Fragenliste von Kettenregel

Bilde die Ableitung von \(y=f(x)\) mit der Kettenregel. \(y=\sqrt{3x}-\sqrt[3]{x^2}\) Nr. 1948
	\(y'=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2x}}-\frac{2}{\sqrt[3]{3x}}\)
	\(y'=\frac{3}{2\sqrt{x}}-\frac{2}{3\sqrt{x}}\)
	\(y'=\frac{\sqrt{3}-2}{2\sqrt{x}-3\sqrt[3]{x}}\)
	\(y'=\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{x}}-\frac{2}{3\sqrt[3]{x}}\)
	\(y'=\frac{1}{2\sqrt{x}}+\frac{2}{\sqrt[3]{x}}\)
Lösungsweg \(y=\sqrt{3x}-\sqrt[3]{x^2}\) setze \(g(x)= 3x, \ h(x)= x^{\frac 12}, \ k(x)= x^{\frac 23}\) \(g'(x)=3 \\ h'(x)=\frac 13 x^{-\frac 12} \\ k'(x)= \frac 23 x ^{-\frac 13}\) \(y'= h'(g(x))g'(x) - k'(x)\) \(y'= \frac 12 (3x)^{-\frac 12} \cdot 3 - \frac 23 x^{-\frac 13} =\\ \frac {\sqrt 3}{2\sqrt{x}}-\frac{2}{3\sqrt[3]x}\)

Bilde die Ableitung von \(y=f(x)\) mit der Kettenregel. \(y=\sqrt{x^3}-\sqrt[3]{2x}\) Nr. 1949
	\(y'=\frac{3\sqrt{x}}{4}+\frac{2}{9\sqrt[3]{2x^2}}\)
	\(y'=\frac{9\sqrt{x}}{2}-\frac{2}{\sqrt[3]{(26x)^2}}\)
	\(y'=\frac{\sqrt{x}}{2}-\frac{2}{\sqrt[3]{x^2}}\)
	\(y'=\frac{3\sqrt[3]{x}}{4}+\frac{1}{3\sqrt[3]{(2x)^2}}\)
	\(y'=\frac{3\sqrt{x}}{2}-\frac{2}{3\sqrt[3]{(2x)^2}}\)

Bilde die Ableitung von \(y=f(x)\) mit der Kettenregel. \(y=\sqrt[4]{3x^3}-\sqrt[3]{2x}+\sqrt{2x^3}\) Nr. 1950
	\(y'=\frac{9}{4\cdot\sqrt[4]{27x}}-\frac{\sqrt[3]{2}}{3\cdot\sqrt[3]{x^2}}+\frac{3\cdot\sqrt{x}}{\sqrt{2}}\)
	\(y'=\frac{3}{4\cdot\sqrt[4]{27x}}-\frac{2}{3\cdot\sqrt[3]{x}}+\frac{3\cdot\sqrt{x}}{\sqrt{2}}\)
	\(y'=\frac{9}{4\cdot\sqrt[4]{x}}-\frac{2}{3\cdot\sqrt[3]{x^2}}+\frac{3\cdot\sqrt{x}}{\sqrt{2}}\)
	\(y'=\frac{9}{4\cdot\sqrt[4]{x}}-\frac{\sqrt[3]{2}}{3\cdot\sqrt[3]{x}}+\frac{3\cdot\sqrt{x}}{\sqrt{2x^2}}\)
	\(y'=\frac{3}{4\cdot\sqrt[4]{27x}}-\frac{\sqrt[3]{2}}{3\cdot\sqrt[3]{x}}+\frac{3\cdot\sqrt{x^2}}{\sqrt{2}}\)
Lösungsweg \(y=\sqrt[4]{3x^3}-\sqrt[3]{2x}+\sqrt{2x^3}\) 1. \(\sqrt[4]{3x^3}\) setze \(f(x)=x^{1/4}\) \(g(x)=3x^3\) \(f'(x)=\frac{1}{4} x^{-3/4}\) , \(g'(x)=9x^2\) \(\sqrt[4]{3x^3}'=\frac 14 (3x^3)^{-3/4} \cdot 9x^2 =\\ \frac 94 3^{-3/4}x^{-1/4} = \frac{9}{4 \cdot \sqrt[4] {27x}}\) 2. \(\sqrt[3]{2x}\) setze \(f(x)=x^{1/3}\) \(g(x)=2x\) \(f'(x)=\frac 13 x^{-2/3}\), \(g'(x)=2\) \(\sqrt[3]{2x}'= \frac 13 (2x)^{-2/3} \cdot 2 = \frac{\sqrt[3]2}{3 \cdot \sqrt[3]{x^2}}\) 3. \(\sqrt{2x^3}\) setze \(f(x)= x^{1/2}\) , \(g(x)=2x^3\) \(f'(x)= \frac 12 x^{-1/2}\) , \(g'(x)=6x^2\) \(\sqrt{2x^3}'= \frac 12 (2x^3)^{-1/2} \cdot 6x^2 = \frac {3 \sqrt x}{\sqrt 2}\) \(y'=\frac{9}{4\cdot\sqrt[4]{27x}}-\frac{\sqrt[3]{2}}{3\cdot\sqrt[3]{x^2}}+\frac{3\cdot\sqrt{x}}{\sqrt{2}}\)

Bilde die Ableitung von \(y=f(x)\) mit der Kettenregel. \(y=(2x-5)^3\) Nr. 1951
	\(y'=3(2x-5)^2\)
	\(y'=(2x-5)^2\)
	\(y'=6(2x-5)^2\)
	\(y'=6\)
	\(y'=3(2x-5)\)
Lösungsweg \(y=(2x-5)^3\) setze \(g(x)=2x-5,\ h(x)=x^3\) \(g'(x)=2\) \(h'(x)=3x^2\) \(y'=h'(g(x))g'(x)=3(2x-5)^2 \cdot 2 = 6(2x-5)^2\)

Bilde die Ableitung von \(y=f(x)\) mit der Kettenregel. \(y=(5-4x)^3\) Nr. 1952
	\(y'=12(5-4x)^2\)
	\(y'=(5-4x)^2\)
	\(y'=3(5-4x)^2\)
	\(y'=48\)
	\(y'=-12(5-4x)^2\)

Bilde die Ableitung von \(y=f(x)\) mit der Kettenregel. \(y=(x^2-2x+1)^2\) Nr. 1953
	\(y'=(x^2-2x+1)(2x-2)\)
	\(y'=2(x^2-2x+1)(2x-2)\)
	\(y'=2(x^2-2x+1)\)
	\(y'=4(x-1)^3\)
	\(y'=2(2x-2)\)

Bilde die Ableitung von \(y=f(x)\) mit der Kettenregel. \(y=(x^2+3x-4)^2\) Nr. 1954
	\(y'=(4x+3)(x^2+3x-4)\)
	\(y'=2(x^2+3x-4)^2\)
	\(y'=2(2x+3)(x^2+3x-4)^2\)
	\(y'=2(2x+3)(x^2+3x-4)\)
	\(y'=2(x^2+3x-4)\)

Bilde die Ableitung von \(y=f(x)\) mit der Kettenregel. \(y=\left(\frac{5x}{4x+3}\right)^3\) Nr. 1956
	\(y'=\frac{1125x^2}{(4x+3)^4}\)
	\(y'=\frac{45x^2}{(4x+3)^4}\)
	\(y'=\frac{225x^2}{(4x+3)^3}\)
	\(y'=\frac{225x^2}{(4x+3)^2}\)
	\(y'=-\frac{1125x^2}{(4x+3)^3}\)

Bilde die Ableitung von \(y=f(x)\) mit der Kettenregel. \(y=\left(\frac{x^2-3x}{2x+1}\right)^2\) Nr. 1957
	\(y'=\frac{x(x-3)(x^2+2x-3)}{(2x+1)^3}\)
	\(y'=\frac{2(x-3)^2(2x^2+2x-3)}{(2x+1)^2}\)
	\(y'=\frac{2(x-3)(2x^2+2x-3)}{(2x+1)^2}\)
	\(y'=\frac{2x(2x^2+2x-3)}{2x+1}\)
	\(y'=\frac{2x(x-3)(2x^2+2x-3)}{(2x+1)^3}\)

Bilde die Ableitung von \(y=f(x)\) mit der Kettenregel. \(y=\left(\frac{x^2+4x}{3x-4}\right)^2\) Nr. 1958
	\(y'=\frac{4x(x+2)(3x^2-8x-16)}{(3x-4)^3}\)
	\(y'=\frac{x(x+4)(3x^2-8x-16)}{(3x-4)^2}\)
	\(y'=\frac{2x(x+4)(3x^2-8x-16)}{(3x-4)^3}\)
	\(y'=\frac{(x+4)(3x^2-8x-16)^2}{(3x-4)^2}\)
	\(y'=\frac{2(x+4)^2(3x^2-8x-16)}{(3x-4)^3}\)

Bilde die Ableitung von \(y=f(x)\) mit der Kettenregel. \(y=(7x-20)^{12}\) Nr. 1959
	\(y'=12(7x-20)\)
	\(y'=84(7x-20)^{11}\)
	\(y'=84(7x-20)^{12}\)
	\(y'=12(7x-20)^{11}\)
	\(y'=84(7x-18)^{11}\)

Bilde die Ableitung von \(y=f(x)\) mit der Kettenregel. \(y=(5x+17)^{13}\) Nr. 1960
	\(y'=13(5x+17)^{12}\)
	\(y'=13(5x+17)^{11}\)
	\(y'=13(5x+17)\)
	\(y'=65(5x+17)^{12}\)
	\(y'=65(5x+17)^{13}\)

Bilde die Ableitung von \(y=f(x)\) mit der Kettenregel. \(y=(3x^2-4x)^8\) Nr. 1961
	\(y'=8x^7(3x-4)^7(6x-4)\)
	\(y'=8x(3x^2-4)^8(6x-4)\)
	\(y'=4x^7(3x-4)^7\)
	\(y'=7(3x^2-4x)^7(6x-4)\)
	\(y'=8x(3x-4)^7(6x^2-4x)\)

Bilde die Ableitung von \(y=f(x)\) mit der Kettenregel. \(y=(5x^2+4x)^7\) Nr. 1962
	\(y'=14x(10x+4)(5x+4)^6\)
	\(y'=7x^6(5x+4)(5x+4)^7\)
	\(y'=7(5x+4)(5x+4)^6\)
	\(y'=6(10x+4)(5x^2+4)^6\)
	\(y'=7x^6(10x+4)(5x+4)^6\)

Bilde die Ableitung von \(y=f(x)\) mit der Kettenregel. \(y=\sqrt{3x-1}\) Nr. 1963
	\(y'=\frac{\sqrt{3x-1}}{2}\)
	\(y'=\frac{3}{2\sqrt{3x-1}}\)
	\(y'=\frac{1}{2\sqrt{3x-1}}\)
	\(y'=6\sqrt{3x-1}\)
	\(y'=\frac{3\sqrt{3x-1}}{2}\)

Bilde die Ableitung von \(y=f(x)\) mit der Kettenregel. \(y=\sqrt{5x+6}\) Nr. 1964
	\(y'=10\sqrt{5x+6}\)
	\(y'=\frac{1}{2\sqrt{5x+6}}\)
	\(y'=\frac{5\sqrt{5x+6}}{2}\)
	\(y'=\frac{5}{2\sqrt{5x+6}}\)
	\(y'=\frac{\sqrt{5x+6}}{2}\) \sqrt{5x+6}

Bilde die Ableitung von \(y=f(x)\) mit der Kettenregel. \(y=\sqrt{5x^2+3x-4}\) Nr. 1965
	\(y'=\frac{10x+3}{2\sqrt{5x^2+3x-4}}\)
	\(y'=\frac{(10x+3)\sqrt{5x^2+3x-4}}{2}\)
	\(y'=\frac{1}{2\sqrt{5x^2+3x-4}}\)
	\(y'=\frac{\sqrt{5x^2+3x-4}}{2}\)
	\(y'=2(10x+3)\sqrt{5x^2+3x-4}\)

Bilde die Ableitung von \(y=f(x)\) mit der Kettenregel. \(y=\sqrt{6x^2-4x+5}\) Nr. 1966
	\(y'=\frac{12x-4}{\sqrt{6x^2-4x+5}}\)
	\(y'=(6x-2)\sqrt{6x^2-4x+5}\)
	\(y'=\frac{1}{2\sqrt{6x^2-4x+5}}\)
	\(y'=(12x-4)\sqrt{6x^2-4x+5}\)
	\(y'=\frac{6x-2}{\sqrt{6x^2-4x+5}}\)

Bilde die Ableitung von \(y=f(x)\) mit der Kettenregel. \(y=\sqrt{\cos x}\) Nr. 1968
	\(y'=-\frac{\sin x\cdot\sqrt{\cos x}}{2}\)
	\(y'=-\frac{\sin x}{2\sqrt{\cos x}}\)
	\(y'=\frac{1}{2\sqrt{\cos x}}\)
	\(y'=\frac{\sin x}{2\sqrt{\cos x}}\)
	\(y'=2\sin x\cdot\sqrt{\cos x}\)

Bilde die Ableitung von \(y=f(x)\) mit der Kettenregel. \(y=\sqrt{x-\sin x}\) Nr. 1969
	\(y'=\frac{1}{2\sqrt{x-\sin x}}\)
	\(y'=\frac{(1-\cos x)\sqrt{x-\sin x}}{2}\)
	\(y'=\frac{1-\cos x}{2\sqrt{x-\sin x}}\)
	\(y'=\frac{1}{\sqrt{x-\sin x}}\)
	\(y'=(1-\cos x)\sqrt{x-\sin x}\)

Bilde die Ableitung von \(y=f(x)\) mit der Kettenregel. \(y=\sqrt{x+\cos x}\) Nr. 1970
	\(y'=\frac{(1-\sin x)\sqrt{x+\cos x}}{2}\)
	\(y'=\frac{1-\sin x}{2\sqrt{x+\cos x}}\)
	\(y'=\frac{1}{2\sqrt{x+\cos x}}\)
	\(y'=\frac{1-\sin x}{\sqrt{x+\cos x}}\)
	\(y'=(1-\sin x)\sqrt{x+\cos x}\) \sqrt{x+\cos x

Bilde die Ableitung von \(y=f(x)\) mit der Kettenregel. \(y=\sqrt[3]{4\sin x}\) Nr. 1971
	\(y'=\frac{2\cos x}{3\sqrt[3]{2\sin x}}\)
	\(y'=\frac{4\cos x}{3\sqrt[3]{4\sin x}}\)
	\(y'=\frac{1}{3\sqrt[3]{4\sin^2 x}}\)
	\(y'=\frac{2\cos x}{3\sqrt[3]{2\sin^2 x}}\)
	\(y'=\frac{4\cos x}{3\sqrt[3]{4\sin^2 x}}\)

Bilde die Ableitung von \(y=f(x)\) mit der Kettenregel. \(y=\cos x\cdot\sqrt{\cos x}\) Nr. 1972
	\(y'=-\frac{3}{2}\sin x\sqrt{\cos x}\)
	\(y'=\frac{3}{2}\sqrt{\cos x}\)
	\(y'=-\frac{3\sin x}{2\sqrt{\cos x}}\)
	\(y'=\frac{\sin x}{2\sqrt{\cos x}}\)
	\(y'=\cos x-\sin x\sqrt{\cos x}\)

Bilde die Ableitung von \(y=f(x)\) mit der Kettenregel. \(y=3\cdot\sin(2x+\frac {\pi}{4})\) Nr. 1973
	\(y'=3\cos(2x)\)
	\(y'=\frac{6\pi}{4}\cos(2x+\frac{\pi}{4})\)
	\(y'=3\cos(2x+\frac{\pi}{4})\)
	\(y'=3\sin(2x+\frac{\pi}{4})\)
	\(y'=6\cos(2x+\frac{\pi}{4})\)

Bilde die Ableitung von \(y=f(x)\) mit der Kettenregel. \(y=4\cdot\cos(3x-\frac{\pi}{6})\) Nr. 1974
	\(y'=4\sin(3x-\frac{\pi}{6})\)
	\(y'=12\sin(3x)\)
	\(y'=12\sin(3x-\frac{\pi}{6})\)
	\(y'=6\cos(3x+\frac{\pi}{6})\)
	\(y'=12\pi\cos(3x-\frac{\pi}{6})\)

Bilde die Ableitung von \(f(x)=y\)mit Hilfe der Kettenregel. \(y=\frac{\sin x+\cos x}{\sin x\cdot\cos x}\) Nr. 1975
	\(y'=\frac{\sin x+\cos x}{\sin x-\cos x}\)
	\(y'=\frac{\sin^3x-\cos^3x}{\sin^2x\cdot\cos^2x}\)
	\(y'=\frac{\sin^3x+\cos^3x}{\sin x\cdot\cos x}\)
	\(y'=\frac{\sin x-\cos x}{\sin^2x\cdot\cos^2x}\)
	\(y'=\frac{\sin^2x\cos x-\sin x\cos^2x}{\sin x\cdot\cos x}\)

Bilde die Ableitung von \(f(x)=y\)mit Hilfe der Kettenregel. \(y=\frac{\sin x\cdot\cos x}{\sin x-\cos x}\) Nr. 1976
	\(y'=\frac{\sin^2 x+\cos^2 x}{\sin x-\cos x}\)
	\(y'=\frac{\sin^3 x-\cos^3 x}{(\sin x-\cos x)^2}\)
	\(y'=\frac{\sin^3 x+\cos^3 x}{\sin x-\cos x}\)
	\(y'=-\frac{\sin^3 x+\cos^3 x}{(\sin x-\cos x)^2}\)
	\(y'=\frac{\sin^2 x-\cos^2 x}{(\sin x\cdot\cos x)}\)

Drücken Sie y explizit aus und bilden Sie danach die Ableitung \(y'(x) \) \(e^{y-x^2} = \frac{1}{x}\) Nr. 2886
	\(y'(x) = 2 x - \frac{1}{x}\)
	\(y'(x) = 2 x + x = 3x\)
	\(y'(x) = 2 x - \frac{1}{x^2}\)
Lösungsweg \(e^{y-x^2} = \frac{1}{x} \\ y - x^2 = \ln(\frac{1}{x}) \\ y (x) = x^2 + \ln(\frac{1}{x})\) \(y' (x) = 2x + \frac{1}{\frac{1}{x}} \cdot (-\frac{1}{x^2}) \\ y'(x) = 2x - \frac{1}{x}\)

Bilden Sie die erste Ableitung \(y(x) = \frac{-3+x}{5x+2}\) Nr. 2888
	\(y'(x) = \frac{17}{(5x+2)^2}\)
	\(y'(x) = \frac{5+4x}{(5x+2)^2}\)
	\(y'(x) = \frac{10x-1}{(5x+2)^2}\)
Lösungsweg \(y(x) = \frac{-3+x}{5x+2} \\ y(x) = (-3+x) \cdot \frac{1}{5x+2} \\ y'(x) = 1 \cdot \frac{1}{5x+2} + (-3+x) \cdot (-1) \cdot \frac{1}{(5x+2)^2} \cdot 5 \\\) \( y'(x) = \frac{1}{5x+2} + \frac{(3-x)\cdot 5}{(5x+2)^2} \\ y'(x) = \frac{5x + 2 + 15 - 5x}{(5x+2)^2} \\ y'(x) = \frac{17}{(5x+2)^2} \)

Bestimmen Sie die erste Ableitung mit Hilfe der Produktregel und Kettenregel: \(y(x) = \tan(x) \) Nr. 2987
	\( \frac{1 }{(\cos(x))^2} \)
	\( \frac{1 }{(\sin(x))^2} \)
	\(\frac1{(\tan(x))^2}\)
Lösungsweg \(y(x) = \tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} = \sin(x) \cdot (\cos(x))^{-1}\) \(y'(x) = \cos(x) \cdot (\cos(x))^{-1} + \sin(x) \cdot (\cos(x))^{-2} \sin(x) = 1 + (\sin(x))^2 \cdot (\cos(x))^{-2} = \) \(= \frac{(\cos(x))^2 + (\sin(x))^2 }{(\cos(x))^2} = \frac{1 }{(\cos(x))^2} \)

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