P+Q=S

\(s_1=\lambda^2-p_1-q_1\)

\(s_2=\lambda \cdot p_1-p_2-\lambda s_1\)

\(\lambda=\frac{q_2-p_2}{q_1-p_1}=\frac{11-5}{5-3}=3\)

\(s_1=9-3-5=1\)

\(s_2=9-5-3=1\)

P+Q=S

\(s_x=\lambda^2-p_x-q_x\)

\(s_y=\lambda(p_x-s_x)-p_y\)

\(\lambda=\frac{q_y-p_y}{q_y-p_y}=\frac{\sqrt{8}-\sqrt{12}}{-1-3}=\frac{1}{2} \left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)\)

\(s_x=(\frac{1}{2} (\sqrt{3}-\sqrt{2}))^2 -3+1 =\frac{1}{4} (-2 \sqrt{6}-3)\)

\(s_y=\frac{1}{2} (\sqrt{3}-\sqrt{2})(3+1)-\sqrt{12} = \frac{1}{8} \left(-9 \sqrt{2}-5 \sqrt{3}\right)\)

für \(x=0\) \(y^2=0^3+0+1=1\)

für \(x=1\) \(y^2 (\mathrm{mod}3)=0\)

für \(x=2\) \(y^2 (\mathrm{mod}3)=2\)

für \(y=0, \ y^2(\mathrm{mod}3)=0\)

für \(y=1, \ y^2(\mathrm{mod}3)=1\)

für \(y=2, \ y^2(\mathrm{mod}3)=1\)

P+Q=S

\(s_x=\lambda^2-p_x-q_x\)

\(s_y=\lambda(p_x-s_x)-p_y\)

\(\lambda=\frac{q_y-p_y}{q_y-p_y}=\frac{3-1}{4-2}= 1\)

\(s_x=1-2-3=0\)

\(s_y=1(2-0)-1=1\)

Wir setzen die Punkte in die Kurvengleichung ein:

\(3^2 = 0^3 + 0 + 2 = 2 \;mod\; 7\) ist richtig (denn \(3^2 = 2 \;mod \;7\)).
\(5^2 = 1^3 + 1 + 2 = 4 \;mod\; 7\) ist richtig (denn \(5^2 = 4 \;mod\; 7\)).
\(3^2 = 3^3 + 3 + 2 = 4 \;mod \;7\) ist falsch (denn \(3^2 = 2 \;mod\; 7\)).
\(0^2 = 6^3 + 6 + 2 = 0 \;mod\; 7\) ist richtig.

Wir setzen die Punkte in die Kurvengleichung ein:

\(3^2 = 1^3 + 5\cdot 1 + 7 = 13 \;mod\; 17\) ist falsch.
\(5^2 = 2^3 + 5\cdot 2 + 7 = 25 = 8\; mod\; 17\) ist richtig.
\(2^2 = 5^3 + 5\cdot 5 + 7 = 4 \;mod\; 17\) ist richtig.
\(7^2 = 6^3 + 5\cdot 6 + 7 = 15 \;mod\; 17\) ist richtig.

Wir setzen \(P=(2,12)=(x_1,y_1)\) und \(Q=(9,4)=(x_2,y_2)\). Dann ist
\(\lambda = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} = \frac{4-12}{9-2} = \frac{-8}{7} = 9 \cdot 5 = 11 \;mod\; 17\) (Achtung, das Inverse von 7 modulo 17 ist 5);
\(x_3 = \lambda^2 -x_1-x_2 = 2-2-9 = 8 \;mod\; 17\) und
\(y_3 = \lambda(x_1-x_3)-y_1 = 11 \cdot (2-8)-12 = (-6)\cdot(-6)-12 = 2-12 = 7 \;mod\; 17\).

Somit gilt P+Q = (8,7).

Wir setzen \(P=(2,5)=(x_1,y_1)\) und \(2P=(x_3,y_3)\). Es gilt  \(\lambda = \frac{3x_1^2+5}{2y_1} = \frac{3\cdot 4 + 5}{2 \cdot 5} = \frac{17}{10} = 0\; mod\; 17\). Somit erhalten wir \(x_3 = \lambda^2 -2x_1 = -4 = 13 \;mod\; 17\) und \(y_3 = \lambda(x_1-x_3)-y_1 = -y_1 = -5 = 12 \;mod\; 17\). Folglich ist 2P = (13,12).

 Wir setzen \(P=(2,5)=(x_1,y_1)\) und berechnen zunächst \(2P=(x_3,y_3)\). Es gilt  \(\lambda_1 = \frac{3x_1^2+5}{2y_1} = \frac{3\cdot 4 + 5}{2 \cdot 5} = \frac{17}{10} = 0\; mod\; 17\). Somit erhalten wir
\(x_3 = \lambda_1^2 -2x_1 = -4 = 13 \;mod\; 17\) und
\(y_3 = \lambda_1(x_1-x_3)-y_1 = -y_1 = -5 = 12 \;mod\; 17\). Folglich ist 2P = (13,12).

Nun berechnen wir \(4P= 2\cdot 2P = (x_4,y_4)\):

\(\lambda_2 = \frac{3x_3^2+5}{2y_3} = \frac{3 \cdot 16 +5}{2 \cdot 12} = \frac{2}{7} = 2 \cdot 5 = 10 \;mod\; 17\) (Achtung, das Inverse von 7 modulo 17 ist 5). Somit erhalten wir 
\(x_4 = \lambda_2^2 -2x_3 = 15 - 2\cdot 13 = 6 \;mod\; 17\) und

\(y_4 = \lambda_2(x_3-x_4)-y_3 = 10 \cdot (13 - 6) - 12 = 7 \;mod\; 17\). Folglich gilt 4P = (6,7).

Wir setzen x=4 in die Kurvengleichung ein: \(4^3 + 4 + 5 = 7 + 9 = 16 \;mod\; 19\)
Gesucht sind also alle y mit \(y^2 = 16\) in \(\mathbb{Z}_{19}\). Dies sind y=4 und y=-4=15 mod 19.

Wir setzen x=0 in die Kurvengleichung ein und erhalten \(y^2 = 5\). Gibt es ein y in \(\mathbb{Z}_{19}\) mit \(y^2 = 5\)? Ja, zwei: y=9 ergibt \(y^2 = 81 = 5 \;mod\; 19\) und y=-9=10 mod 19 ergibt \(y^2 = 100 = 5 \;mod\; 19\).