Fragenliste von Funktionen von mehreren Variablen

Sei f(x,y)=2x+y+1 Für welche x,y ist f(x,y)=0? Nr. 3876
	x=0, y=0
	y=-(2x+1)
	x=1, y=-3

Sei f(x,y)=2x+y+1

Für welche x,y ist f(x,y)=0?

Nr. 3876

x=0, y=0

y=-(2x+1)

x=1, y=-3

Welche Funktion ist hier abgebildet? Nr. 3933
	f(x)=y
	f(x,y)=2x-y
	f(x,y)=x+y

Welche Funktion ist hier abgebildet? Nr. 3943
	f(x,y)=x+y
	f(x,y)=2x-y
	f(x,y)=x+2y

Was ist der Gradient \(\nabla f\) von \(f(x,y)=3x^2-2xy\) an der Stelle (1,2) ? Nr. 4037
	-1
	\(\begin{pmatrix}1\\ -4 \end{pmatrix}\)
	\(\begin{pmatrix}2 \\ -2 \end{pmatrix}\)
Lösungsweg \(f(x,y)=3x^2-2xy\) Partielle Ableitungen: \(\frac{\part f}{\part x}= 6x-2y\) \(\frac{\part f}{\part y}= -2x\) \(\nabla f= \begin{pmatrix}6x-2y \\ -2x \end{pmatrix}\) \(\nabla f (1,2) = \begin{pmatrix}2 \\ -2 \end{pmatrix}\)

Was ist der Gradient \(\nabla f\) der Funktion \(f(x,y,z)=x^2y+3z\) and der Stelle (1,3,9)? Nr. 4038
	\(\begin{pmatrix}6 \\ 1\\ 3 \end{pmatrix}\)
	\(\begin{pmatrix}1 \\ 3\\ 27 \end{pmatrix}\)
	30
Lösungsweg \(f(x,y,z)=x^2y+3z\) Partielle Ableitungen: \(\frac{\part f}{\part x}= 2xy\) \(\frac{\part f}{\part y}= x^2\) \(\frac{\part f}{\part z}= 3\) \(\nabla f= \begin{pmatrix}2xy \\ x^2 \\ 3 \end{pmatrix}\) \(\nabla f (1,3,9) = \begin{pmatrix}6 \\ 1\\ 3 \end{pmatrix}\)

Welche Punkte befinden sich auf der Fläche \(f(u,v)= (2v, \ u^2, \ u+v-1) \) ? Nr. 4051
	(2,1,1)
	(4,9,-2)
	(0,0,0)
	(2,2,1)

Bestimmen Sie den Gradienten der folgenden Funktion: \(f(x,y) = x^2 + y^2\) Nr. 4207
	\(\nabla f = \left( \begin{array}{c} 2x \\\ 2y \\\ \end{array}\right)\)
	\(\nabla f = \left( \begin{array}{c} 2y \\\ 2x \\\ \end{array}\right)\)
	\(\nabla f = 2x + 2y \)
	\(\nabla f = \left( \begin{array}{c} x^2 \\\ y^2 \\\ \end{array}\right)\)
Lösungsweg Der Gradient ist gegeben durch: \(\nabla f = \left( \begin{array}{c} \frac{\partial f}{\partial x} \\\ \frac{\partial f}{\partial y} \\\ \end{array}\right) = \left( \begin{array}{c} 2x \\\ 2y \\\ \end{array}\right)\)

Geben Sie die Divergenz des folgenden Vektorfeldes an: \(\vec{A} (\vec{r}) = \left( \begin{array}{c} xy^2 \\\ xyz \\\ x^2+z^2 \\\ \end{array}\right)\) Nr. 4208
	\(= 2xy + yz + x^2 +2z\)
	\(= \left( \begin{array}{c} y^2 \\\ xz \\\ 2z \\\ \end{array}\right)\)
	\(= y^2 + xz + 2z\)
Lösungsweg \(div \vec{A} = \nabla \cdot \vec{A} = \frac{\partial A_x}{\partial x} + \frac{\partial A_y}{\partial y} + \frac{\partial A_z}{\partial z} = \\ \) \(= \frac{\partial y^2x}{\partial x} + \frac{\partial xyz}{\partial y} + \frac{\partial (x^2+z^2)}{\partial z}\) \(= y^2 + xz + 2z\)

Berechnen Sie den Gradienten der folgenden Funktion: \(f(x,y,z) = \sqrt{x^2+y^2+z^2}\) Nr. 4212
	\(\nabla f(x, y, z) = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\left( \begin{array}{c} 2x \\\ 2y \\\ 2z \end{array}\right) \)
	\(\nabla f(x, y, z) = \frac{1 }{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}}\left( \begin{array}{c} x \\\ y \\\ z \end{array}\right) \)
	\(\nabla f(x, y, z) = 2\frac{x + y + z }{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}}\)
Lösungsweg \(\nabla f(x, y, z) = \left( \begin{array}{c} \frac{\partial f}{\partial x} \\\ \frac{\partial f}{\partial y} \\\ \frac{\partial f}{\partial z} \end{array}\right) \) \(\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{1}{2} (x^2 + y^2 + z^2)^{-\frac{1}{2} } \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}} \\ \) \(\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}} \\ \frac{\partial f}{\partial z} = \frac{z}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}}\) Also erhält man für den Gradienten von f: \(\nabla f(x, y, z) = \frac{1 }{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}}\left( \begin{array}{c} x \\\ y \\\ z \end{array}\right) \)

Berechnen Sie den Gradienten von: \(V(\vec{x})=\left(\begin{array}{c} {x+\sin x} \\ {e^{x}} \\ {\ln x} \end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{l} {x} \\ {y} \\ {z} \end{array}\right)\). Nr. 4213
	\(\nabla V(\vec{x})=\left(\begin{array}{c} {2x +x \cdot \cos x + \sin x + ye^x + z \frac{1}{x}} \\ {e^{x}} \\ {\ln x} \end{array}\right)\)
	\(\nabla V(\vec{x})=\left(\begin{array}{c} {2x - x \cdot \cos x + \sin x + ye^x + z \ln x } \\ {e^{x}} \\ { \frac{1}{x} } \end{array}\right)\)
	\(\nabla V(\vec{x})=2x +x \cdot \cos x + \sin x + ye^x + z \frac{1}{x}\)
	\(\nabla V(\vec{x})=\left(\begin{array}{c} {2x + \sin x + e^x + z \frac{1}{x}} \\ {e^{x}} \\ {\ln x} \end{array}\right)\)
Lösungsweg \(V(\vec{x})=\left(\begin{array}{c} {x+\sin x} \\ {e^{x}} \\ {\ln x} \end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{l} {x} \\ {y} \\ {z} \end{array}\right) = \\ = x^2 + x\cdot \sin x + ye^x + z\ln x\) \(\nabla V(x, y, z) = \left( \begin{array}{c} { \frac{\partial V}{\partial x} }\\ { \frac{\partial V}{\partial y} } \\ { \frac{\partial V}{\partial z} } \end{array}\right) \) \(\frac{\partial V}{\partial x} = 2x +x \cdot \cos x + \sin x + ye^x + z \frac{1}{x}\) \(\frac{\partial V}{\partial y} = e^x\) \(\frac{\partial V}{\partial z} = \ln x\) \(\nabla V(\vec{x})=\left(\begin{array}{c} {2x +x \cdot \cos x + \sin x + ye^x + z \frac{1}{x}} \\ {e^{x}} \\ {\ln x} \end{array}\right)\)

Berechnen Sie die Divergenz des Ortsvektors: \(\vec{r}=\left(\begin{array}{c} {x} \\ {y} \\ {z} \end{array}\right)\) Nr. 4214
	= 0
	= 3
	\(=\left(\begin{array}{c} {1} \\ {1} \\ {1} \end{array}\right)\)
	= x + y + z
Lösungsweg \(div (\vec{r}) = \nabla \cdot \left(\begin{array}{c} {x} \\ {y} \\ {z} \end{array}\right) = \) \(= \frac{ \partial \vec{r_x} }{ \partial x} + \frac{ \partial \vec{r_y} }{ \partial y} + \frac{ \partial \vec{r_z} }{ \partial z} = \\ = 1 + 1 + 1 = 3\)

Berechnen Sie die Rotation des folgenden Vektorfeldes: \(\vec{F}= \left( \array { {x} \\ {y} \\ {z} } \right)\) Nr. 4407
	\(\vec{\nabla} \times \vec{F} = \left( \array { { y} \\ {-z} \\ {x}} \right) \)
	\(\vec{\nabla} \times \vec{F} = \left( \array { { 0} \\ {0} \\ {0}} \right) \)
	\(\vec{\nabla} \times \vec{F} = x+y+z\)
	\(\vec{\nabla} \times \vec{F} = \left( \array { { 1} \\ {-1} \\ {1}} \right) \)
Lösungsweg \(\vec{\nabla} \times \vec{F} = \Bigg( \array { {\partial_x} \\ {\partial_y} \\ {\partial_z} } \Bigg) \times \Big( \array { {x} \\ {y} \\ {z} } \Big) \)\(= \Bigg( \array { { \partial_y ( z) - \partial_z(y) } \\ { \partial_z(x) - \partial_x(z) } \\ { \partial_x(y) - \partial_y(x) } } \Bigg) = \Big( \array { { 0} \\ {0} \\ {0}} \Big) \)

Berechnen Sie die Rotation des folgenden Vektorfeldes: \(\vec{F}= \left( \array { {2x-y} \\ {y+z^2} \\ {3} } \right)\) Nr. 4408
	\( \vec{\nabla} \times \vec{F} =-2z+1\)
	\( \vec{\nabla} \times \vec{F} =\left( \array { { 2z} \\ {x} \\ {-1}} \right)\)
	\( \vec{\nabla} \times \vec{F} =\left( \array { { -2z} \\ {0} \\ {1}} \right)\)
	\( \vec{\nabla} \times \vec{F} =2x+1\)
	\( \vec{\nabla} \times \vec{F} =\left( \array { { x- 2z} \\ {3} \\ {-y}} \right)\)
Lösungsweg \(\vec{\nabla} \times \vec{F} = \Bigg( \array { {\partial_x} \\ {\partial_y} \\ {\partial_z} } \Bigg) \times \Bigg( \array { {2x-y} \\ {y+z^2} \\ {3} } \Bigg) \)\(= \Bigg( \array { { \partial_y ( 3) - \partial_z(y+z^2) } \\ { \partial_z(2x-y) - \partial_x(3) } \\ { \partial_x(y+z^2) - \partial_y(2x-y) } } \Bigg) \)\( = \Big( \array { { -2z} \\ {0} \\ {1}} \Big)\)

Berechnen Sie die Rotation des folgenden Vektorfeldes: \(\vec{F}= \left( \array { {xyz} \\ {x^2-z} \\ {\cos (x)} } \right)\) Nr. 4409
	\(\vec{\nabla} \times \vec{F} = 0\)
	\(\vec{\nabla} \times \vec{F} = 1-\sin(x) +2xz \)
	\(\vec{\nabla} \times \vec{F} = \left( \array { {0 } \\ { z - \sin (x)) } \\ { -2x +x z) } } \right)\)
	\(\vec{\nabla} \times \vec{F} = \left( \array { {1 } \\ { xy+\sin (x)) } \\ { x(2 - z) } } \right)\)
	\(\vec{\nabla} \times \vec{F} = \left( \array { {-1 } \\ {3 } \\ {0 } } \right)\)
Lösungsweg \(\vec{\nabla} \times \vec{F} = \Bigg( \array { {\partial_x} \\ {\partial_y} \\ {\partial_z} } \Bigg) \times \Bigg( \array { {xyz} \\ {x^2-z} \\ {\cos (x)} } \Bigg)\)\(= \Bigg( \array { { \partial_y ( \cos (x)) - \partial_z(x^2-z) } \\ { \partial_z(xyz) - \partial_x(\cos (x)) } \\ { \partial_x(x^2-z) - \partial_y(xyz) } } \Bigg) = \) \(= \Bigg( \array { {0 - (-1) } \\ { xy - (-\sin (x)) } \\ { 2x - xz } } \Bigg) = \Bigg( \array { {1 } \\ { xy+\sin (x)) } \\ { x(2 - z) } } \Bigg)\)

Berechnen Sie die Rotation des folgenden Vektorfeldes: \(\vec{F}= \left( \array { {3y} \\ {5z} \\ {-x} } \right)\) Nr. 4410
	\(\vec{\nabla} \times \vec{F} = \left( \array { { -5} \\ {1} \\ {-3}} \right)\)
	\(\vec{\nabla} \times \vec{F} = 7\)
	\(\vec{\nabla} \times \vec{F} = \left( \array { { 5z} \\ {3y} \\ {-1}} \right)\)
	\(\vec{\nabla} \times \vec{F} = \left( \array { { 4} \\ {-1} \\ {7}} \right)\)
	\(\vec{\nabla} \times \vec{F} = -8\)
Lösungsweg \(\vec{\nabla} \times \vec{F} = \Bigg( \array { {\partial_x} \\ {\partial_y} \\ {\partial_z} } \Bigg) \times \Bigg( \array { {3y} \\ {5z} \\ {-x} } \Bigg) \)\(= \Bigg( \array { { \partial_y ( -x) - \partial_z(5z) } \\ { \partial_z(3y) - \partial_x(-x) } \\ { \partial_x(5z) - \partial_y(3y) } } \Bigg) = \Big( \array { { -5} \\ {1} \\ {-3}} \Big) \)

Berechnen Sie die Rotation des folgenden Vektorfeldes: \(\vec{F}= \left( \array { {e^y} \\ {\ln x} \\ {-2xz} } \right)\) Nr. 4411
	\(\vec{\nabla} \times \vec{F} = \left( \array { { e^y \frac{1}{x}} \\ {-xz} \\ { \ln(x) -\frac{1}{x}}} \right)\)
	\(\vec{\nabla} \times \vec{F} = e^y + \frac{1}{x}} -2z \)
	\(\vec{\nabla} \times \vec{F} = \left( \array { { \frac{1}{x}} \\ {2z+ e^y} \\ { - 1}} \right)\)
	\(\vec{\nabla} \times \vec{F} = \left( \array { { 0} \\ {2z} \\ {\frac{1}{x} - e^y}} \right)\)
	\(\vec{\nabla} \times \vec{F} = \frac{1}{x}} -e^y + 2x\)
Lösungsweg \( \vec{\nabla} \times \vec{F} = \Bigg( \array { {\partial_x} \\ {\partial_y} \\ {\partial_z} } \Bigg) \times \Bigg( \array { {e^y} \\ {\ln x} \\ {-2xz} } \Bigg)\)\(= \Bigg( \array { { \partial_y ( -2xz) - \partial_z(\ln x) } \\ { \partial_z(e^y) - \partial_x(-2xz) } \\ { \partial_x(\ln x) - \partial_y(e^y) } } \Bigg) \)\(= \Bigg( \array { { 0} \\ {2z} \\ {\frac{1}{x} - e^y}} \Bigg)\)

Was versteht man unter der Hesse-Matrix einer zweimal differenzierbaren Funktion \(f: \ \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}\) ? Nr. 5160
	Matrix mit allen ersten partiellen Ableitungen
	Matrix mit allen zweiten partiellen Ableitungen
	Matrix aller dritten partiellen Ableitungen
	Berechnung gemäß:
	\(\begin{pmatrix} \partial_{x_1} f \\ \partial_{x_2} f \\ \vdots \\ \partial_{x_n} f \end{pmatrix} \)
Lösungsweg Die Hesse-Matrix \(H\) einer zweimal differenzierbaren Funktion \(f: \ \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}\) enthält alle partiellen zweiten Ableitungen: Für eine Funktion in 2 Variablen gilt, \(f: \ \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}\): Sind alle zweiten Ableitungen stetig, so ist die Differentiationsreihenfolge nach dem Satz von Schwarz irrelevant. Die Hesse-Matrix ist dann symmetrisch \(H^T = H\).

Berechne die Hesse-Matrix der Funktion \(f: \ \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}, \quad f(x, \ y) = 3x^2y^4 -2x^4 + \cos(3y)\). Nr. 5164
	\(H(x, \ y) = \begin{pmatrix} 6y^4 - 24 x^2 & 24xy^3 \\ 24xy^3 & 36x^2 y^2 - \cos(3x) \end{pmatrix}\)
	\(H(x, \ y) = \begin{pmatrix} 6y^4 - 24 x^2 & 2xy^4 \\ 4x^2y^3 & 36x^2 y^2 - 9\cos(3x) \end{pmatrix}\)
	\(H(x, \ y) = \begin{pmatrix} 6y^4 - 24 x^2 & 24xy^3 \\ 24xy^3 & 36x^2 y^2 - 9\cos(3y) \end{pmatrix}\)
	\(H(x, \ y) = \begin{pmatrix} 6y^4 - 24 x^2 + \cos(3y) & 24xy^3 \\ 24xy^3 & 36x^2 y^2 - 2x^4 - 9\cos(3x) \end{pmatrix}\)
	\(H(x, \ y) = \begin{pmatrix} 6xy^4 - 8x^3 & 12 x^2 y^3 - 8x^3 - 3 \sin(3y) \\ 6xy^4 - 8x^3 + \cos(3y) & 12 x^2 y^3 - 3 \sin(3y) \end{pmatrix}\)
Lösungsweg Die Hesse-Matrix \(H\) einer zweimal differenzierbaren Funktion \(f: \ \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}\) enthält alle partiellen zweiten Ableitungen: Berechnung der partiellen Ableitungen: \(f_x = 6xy^4 - 8x^3 \) \(f_y = 12 x^2 y^3 - 3 \sin(3y)\) \(f_{xx}=6y^4 - 24 x^2 \\ f_{xy}=f_{yx} = 24xy^3 \\ f_{yy} = 36x^2 y^2 - 9\cos(3y)\) Hesse-Matrix: \(H(x, \ y) = \begin{pmatrix} 6y^4 - 24 x^2 & 24xy^3 \\ 24xy^3 & 36x^2 y^2 - 9\cos(3y) \end{pmatrix}\)

Berechne die Hesse-Matrix der Funktion \(f: \ \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}, \quad f(x, \ y) = x^4y -2y^5 + y^3e^{5x}\). Nr. 5165
	\(H(x, \ y) = \begin{pmatrix} 12x^2y + 25 y^3 e^{5x} & 4x^3 \\ 15y^2 e^{5x} & -40 y^3 + 6y e^{5x} \end{pmatrix}\)
	\(H(x, \ y) = \begin{pmatrix} 12x^2y + 25 y^3 e^{5x} - 2y^5 & 4x^3 + 15y^2 e^{5x} \\ 4x^3 + 15y^2 e^{5x} & x^4 -40 y^3 + 6y e^{5x} \end{pmatrix}\)
	\(H(x, \ y) = \begin{pmatrix} 4x^3y + 5y^3e^{5x} & 4x^3 + 15y^2 e^{5x} \\ 4x^3 + 15y^2 e^{5x} & x^4 - 10y^4 + 3y^2 e^{5x} \end{pmatrix} \)
	\(H(x, \ y) = \begin{pmatrix} 12x^2y + 25 y^3 e^{5x} & 4x^3 + 15y^2 e^{5x} \\ 4x^3 + 15y^2 e^{5x} & -40 y^3 + 6y e^{5x} \end{pmatrix}\)
Lösungsweg Die Hesse-Matrix \(H\) einer zweimal differenzierbaren Funktion \(f: \ \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}\) enthält alle partiellen zweiten Ableitungen: Berechnung der partiellen Ableitungen: \(f_x = 4x^3y + 5y^3e^{5x} \\ f_y = x^4 - 10y^4 + 3y^2 e^{5x}\) \(f_{xx}= 12x^2y + 25 y^3 e^{5x} \\ f_{xy}=f_{yx} = 4x^3 + 15y^2 e^{5x}\\ f_{yy} = -40 y^3 + 6y e^{5x}\) Hesse-Matrix: \(H(x, \ y) = \begin{pmatrix} 12x^2y + 25 y^3 e^{5x} & 4x^3 + 15y^2 e^{5x} \\ 4x^3 + 15y^2 e^{5x} & -40 y^3 + 6y e^{5x} \end{pmatrix}\)

Berechne die Hesse-Matrix der Funktion \(f: \ \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}, \quad f(x, \ y) = 3x^2y -5y +2xy^2 -4\). Nr. 5166
	\(H(x, \ y) = \begin{pmatrix} 6y & 6x + 4y \\ 6x + 4y & 4x \end{pmatrix}\)
	\(H(x, \ y) = \begin{pmatrix} 4x & 6x + 4y \\ 6x + 4y & 6y \end{pmatrix}\)
	\(H(x, \ y) = \begin{pmatrix} 6y + 4x & 6x + 4y \\ 6x + 4y & 4x + 6y \end{pmatrix}\)
	\(H(x, \ y) = \begin{pmatrix} 6y & 4y \\ 6x & 4x \end{pmatrix}\)
	\(H(x, \ y) = \begin{pmatrix} 6y - 5y - 4 & 6x + 4y \\ 6x + 4y & 4x - 4 \end{pmatrix}\)
Lösungsweg Die Hesse-Matrix \(H\) einer zweimal differenzierbaren Funktion \(f: \ \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}\) enthält alle partiellen zweiten Ableitungen: Berechnung der partiellen Ableitungen: \(f_x = 6xy + 2y^2 \\ f_y = 3x^2 - 5 +4xy\) \(f_{xx}=6y \\ f_{xy}=f_{yx} = 6x + 4y\\ f_{yy} = 4x\) Hesse-Matrix: \(H(x, \ y) = \begin{pmatrix} 6y & 6x + 4y \\ 6x + 4y & 4x \end{pmatrix}\)

Berechne die Hesse-Matrix der Funktion \(f: \ \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}, \quad f(x, \ y) = 4x^2 +3 x -y^2 +5\). Nr. 5167
	\(H(x, \ y) = \begin{pmatrix} 8 & 1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}\)
	\(H(x, \ y) = \begin{pmatrix} 8 & 0 \\ 0 & -2 \end{pmatrix}\)
	\(H(x, \ y) = \begin{pmatrix} 8x & 1 \\ 0 & -2y \end{pmatrix}\)
	\(H(x, \ y) = \begin{pmatrix} 8 -y^2 & 8x + 3 -2y \\ 8x + 3 -2y & 4x^2 + 3x -2 \end{pmatrix}\)
Lösungsweg Die Hesse-Matrix \(H\) einer zweimal differenzierbaren Funktion \(f: \ \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}\) enthält alle partiellen zweiten Ableitungen: Berechnung der partiellen Ableitungen: \(f_x = 8x +3 \\ f_y = -2y\) \(f_{xx}=8 \\ f_{xy}=f_{yx} = 0 \\ f_{yy} = -2\) Hesse-Matrix: \(H(x, \ y) = \begin{pmatrix} 8 & 0 \\ 0 & -2 \end{pmatrix}\)

Berechne die Hesse-Matrix der Funktion \(f: \ \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}, \quad f(x, \ y) = 6x^2 -2xy + 3y^2 -4y\). Nr. 5168
	\(H(x, \ y) = \begin{pmatrix} 12 & -2\\ -2 & 6 \end{pmatrix}\)
	\(H(x, \ y) = \begin{pmatrix} 12 & -2x\\ -2y & 6 \end{pmatrix}\)
	\(H(x, \ y) = \begin{pmatrix} 12 - 4y & 2\\ 2 & 6 \end{pmatrix}\)
	\(H(x, \ y) = \begin{pmatrix} 6x & -2\\ -2 & 3y \end{pmatrix}\)
Lösungsweg Die Hesse-Matrix \(H\) einer zweimal differenzierbaren Funktion \(f: \ \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}\) enthält alle partiellen zweiten Ableitungen: Berechnung der partiellen Ableitungen: \(f_x = 12x -2y \\ f_y = -2x + 6y -4\) \(f_{xx}=12 \\ f_{xy}=f_{yx} = -2 \\ f_{yy} = 6\) Hesse-Matrix: \(H(x, \ y) = \begin{pmatrix} 12 & -2\\ -2 & 6 \end{pmatrix}\)

Berechne die Hesse-Matrix der Funktion \(f: \ \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}, \quad f(x, \ y, \ z) = 3x^2y + 4yz^3 -xy e^{3z} +z^4\). Nr. 5171
	\(H(x, \ y) = \begin{pmatrix} 6yx & 6x -e^{3z} & xy-3ye^{3z}\\ 6x -e^{3z} & 1 & 12z^2 -3xe^{3z} \\ -3ye^{3z}+ z^2 & 12z^2 -3xe^{3z} & 24yz- 9 xye^{3z}+ 12z^2 \end{pmatrix}\)
	\(H(x, \ y) = \begin{pmatrix} 0 & 6x -e^{3z} & -3xye^{3z}\\ 6x -ye^{3z} & 6y & 12z^2 -xe^{3z} \\ -3yxe^{3z} & 12z^2 -xe^{3z} & 24yz- 9 xye^{3z}+ 12z^2 \end{pmatrix}\)
	\(H(x, \ y) = \begin{pmatrix} 6y & 6x -e^{3z} & -3ye^{3z}\\ 6x -e^{3z} & 0 & 12z^2 -3xe^{3z} \\ -3ye^{3z} & 12z^2 -3xe^{3z} & 24yz- 9 xye^{3z}+ 12z^2 \end{pmatrix}\)
	\(H(x, \ y) = \begin{pmatrix} 6y & 2x -e^{3z} & -9ye^{3z}\\ 6x -3e^{3z} & 0 & 12z^2 -3xe^{3z} \\ -3ye^{3z} & 12z^2 -3xe^{3z} & 24yz- 6 xye^{3z}+ 4z^3 \end{pmatrix}\)
Lösungsweg Die Hesse-Matrix \(H\) einer zweimal differenzierbaren Funktion \(f: \ \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}\) enthält alle partiellen zweiten Ableitungen: Berechnung der partiellen Ableitungen: \(f_x = 6xy - y e^{3z} \\ f_y = 3x^2 + 4z^3 - x e^{3z} \\ f_z = 12yz^2 - 3xye^{3z} + 4z^3\) \(f_{xx}=6y \\ f_{yy} = 0 \\ f_{zz} = 24yz- 9 xye^{3z}+ 12z^2 \\ f_{xy}=f_{yx} = 6x -e^{3z} \\ f_{xz}=f_{zx} = -3ye^{3z} \\ f_{yz}=f_{zy} = 12z^2 -3xe^{3z} \\ \) Hesse-Matrix: \(H(x, \ y) = \begin{pmatrix} 6y & 6x -e^{3z} & -3ye^{3z}\\ 6x -e^{3z} & 0 & 12z^2 -3xe^{3z} \\ -3ye^{3z} & 12z^2 -3xe^{3z} & 24yz- 9 xye^{3z}+ 12z^2 \end{pmatrix}\)

Berechne die Hesse-Matrix der Funktion \(f: \ \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}, \quad f(x, \ y, \ z) = x^3y + xz^2 -z + 5yz^2\). Nr. 5172
	\(H(x, \ y, \ z) = \begin{pmatrix} 6xy & 3x^2 & 2z \\ 3x^2 & 0 & 10z \\ 2z & 10z & 2x + 10y \end{pmatrix}\)
	\(H(x, \ y, \ z) = \begin{pmatrix} 6xy & 3x^2 & 10z \\ 3x^2 & 0 & 2z \\ 10z & 2z & 2x + 10y \end{pmatrix}\)
	\(H(x, \ y, \ z) = \begin{pmatrix} 6xy & 3x^2y & 2xz \\ 3x^2y & 1 & 10z \\ 2z & 10zx & 2x + 10yz \end{pmatrix}\)
	\(H(x, \ y, \ z) = \begin{pmatrix} 6xy^2 & 3yx^2 & 2z \\ 3x^2 & y & 10yz \\ 2z & 10yz & 2x^2z + 10y \end{pmatrix}\)
Lösungsweg Die Hesse-Matrix \(H\) einer zweimal differenzierbaren Funktion \(f: \ \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}\) enthält alle partiellen zweiten Ableitungen: Berechnung der partiellen Ableitungen: \(f_x = 3x^2y +z^2 \\ f_y = x^3 + 5z^2 \\ f_z = 2xz - 1 + 10yz\) \(f_{xx}=6xy \\ f_{yy} = 0 \\ f_{zz} = 2x + 10y \\ f_{xy}=f_{yx} = 3x^2 \\ f_{xz}=f_{zx} = 2z\\ f_{yz}=f_{zy} = 10z\) Hesse-Matrix: \(H(x, \ y, \ z) = \begin{pmatrix} 6xy & 3x^2 & 2z \\ 3x^2 & 0 & 10z \\ 2z & 10z & 2x + 10y \end{pmatrix}\)

Berechne die Hesse-Matrix der Funktion \(f: \ \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}, \quad f(x, \ y, \ z) = 5xz + 4x^2 -z +4y^2\). Nr. 5173
	\(H(x, \ y, \ z) = \begin{pmatrix} 8 & 0 & 0 \\ 0 & 8 & 5 \\ 0 & 5 & 0 \end{pmatrix}\)
	\(H(x, \ y, \ z) = \begin{pmatrix} 8 & 5 & 0 \\ 5 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\)
	\(H(x, \ y, \ z) = \begin{pmatrix} 8 & 0 & 5 \\ 0 & 8 & 0 \\ 5 & 0 & 0 \end{pmatrix}\)
	\(H(x, \ y, \ z) = \begin{pmatrix} 8x & 2 & 10 \\ 2 & 8y & 0 \\ 10 & 0 & z \end{pmatrix}\)
	\(H(x, \ y, \ z) = \begin{pmatrix} 6x & 2x & 5y \\ 2x & 4y & 0 \\ 5x & 0 & -3z \end{pmatrix}\)
Lösungsweg Die Hesse-Matrix \(H\) einer zweimal differenzierbaren Funktion \(f: \ \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}\) enthält alle partiellen zweiten Ableitungen: Berechnung der partiellen Ableitungen: \(f_x = 5z + 8x \\ f_y = 8y \\ f_z = 5x - 1\) \(f_{xx}=8 \\ f_{yy} = 8 \\ f_{zz} = 0 \\ f_{xy}=f_{yx} = 0 \\ f_{xz}=f_{zx} = 5\\ f_{yz}=f_{zy} = 0\) Hesse-Matrix: \(H(x, \ y, \ z) = \begin{pmatrix} 8 & 0 & 5 \\ 0 & 8 & 0 \\ 5 & 0 & 0 \end{pmatrix}\)

Berechne die Jacobi-Matrix von \(f: \ \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^2\), \(f(x, \ y, \ z) = \begin{pmatrix} 3x^2 +y \\ xyz^2 \end{pmatrix}\) Nr. 5183
	\(J = \begin{pmatrix} 6x & yz^2 \\ 1 & xz^2 \\ 0 & 2xyz \end{pmatrix}\)
	\(J = \begin{pmatrix} 6x & 1 & 0 \\ yz^2 & xz^2 & 2xyz \end{pmatrix}\)
	\(J = \begin{pmatrix} 6 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2xy \end{pmatrix}\)
	\(J = \begin{pmatrix} 6x +1 \\ yz^2 + xz^2 + 2xyz \end{pmatrix}\)
	\(J = \begin{pmatrix} 6x + yz^2 \\ xz^2 + 1 \\ 2xyz \end{pmatrix}\)
Lösungsweg Die Jacobi-Matrix \(J\) einer Funktion \(f: \ \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^k\) enthält alle 1. partiellen Ableitungen von \(f\). In den Spalten von \(J\) stehen die partiellen Ableitungen von \(f\) nach den einzelnen Variablen, die Zeilen von \(J\) beinhalten daher alle 1. partiellen Ableitungen der einzelnen Komponenten von \(f\). Die Jacobi-Matrix ist damit von der Dimension \(n\)x\(k\). Komponentenweise ist die Jacobi-Matrix an der Stelle \(\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n\) gegeben durch: \(J_{il} (\mathbf{x} ) = \frac{\partial f_i}{\partial x_l}(\mathbf{x} ) \) Für \(f: \ \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^2\) ist die Matrixform: Berechnung der partiellen Ableitungen und Einsetzen in die Matrixform ergibt: \(J = \begin{pmatrix} 6x & 1 & 0 \\ yz^2 & xz^2 & 2xyz \end{pmatrix}\)

Berechne die Jacobi-Matrix von \(f: \ \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^3\), \(f(x, \ y) = \begin{pmatrix} 4y^3 -5 \\ \sin(x+2y) \\ e^{x+y^2} \end{pmatrix}\) Nr. 5184
	\(J = \begin{pmatrix} 0 & 12y^2 \\ \cos(x + 2y) \; & \; 2\cos(x +2y) \\ e^{x+y^2} & 2y e^{x+y^2} \end{pmatrix}\)
	\(J = \begin{pmatrix} 0 & \cos(x + 2y) \; & e^{x+y^2} \\ 12y^2 & \; 2\cos(x +2y) & 2y e^{x+y^2} \end{pmatrix}\)
	\(J = \begin{pmatrix} 0 & 12y^2 \\ \cos(x + 2y) \; & \; \cos(x +2y) \\ e^{x+y^2} & e^{x+y^2} \end{pmatrix}\)
	\(J = \begin{pmatrix} 0 & 12y^2 \\ \cos(x) \; & \; 2\cos(2y) \\ e^{x} & 2y e^{y^2} \end{pmatrix}\)
	\(J = \begin{pmatrix} \cos(x + 2y) + e^{x+y^2} \\ 12y^2 + 2\cos(x +2y) + 2y e^{x+y^2} \end{pmatrix}\)
Lösungsweg Die Jacobi-Matrix \(J\) einer Funktion \(f: \ \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^k\) enthält alle 1. partiellen Ableitungen von \(f\). In den Spalten von \(J\) stehen die partiellen Ableitungen von \(f\) nach den einzelnen Variablen, die Zeilen von \(J\) beinhalten daher alle 1. partiellen Ableitungen der einzelnen Komponenten von \(f\). Die Jacobi-Matrix ist damit von der Dimension \(n\)x\(k\). Komponentenweise ist die Jacobi-Matrix an der Stelle \(\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n\) gegeben durch: \(J_{il} (\mathbf{x} ) = \frac{\partial f_i}{\partial x_l}(\mathbf{x} ) \) Für \(f: \ \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^3\) ist die Matrixform: Berechnung der partiellen Ableitungen und Einsetzen in die Matrixform ergibt: \(J = \begin{pmatrix} 0 & 12y^2 \\ \cos(x + 2y) \; & \; 2\cos(x +2y) \\ e^{x+y^2} & 2y e^{x+y^2} \end{pmatrix}\)

Berechne die Jacobi-Matrix von \(f: \ \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2\), \(f(x, \ y) = \begin{pmatrix} \frac{1}{x^2} + 5 \\ xy -e^{4y} \end{pmatrix}\) Nr. 5185
	\(J = \begin{pmatrix} \frac{2}{x^3} & 1 \\ y - e^{4y} & x - 4e^{4y} \end{pmatrix}\)
	\(J = \begin{pmatrix} - \frac{2}{x^3} & 0 \\ y & x - e^{4y} \end{pmatrix}\)
	\(J = \begin{pmatrix} - \frac{2}{x^3} & 0 \\ y & x - 4e^{4y} \end{pmatrix}\)
	\(J = \begin{pmatrix} - \frac{2}{x^3} & y \\ 0 & x - 4e^{4y} \end{pmatrix}\)
	\(J = \begin{pmatrix} \frac{6}{x^4} & 0 \\ 0 & -16e^{4y} \end{pmatrix}\)
Lösungsweg Die Jacobi-Matrix \(J\) einer Funktion \(f: \ \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^k\) enthält alle 1. partiellen Ableitungen von \(f\). In den Spalten von \(J\) stehen die partiellen Ableitungen von \(f\) nach den einzelnen Variablen, die Zeilen von \(J\) beinhalten daher alle 1. partiellen Ableitungen der einzelnen Komponenten von \(f\). Die Jacobi-Matrix ist damit von der Dimension \(n\)x\(k\). Komponentenweise ist die Jacobi-Matrix an der Stelle \(\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n\) gegeben durch: \(J_{il} (\mathbf{x} ) = \frac{\partial f_i}{\partial x_l}(\mathbf{x} ) \) Für \(f: \ \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2\) ist die Matrixform: \(J = \begin{pmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x} & \frac{\partial f_1}{\partial y} \\ \frac{\partial f_2}{\partial x} & \frac{\partial f_2}{\partial y} \end{pmatrix}\) Berechnung der partiellen Ableitungen und Einsetzen in die Matrixform ergibt: \(J = \begin{pmatrix} - \frac{2}{x^3} & 0 \\ y & x - 4e^{4y} \end{pmatrix}\)

Berechne die Jacobi-Matrix von \(f: \ \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}\), \(f(x, \ y, \ z) = 4x^2y + \cos(3y-2z) +5z\) Nr. 5186
	\(J = \begin{pmatrix} 8xy \\ 4x^2 - \sin(3y) \\ -\sin(2z) + 5 \end{pmatrix}\)
	\(J = \begin{pmatrix} 8xy \\ 4x^2 - 3 \sin(3y -2z) \\ 2\sin(3y -2z) + 5 \end{pmatrix}\)
	\(J = \begin{pmatrix} 8xy \; & 4x^2 - \sin(3y) \; & -\sin(2z) + 5 \end{pmatrix}\)
	\(J = \begin{pmatrix} 8xy \; & 4x^2 - 3 \sin(3y -2z) \; & -2\sin(3y -2z) + 5 \end{pmatrix}\)
	\(J = \begin{pmatrix} 8xy \; & 4x^2 - 3 \sin(3y -2z) \; & 2\sin(3y -2z) + 5 \end{pmatrix}\)
Lösungsweg Die Jacobi-Matrix \(J\) einer Funktion \(f: \ \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^k\) enthält alle 1. partiellen Ableitungen von \(f\). In den Spalten von \(J\) stehen die partiellen Ableitungen von \(f\) nach den einzelnen Variablen, die Zeilen von \(J\) beinhalten daher alle 1. partiellen Ableitungen der einzelnen Komponenten von \(f\). Die Jacobi-Matrix ist damit von der Dimension \(n\)x\(k\). Komponentenweise ist die Jacobi-Matrix an der Stelle \(\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n\) gegeben durch: \(J_{il} (\mathbf{x} ) = \frac{\partial f_i}{\partial x_l}(\mathbf{x} ) \) Für skalare Funktionen \(f: \ \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}\) ist die Jacobi-Matrix die Transponierte des Gradienten \(\text{grad} f = \nabla f\): \(J (\mathbf{x}) = \begin{pmatrix} \frac{\partial f}{\partial x_1}(\mathbf{x}) \: & \frac{\partial f}{\partial x_2}(\mathbf{x}) & \ldots & \frac{\partial f}{\partial x_n}(\mathbf{x}) \end{pmatrix}\)\(= \left( \text{grad} f \right)^T\) Berechnung der partiellen Ableitungen und Einsetzen in die Matrixform ergibt: \(J = \begin{pmatrix} 8xy \; & 4x^2 - 3 \sin(3y -2z) \; & 2\sin(3y -2z) + 5 \end{pmatrix}\)

Berechne die Jacobi-Matrix von \(f: \ \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}\), \(f(x, \ y, \ z) = \frac{x}{yz} + \sin(5y) + 3z\) Nr. 5187
	\(J = \begin{pmatrix} \frac{1}{yz} + \sin(5y) + 3z \; & 5 \cos(5y) -\frac{x}{y^2z} + 3z \; & -\frac{x}{yz^2} + \sin(5y) + 3 \end{pmatrix}\)
	\(J = \begin{pmatrix} \frac{1}{yz} \; & \cos(5y) +\frac{x}{y^2z} \; & \frac{x}{yz^2} + 3 \end{pmatrix}\)
	\(J = \begin{pmatrix} \frac{1}{yz} \; & 5 \cos(5y) -\frac{x}{y^2z} \; & -\frac{x}{yz^2} + 3 \end{pmatrix}\)
	\(J = \begin{pmatrix} \frac{1}{yz} \\ \sin(5y) +\frac{x}{y^2z} \\ +\frac{x}{yz^2} + 3 \end{pmatrix}\)
	\(J = \begin{pmatrix} \frac{1}{yz} \\ 5 \sin(5y) -\frac{x}{y^2z} \\ -\frac{x}{yz^2} + 3 \end{pmatrix}\)
Lösungsweg Die Jacobi-Matrix \(J\) einer Funktion \(f: \ \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^k\) enthält alle 1. partiellen Ableitungen von \(f\). In den Spalten von \(J\) stehen die partiellen Ableitungen von \(f\) nach den einzelnen Variablen, die Zeilen von \(J\) beinhalten daher alle 1. partiellen Ableitungen der einzelnen Komponenten von \(f\). Die Jacobi-Matrix ist damit von der Dimension \(n\)x\(k\). Komponentenweise ist die Jacobi-Matrix an der Stelle \(\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n\) gegeben durch: \(J_{il} (\mathbf{x} ) = \frac{\partial f_i}{\partial x_l}(\mathbf{x} ) \) Für skalare Funktionen \(f: \ \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}\) ist die Jacobi-Matrix die Transponierte des Gradienten \(\text{grad} f = \nabla f\): \(J (\mathbf{x}) = \begin{pmatrix} \frac{\partial f}{\partial x_1}(\mathbf{x}) \: & \frac{\partial f}{\partial x_2}(\mathbf{x}) & \ldots & \frac{\partial f}{\partial x_n}(\mathbf{x}) \end{pmatrix}\)\(= \left( \text{grad} f \right)^T\) Berechnung der partiellen Ableitungen und Einsetzen in die Matrixform ergibt: \(J = \begin{pmatrix} \frac{1}{yz} \; & 5 \cos(5y) -\frac{x}{y^2z} \; & -\frac{x}{yz^2} + 3 \end{pmatrix}\)

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