}x=0\) \(x(-\frac{3}{8}x+\frac{3}{2})=0\) \(x_{1}=0\) \(-\frac{3}{8}x+\frac{3}{2}=0\) \(\frac{3}{8}x=\frac{3}{2}\qquad \to \qquad x_{2}=4\) \(f''(0)=\frac{3}{2}\qquad \to >\qquad 0\qquad \to T\) \(f''(4)=-\frac{3}{2}\qquad \to < \qquad 0\qquad \to H\) Einsetzen der Werte in f(x): \(\to T(0/0)\) \(\to H(4/4)\)

Bestimmen Sie den Wendepunkt der folgenden Funktion: \(f(x)= -\frac{1}{8}x^{3}+\frac{3}{4}x^{2}\) Nr. 2077
	\(W(5/5)\)
	\(W(-2/-2)\)
	\(W(1/1)\)
	\(W(2/2)\)
Lösungsweg \(f(x)= -\frac{1}{8}x^{3}+\frac{3}{4}x^{2}\) \(f'(x)= -\frac{3}{8}x^{2}+\frac{3}{2}x\) \(f''(x)=-\frac{3}{4}x+\frac{3}{2}\) \(f''(x)=0\) \(-\frac{3}{4}x+\frac{3}{2}=0\) \(\frac{3}{4}x=\frac{3}{2}\) \(x=2\) Einsetzen des Wertes in f(x): \(\to \qquad W(2/2)\)

Der Graph der Polynomfunktion \(x\to P_{4}(x)=a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3}-x^{2}\) hat den Wendepunkt \(W(2/-4)\). Wie lautet diese Polynomfunktion? Nr. 2078
	\(P_{4}(x)=4x^{4}-3x^{3}-x^{2}\)
	\(P_{4}(x)=-\frac{1}{8}x^{4}+\frac{5}{6}x^{3}-x^{2}\)
	\(P_{4}(x)=\frac{1}{12}x^{4}-\frac{1}{6}x^{3}-x^{2}\)
	\(P_{4}(x)=-2x^{4}-\frac{1}{9}x^{3}-x^{2}\)
Lösungsweg \(P_{4}(x)=a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3}-x^{2}\) \( P'_{4}(x)=4a_{4}x^{3}+3a_{3}x^{2}-2x\) \( P''_{4}(x)=12a_{4}x^{2}+6a_{3}x-2\) \(I:\qquad \qquad \qquad P_{4}(2)=-4 \) \(II:\qquad P''_{4}(2)=0\) \(\rule[10]{150}{1}\) \(I:\qquad \qquad \qquad 16a_{4}+8a_{3}-4=-4\) \(II:\qquad 48a_{4}+12a_{3}-2=0\) \(\rule[10]{150}{1}\) \(I:\qquad \qquad \qquad 2a_{4}+a_{3}=0\) \(II:\qquad 24a_{4}+6a_{3}=1\) \(\rule[10]{150}{1}\) \(I: \qquad a_{3}=-2a_{4}\) \(I\qquad in \qquad II:\) \(24a_{4}+6(-2a_{4})=1\) \(12a_{4}=1 \to \qquad a_{4}=\frac{1}{12}\) \(a_{3}=-2a_{4} = -\frac{1}{6}\) \(\to \qquad f(x)=P_{4}(x)=\frac{1}{12}x^{4}-\frac{1}{6}x^{3}-x^{2}\)

Bestimmen Sie die Nullstellen der folgenden Funktion: \(f(x)=\frac{1}{12}x^{4}-\frac{1}{6}x^{3}-x^{2}\) Nr. 2079
	\(N_{1}(0/0)\) \(N_{2}(4,61/0)\) \(N_{3}(-2,61/0)\)
	\(N_{1}(7,34/0)\) \(N_{2}(3,82/0)\) \(N_{3}(-3/0)\)
	\(N_{1}(5,28/0)\) \(N_{2}(-9/0)\) \(N_{3}(-0,5/0)\)
	\(N_{1}(-3,92/0)\) \(N_{2}(6,17/0)\) \(N_{3}(-7,33/0)\)
Lösungsweg \(f(x)=\frac{1}{12}x^{4}-\frac{1}{6}x^{3}-x^{2}\) \(f(x)=0\) \(\frac{1}{12}x^{4}-\frac{1}{6}x^{3}-x^{2}=0\) \(x^{2}\cdot (x^{2}-2x-12)=0\) \(1.\) \(x^{2}=0\) \(x_{1,2}=0\) \(\to \qquad N_{1}\,^{(2)}(0/0)\) \(2.\) \(x^{2}-2x-12=0\) Kleine Lösungsformel: \(x_{3,4}=1\pm\sqrt{1+12}\) \(x_{3}=1+\sqrt{13}=4,61\) \(x_{4}=1-\sqrt{13}=-2,61\) \(\to \qquad N_{2}(4,61/0)\) \(\to \qquad N_{3}(-2,61/0)\)

Bestimmen Sie die Extremwerte der folgenden Funktion: \(f(x)=\frac{1}{12}x^{4}-\frac{1}{6}x^{3}-x^{2}\) Nr. 2080
	\(H(1/1) \) \(T(-1,81/-7,00)\) \(T(-1,39/3,31)\)
	\(H(3/2)\) \(T(-3,31/7,00)\) \(T(1,81/1,39)\)
	\(H(4/4)\) \(T(-7,00/3,31)\) \(T(-1,39/-1,81)\)
	\(H(0/0)\) \(T(3,31/-7,00)\) \(T(-1,81/-1,39)\)
Lösungsweg \(f(x)=\frac{1}{12}x^{4}-\frac{1}{6}x^{3}-x^{2}\) \(f'(x)=\frac{1}{3}x^{3}-\frac{1}{2}x^{2}-2x\) \(f''(x)=x^{2}-x-2\) \(f'''(x)=2x-1\) \(f'(x)=0\) \(\frac{1}{3}x^{3}-\frac{1}{2}x^{2}-2x=0\) \(x\cdot (\frac{1}{3}\cdot x^{2}-\frac{1}{2}\cdot x-2)=0\) \(1.\) \(x_{1}=0\) \(f(0)=0\) \(f''(0)=-2 \qquad \to \qquad <\qquad 0 \qquad \to H(0/0)\) \(2.\) \(\frac{1}{3}\cdot x^{2}-\frac{1}{2}\cdot x-2=0\) große Lösungsformel: \(x_{2}=\frac{3+\sqrt{105}}{4}=3,31 \qquad \to \qquad f(3,31)=-7,00\) \(x_{3}=\frac{3-\sqrt{105}}{4}=-1,81 \qquad \to \qquad f(-1,81)=-1,39\) \(f''(3,31)=5,66 \qquad \to \qquad > \qquad 0 \qquad \to \qquad T(3,31/-7,00)\) \(f''(-1,81)=3,09 \qquad \to \qquad > \qquad 0 \qquad \to \qquad T(-1,81/-1,39)\)

Bestimmen Sie die Wendepunkte der folgenden Funktion: \(f(x)=\frac{1}{12}x^{4}-\frac{1}{6}x^{3}-x^{2}\) Nr. 2081
	\(W_{1}(-1/-0,75)\) \(W_{2}(2/-4)\)
	\(W_{1}(1/0,75)\) \(W_{2}(-2/4)\)
	\(W_{1}(-1/-4)\) \(W_{2}(2/-0,75)\)
	\(W_{1}(-0,75/-1)\) \(W_{2}(-4/2)\)
Lösungsweg \(f(x)=\frac{1}{12}x^{4}-\frac{1}{6}x^{3}-x^{2}\) \(f'(x)=\frac{1}{3}x^{3}-\frac{1}{2}x^{2}-2x\) \(f''(x)=x^{2}-x-2\) \(f'''(x)=2x-1\) \(f''(x)=0\) \(x^{2}-x-2=0\) Kleine Lösungsformel: \(x_{1,2}=\frac{1}{2}\pm \sqrt{\frac{1}{4}+{2}}\) \(x_{1}=-1 \qquad \to \qquad f(-1)=-\frac{3}{4}\) \(x_{2}=2 \qquad \to \qquad f(2)=-4\) \(W_{1}(-1/-0,75)\) \(W_{2}(2/-4)\)

Die Funktion \(f:\, x\to -\frac{1}{8}x^{3}+a_{2}x^{2}+2\) besitzt einen Wendepunkt bei \(x=2\). Berechnen Sie \(a_{2}\). Nr. 2082
	\(f(x)=-\frac{1}{8}x^{3}-\frac{1}{8}x^{2}+2\)
	\(f(x)=-\frac{1}{8}x^{3}+\frac{2}{5}x^{2}+2\)
	\(f(x)=-\frac{1}{8}x^{3}+\frac{3}{4}x^{2}+2\)
	\(f(x)=-\frac{1}{8}x^{3}-4x^{2}+2\)
Lösungsweg \(f(x)=-\frac{1}{8}x^{3}+a_{2}x^{2}+2\) \(f'(x)=-\frac{3}{8}x^{2}+2a_{2}x\) \(f''(x)=-\frac{3}{4}x+2a_{2}\) \(f''(2)=0\) \(-\frac{3}{4}\cdot 2+2a_{2}=0\) \(a_{2}=\frac{3}{4}\) \(f(x)=-\frac{1}{8}x^{3}+\frac{3}{4}x^{2}+2\)

Bestimmen Sie die Extremwerte der folgenden Funktion: \(f(x)=-\frac{1}{8}x^{3}+\frac{3}{4}x^{2}+2\) Nr. 2083
	\(T(2/0)\) \(H(6/4)\)
	\(T(0/2)\) \(H(4/6)\)
	\(T(2/-2)\) \(H(6/6)\)
	\(T(5/-5)\) \(H(3/8)\)
Lösungsweg \(f(x)=-\frac{1}{8}x^{3}+\frac{3}{4}x^{2}+2\) \(f'(x)=-\frac{3}{8}x^{2}+\frac{3}{2}x\) \(f''(x)=-\frac{3}{4}x+\frac{3}{2}\) \(f'(x)=0\) \(-\frac{3}{8}x^{2}+\frac{3}{2}x=0\) \(x(-\frac{3}{8}x+\frac{3}{2})=0\) \(1.\) \(x_{1}=0\) \(f(0)=2\) \(2.\) \(-\frac{3}{8}x+\frac{3}{2}=0\) \(\frac{3}{8}x=\frac{3}{2}\) \(x_{2}=4\) \(f(4)=6\) \(f''(0)=\frac{3}{2} \qquad \to \qquad >\, 0 \qquad \to \qquad T(0/2)\) \(f''(4)=-\frac{3}{2} \qquad \to \qquad <\, 0 \qquad \to \qquad H(4/6)\)

Bestimmen Sie den Wendepunkt der folgenden Funktion: \(f(x)=-\frac{1}{8}x^{3}+\frac{3}{4}x^{2}+2\) Nr. 2084
	\(W(3/3)\)
	\(W(4/2)\)
	\(W(2/4)\)
	\(W(2/2)\)
Lösungsweg \(f(x)=-\frac{1}{8}x^{3}+\frac{3}{4}x^{2}+2\) \(f'(x)=-\frac{3}{8}x^{2}+\frac{3}{2}x\) \(f''(x)=-\frac{3}{4}x+\frac{3}{2}\) \(f''(x)=0\) \(-\frac{3}{4}x+\frac{3}{2}=0\) \(\frac{3}{4}x=\frac{3}{2}\) \(x=2\) \(f(2)=4\) \(\to \qquad W(2/4)\)

Die Funktion \(f:\qquad x\to \qquad a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}-\frac{9}{2}x+a_{0}\) besitzt den Wendepunkt \(W(4/6)\) mit der Steigung der Wendetangente \(\frac{3}{2}\). Bestimmen Sie den Funktionsterm! Nr. 2086
	\(f(x)=\frac{2}{7}x^{3}+x^{2}-\frac{9}{2}x-2\)
	\(f(x)=\frac{1}{2}x^{3}+\frac{3}{4}x^{2}-\frac{9}{2}x-8\)
	\(f(x)=-\frac{1}{3}x^{3}+\frac{1}{2}x^{2}-\frac{9}{2}x+7\)
	\(f(x)=-\frac{1}{8}x^{3}+\frac{3}{2}x^{2}-\frac{9}{2}x+8\)
Lösungsweg \(f(x)=a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}-\frac{9}{2}x+a_{0}\) \(f'(x)=3a_{3}x^{2}+2a_{2}x-\frac{9}{2}\) \(f''(x)=6a_{3}x+2a_{2}\) \(I:\qquad f(4)=6\) \(II:\qquad f'(4)=\frac{3}{2}\) \(III: \qquad f''(4)=0\) \(\rule[10]{150}{1}\) \(I: \qquad \qquad 64a_{3}+16a_{2}+a_{0}=24\) \(II: \qquad \qquad 48a_{3}+8a_{2}=6\) \(III:\qquad 24a_{3}+2a_{2}=0\) \(II-2\cdot III:\) \(48a_{3}+8a_{2}=6\) \(48a_{3}+4a_{2}=0\) \(\rule[10]{150}{1}\) \(a_{2}=\frac{3}{2}\) \(\rule[10]{150}{1}\) \(24a_{3}+2a_{2}=0\) \(24a_{3}+2\cdot \frac{3}{2}=0\) \(a_{3}=-\frac{1}{8}\) \(64a_{3}+16a_{2}+a_{0}=24\) \(64\cdot (-\frac{1}{8})+16\cdot (\frac{3}{2}) +a_{0}=24\) \(a_{0}=8\) \(\to \qquad f(x)=-\frac{1}{8}x^{3}+\frac{3}{2}x^{2}-\frac{9}{2}x+8\)

Bestimmen Sie die Extremwerte der folgenden Funktion: \(f(x)=-\frac{1}{8}x^{3}+\frac{3}{2}x^{2}-\frac{9}{2}x+8\) Nr. 2087
	\(T(2/4)\) \(H(6/8)\)
	\(T(4/2)\) \(H(8/6)\)
	\(T(2/-4)\) \(H(-6/8)\)
	\(T(5,5/1)\) \(H(-1/9)\)
Lösungsweg \(f(x)=-\frac{1}{8}x^{3}+\frac{3}{2}x^{2}-\frac{9}{2}x+8\) \(f'(x)=-\frac{3}{8}x^{2}+3x-\frac{9}{2}\) \(f''(x)=-\frac{3}{4}x+3\) \(f'(x)=0\) \(-\frac{3}{8}x^{2}+3x-\frac{9}{2}=0 \qquad /\qquad \cdot\qquad -\frac{8}{3}\) \(x^{2}-8x+12=0\) Kleine Lösungsformel: \(x_{1,2}=4\pm\sqrt{16-12}\) \(x_{1}=6\) \(x_{2}=2\) \(f(6)=8\) \(f''(6)=-1,5 \qquad \to \qquad < \qquad 0 \qquad \to \qquad H(6/8)\) \(f(2)=4\) \(f''(2)=1,5 \qquad \to \qquad > \qquad 0 \qquad \to \qquad T(2/4)\)

Bestimmen Sie den Wendepunkt der folgenden Funktion: \(f(x)=-\frac{1}{8}x^{3}+\frac{3}{2}x^{2}-\frac{9}{2}x+8\) Nr. 2088
	\(W(-6/-4)\)
	\(W(-4/-6)\)
	\(W(6/4)\)
	\(W(4/6)\)
Lösungsweg \(f(x)=-\frac{1}{8}x^{3}+\frac{3}{2}x^{2}-\frac{9}{2}x+8\) \(f'(x)=-\frac{3}{8}x^{2}+3x-\frac{9}{2}\) \(f''(x)=-\frac{3}{4}x+3\) \(f''(x)=0\) \(-\frac{3}{4}x+3=0\) \(\frac{3}{4}x=3\) \(x=4\) \(f(4)=6\) \(\to \qquad W(4/6)\)

Der Wendepunkt W der folgenden Funktion liegt bei \((4/6)\). Bestimmen Sie die Wendetangente der Funktion: \(f(x)=-\frac{1}{8}x^{3}+\frac{3}{2}x^{2}-\frac{9}{2}x+8\) Nr. 2089
	\(y=-\frac{3}{2}x+4\)
	\(y=\frac{3}{2}x\)
	\(y=\frac{1}{3}x\)
	\(y=-4x+7\)
Lösungsweg \(f(x)=-\frac{1}{8}x^{3}+\frac{3}{2}x^{2}-\frac{9}{2}x+8\) \(f'(x)=-\frac{3}{8}x^{2}+3x-\frac{9}{2}\) \(f'(4)=-\frac{3}{8}\cdot 16+3\cdot 4-\frac{9}{2}\) \(f'(4)=\frac{3}{2}=k\) \(y=kx+d\) \(y=y_{w}=6\) \(x=x_{w}=4\) \(6=\frac{3}{2}\cdot 4+d\) \(d=0\) \(t_{w}\,:\qquad y=\frac{3}{2}x\)

Der Graph der Funktion \(f:\qquad x\to \qquad a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}\) enthält den Punkt \(P(2/3)\) und besitzt den Wendepunkt \(W(0/1)\) mit der Steigung der Wendetangente \(-3\). Bestimmen Sie den Funktionsterm! Nr. 2090
	\(f(x)=2x^{3}-x^{2}+3x+3\)
	\(f(x)=x^{3}-3x+1\)
	\(f(x)=-x^{3}-5x^{2}+3x\)
	\(f(x)=-6x^{3}+4x-8\)
Lösungsweg \(f(x)=a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}\) \(f'(x)=3a_{3}x^{2}+2a_{2}x+a_{1}\) \(f''(x)=6a_{3}x+2a_{2}\) Aufstellen von 4 Gleichungen: \(f(2)=3\) \(f(0)=1\) \(f''(0)=0\) \(f'(0)=-3\) \(I: \qquad 8a_{3}+4a_{2}+2a_{1}+a_{0}=3\) \(II: \qquad a_{0}=1\) \(III: \qquad a_{2}=0\) \(IV: \qquad a_{1}=-3\) \(8a_{3}+4a_{2}+2a_{1}+a_{0}=3\) \(8a_{3}+4\cdot 0+2\cdot(-3)+1=3\) \(a_{3}=1\) \(\to \qquad f(x)=x^{3}-3x+1\)

Bestimmen Sie die Extremwerte der folgenden Funktion: \(f(x)=x^{3}-3x+1\) Nr. 2091
	\(T(-2/-2)\) \(H(4/4)\)
	\(T(3/3)\) \(H(4/6)\)
	\(T(-1/1)\) \(H(3/-1)\)
	\(T(1/-1)\) \(H(-1/3)\)
Lösungsweg \(f(x)=x^{3}-3x+1\) \(f'(x)=3x^{2}-3\) \(f''(x)=6x\) \(f'(x)=0\) \(3x^{2}-3=0\) \(x^{2}=1 \) \(x_{1,2}=\pm1\) \(f(1)=-1\) \(f''(1)=6 \qquad \to \qquad >\, 0 \qquad \to \qquad T(1/-1)\) \(f(-1)=3\) \(f''(-1)=-6 \qquad \to \qquad <\, 0 \qquad \to \qquad H(-1/3)\)

Bestimmen Sie den Wendepunkt der folgenden Funktion: \(f(x)=x^{3}-3x+1\) Nr. 2092
	\(W(3/3)\)
	\(W(4/5)\)
	\(W(1/0)\)
	\(W(0/1)\)
Lösungsweg \(f(x)=x^{3}-3x+1\) \(f'(x)=3x^{2}-3\) \(f''(x)=6x\) \(f''(x)=0\) \(6x=0\) \(x=0\) \(f(0)=1\) \(\to \qquad W(0/1)\)

Die Funktion \(f(x)=x^{3}-3x+1\) besitzt den Wendepunkt \(W(0/1)\). Wie lautete die Gleichung der Wendetangente? Nr. 2093
	\(t_{w}\,: \qquad y=2x-3\)
	\(t_{w}\,: \qquad y=-3x+1\)
	\(t_{w}\,: \qquad y=-6x\)
	\(t_{w}\,: \qquad y=12x+5\)
Lösungsweg \(W(0/1)\) \(f(x)=x^{3}-3x+1\) \(f'(x)=3x^{2}-3\) \(f'(x_{w})=k\) \(f'(0)=-3\) \(k=-3\) \(y=kx+d\) \(y=y_{w}=1\) \(x=x_{w}=0\) \(1=-3\cdot 0+d\) \(d=1\) \(\to \qquad t_{w}\,: \qquad y=-3x+1\)

Der Graph der Funktion \(f:\qquad x\to a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}\) hat im Ursprung einen Extremwert und besitzt den Wendepunkt \(W(1/\frac{2}{3})\). Bestimmen Sie den Funktionsterm! Nr. 2094
	\(f(x)=-5x^{3}+\frac{3}{2}x^{2}+\frac{1}{2}\)
	\(f(x)=\frac{1}{3}x^{3}-x^{2}+2x+9\)
	\(f(x)=-\frac{1}{3}x^{3}+x^{2}\)
	\(f(x)=-\frac{1}{4}x^{3}+2x^{2}+6\)
Lösungsweg \(f(x)=a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}\) \(f'(x)=3a_{3}x^{2}+2a_{2}x+a_{1}\) \(f''(x)=6a_{3}x+2a_{2}\) Verwertung der Informationen aus der Angabe: \(I: \qquad \qquad f(0)=0\) \(II: \qquad f'(0)=0\) \(III: \, f''(1)=0\) \(IV: \, f(1)=\frac{2}{3}\) \(I: \qquad \qquad a_{0}=0\) \(II: \qquad a_{1}=0\) \(III: \qquad 6a_{3}+2a_{2}=0 \to \qquad 3a_{3}+a_{2}=0\) \(IV: \qquad a_{3}+a_{2}+a_{1}+a_{0}=\frac{2}{3} \to \qquad a_{3}+a_{2}=\frac{2}{3}\) \(\rule[10]{150}{1}\) \(III: \qquad a_{2}=-3a_{3}\) \(III\, in\, IV: \qquad a_{3}-3a_{3}=\frac{2}{3}\) \(-2a_{3}=\frac{2}{3}\) \(a_{3}=-\frac{1}{3}\) \(a_{2}=-3\cdot (-\frac{1}{3})\) \(a_{2}=1\) \(\to \qquad f(x)=-\frac{1}{3}x^{3}+x^{2}\)

Berechnen Sie die Nullstellen der folgenden Funktion: \(f(x)=-\frac{1}{3}x^{3}+x^{2}\) Nr. 2095
	\(N_{1}(2/0)\) \(N_{2}(6/0)\)
	\(N_{1}(0/0)\) \(N_{2}(3/0)\)
	\(N_{1}(-3/0)\) \(N_{2}(-1/0)\)
	\(N_{1}(\frac{1}{2}/0)\) \(N_{2}(7/0)\)
Lösungsweg \(f(x)=-\frac{1}{3}x^{3}+x^{2}\) \(f(x)=0\) \(-\frac{1}{3}x^{3}+x^{2}=0\) \(x^{2}(-\frac{1}{3}x+1)=0\) \(1.\) \(x_{1}\,^{2}=0\) \(N_{1}\,^{(2)}(0/0) \to \qquad "Zweifachnullstelle"\) \(2.\) \(-\frac{1}{3}x+1=0\) \(x_{2}=3\) \(N_{2}(3/0)\)

Bestimmen Sie die Extremwerte der folgenden Funktion: \(f(x)=-\frac{1}{3}x^{3}+x^{2}\) Nr. 2096
	\(T(0/0)\) \(H(2/1,33)\)
	\(T(0/1)\) \(H(1,33/2)\)
	\(T(0,33/4)\) \(H(2/3)\)
	\(T(-3/0)\) \(H(-2/-1,33)\)
Lösungsweg \(f(x)=-\frac{1}{3}x^{3}+x^{2}\) \(f'(x)=-x^{2}+2x\) \(f''(x)=-2x+2\) \(f'(x)=0\) \(-x^{2}+2x=0\) \(x(-x+2)=0\) \(x_{1}=0\) \(-x+2=0\) \(x_{2}=2\) \(f(0)=0\) \(f''(0)=2\qquad \to \qquad >\, 0 \qquad \to \qquad T(0/0)\) \(f(2)=1,33\) \(f''(2)=-2\qquad \to \qquad <\, 0 \qquad \to \qquad H(2/1,33)\)

Bestimmen Sie den Wendepunkt der folgenden Funktion: \(f(x)=-\frac{1}{3}x^{3}+x^{2}\) Nr. 2097
	\(W(-\frac{2}{3}/0)\)
	\(W(\frac{2}{3}/1)\)
	\(W(1/\frac{2}{3})\)
	\(W(-1/-\frac{2}{3})\)
Lösungsweg \(f(x)=-\frac{1}{3}x^{3}+x^{2}\) \(f'(x)=-x^{2}+2x\) \(f''(x)=-2x+2\) \(f''(x)=0\) \(-2x+2=0\) \(x=1\) \(f(1)=-\frac{1}{3}+1=\frac{2}{3}\) \(\to \qquad W(1/\frac{2}{3})\)

Bestimmen Sie die Formel der Wendetangente der folgenden Funktion: \(f(x)=-\frac{1}{3}x^{3}+x^{2}\) Der Wendepunkt liegt bei \(W(1/\frac{2}{3})\). Nr. 2098
	\(t_{w}\,:\qquad y=3x+\frac{1}{3}\)
	\(t_{w}\,:\qquad y=x-\frac{1}{3}\)
	\(t_{w}\,:\qquad y=2x-4\)
	\(t_{w}\,:\qquad y=x+\frac{1}{4}\)
Lösungsweg \(f(x)=-\frac{1}{3}x^{3}+x^{2}\) \(f'(x)=-x^{2}+2x\) \(W(1/\frac{2}{3})\) \(f'(1)=k\) \(f'(1)=-1+2=1\) \(k=1\) \(y=kx+d\) \(\frac{2}{3}=1\cdot1+d\) \(d=-\frac{1}{3}\) \(t_{w}\,:\qquad y=x-\frac{1}{3}\)

Der Graph der Funktion \(f:\qquad x\to \qquad a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3}\) besitzt den Extremwert \(E(-3/\frac{27}{4})\). Bestimmen Sie den Funktionsterm! Nr. 2099
	\(f(x)=-\frac{1}{4}x^{4}-x^{3}\)
	\(f(x)=-\frac{1}{6}x^{4}-3x^{3}\)
	\(f(x)=-\frac{2}{7}x^{4}+x^{3}\)
	\(f(x)=\frac{1}{4}x^{4}+x^{3}\)
Lösungsweg \(f(x)=a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3}\) \(f'(x)=4a_{4}x^{3}+3a_{3}x^{2}\) \(f''(x)=12a_{4}x^{2}+6a_{3}x\) \(I: \qquad f(-3)=\frac{27}{4}\) \(II: \qquad f'(-3)=0\) \(I: \qquad 81a_{4}-27a_{3}=\frac{27}{4}\) \(II: \qquad -108a_{4}+27a_{3}=0\) \(I+II:\) \(-27a_{4}=\frac{27}{4}\) \(a_{4}=-\frac{1}{4}\) \(a_{4}\qquad in \qquad II:\) \(-108\cdot(-\frac{1}{4})+27a_{3}=0\) \(27+27a_{3}=0\) \(a_{3}=-1\) \(f(x)=-\frac{1}{4}x^{4}-x^{3}\)

Bestimmen Sie die Nullstellen der folgenden Funktion: \(f(x)=-\frac{1}{4}x^{4}-x^{3}\) Nr. 2100
	\(N_{1}(-3/0)\) \(N_{2}(6/0)\) \(N_{3}(8/0)\) \(N_{4}(-1,33/0)\)
	\(N_{1}(-2/0)\) \(N_{2}(-1/0)\) \(N_{3}(2/0)\) \(N_{4}(-5/0)\)
	\(N_{1}(2/0)\) \(N_{2}(1/0)\) \(N_{3}(-7/0)\) \(N_{4}(-8/0)\)
	\(N_{1}\,^{(3)}(0/0)\) \(N_{2}(-4/0)\)
Lösungsweg \(f(x)=-\frac{1}{4}x^{4}-x^{3}\) \(f(x)=0\) \(-\frac{1}{4}x^{4}-x^{3}=0\) \(x^{3}(-\frac{1}{4}x-1)=0\) \(x_{1}=0\) \(\to \qquad N_{1}\,^{(3)}(0/0)\) \(-\frac{1}{4}x-1=0\) \(\frac{1}{4}x=-1\) \(x_{2}=-4\) \(\to \qquad N_{2}(-4/0)\)

Bestimmen Sie die Extremwerte der folgenden Funktion: \(f(x)=-\frac{1}{4}x^{4}-x^{3}\) Nr. 2101
	\(H(3/-\frac{27}{4})\)
	\(H(-3/\frac{27}{4})\)
	\(H(\frac{27}{4}/3)\)
	\(H(0/\frac{27}{4})\)
Lösungsweg \(f(x)=-\frac{1}{4}x^{4}-x^{3}\) \(f'(x)=-x^{3}-3x^{2}\) \(f''(x)=-3x^{2}-6x\) \(f'(x)=0\) \(-x^{3}-3x^{2}=0\) \(x^{2}(-x-3)=0\) \(x_{1}=0\) \(f(0)=0\) \(f''(0)=0\) \(\to \qquad kein\qquad globales \qquad Extremum\) \(-x-3=0\) \(x_{2}=-3\) \(f(-3)=\frac{27}{4}\) \(f''(-3)=-9\qquad \to \qquad <\, 0 \qquad \to \qquad H(-3/\frac{27}{4})\)

Bestimmen Sie die Wendepunkte der folgenden Funktion: \(f(x)=-\frac{1}{4}x^{4}-x^{3}\) Nr. 2102
	\(W_{1}(5/6)\) \(W_{2}(4/4)\)
	\(W_{1}(0/7)\) \(W_{2}(-4/2)\)
	\(W_{1}(0/0)\) \(W_{2}(-2/4)\)
	\(W_{1}(3/0)\) \(W_{2}(2/4)\)
Lösungsweg \(f(x)=-\frac{1}{4}x^{4}-x^{3}\) \(f'(x)=-x^{3}-3x^{2}\) \(f''(x)=-3x^{2}-6x\) \(f''(x)=0\) \(-3x^{2}-6x=0\) \(x(-3x-6)=0\) \(x_{1}=0\) \(f(0)=0\) \(\to \qquad W_{1}(0/0)\) \(-3x-6=0\) \(3x=-6\) \(x_{2}=-2\) \(f(-2)=-\frac{1}{4}\cdot16+8=4\) \(\to \qquad W_{2}(-2/4)\)

Bestimmen Sie die Formel der Wendetangente der Funktion: \(f(x)=-\frac{1}{4}x^{4}-x^{3}\) Der Wendepunkt liegt bei \(W(-2/4)\). Nr. 2103
	\(t_{w}\,:\qquad y=-4x-4\)
	\(t_{w}\,:\qquad y=-6x-5\)
	\(t_{w}\,:\qquad y=-2x-7\)
	\(t_{w}\,:\qquad y=x-\frac{1}{3}\)
Lösungsweg \(W(-2/4)\) \(f(x)=-\frac{1}{4}x^{4}-x^{3}\) \(f'(x)=-x^{3}-3x^{2}\) \(f'(-2)=k\) \(f'(-2)=8-12=-4\) \(k=-4\) \(y=kx+d\) \(4=-4\cdot(-2)+d\) \(d=-4\) \(\to \qquad t_{w}\,:\qquad y=-4x-4\)

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Auch in diesem Semester für alle FHTW Studierenen wieder verfügbar: Der Mathe-Support

Mathematik lernen ist eine Herausforderung, vor allem im Eigenstudium! Sie tun sich schwer beim Lesen von mathematischen Skripten oder kommen bei den Übungsaufgaben nicht weiter? Vielleicht wollen Sie auch einfach nicht alleine, sondern lieber in einer Gruppe lernen? Dann kommen Sie zum Mathe-Support!

https://www.technikum-wien.at/mathe-support/

Die Mathe Plattform des Technikum Wien gewinnt den eLearning Award 2019 als Projekt des Jahres in der Kategorie Hochschule.

Festigen Sie Ihre Grundkenntnisse und bereiten Sie sich auf Prüfungen vor.
Im Juli starten wieder die Warm-up Kurse - ein kostenloser Service für Aufgenommene und Studierende der FHTW.

Mathematik, Physik, Elektrotechnik, Informatik, Englisch und Deutsch in kompakten Kursen, geblockt bis September.

Anmeldung und Informationen
Warm-up-Kurse

Die Plattform wächst! Wir bauen im Moment den Bereich des Studienwissens aus. Bitte haben Sie Verständnis, dass die Inhalte dort erst nach und nach ergänzt werden. Ebenso kann es bei Design und Grafik noch zu Änderungen, Verbesserungen und kleinen Bugs kommen. Danke für Ihr Verständnis!

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Wussten Sie schon?

Sie können sich rechts oben einen kostenlosen Benutzer erstellen. Dann wird Ihr Lernfortschritt gespeichert, Sie können Tests zwischenspeichern und an Tutorien teilnehmen.

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