Fragenliste von Limes - Grenzwert

Berechnen Sie den Grenzwert

\(\lim_{n \to \infty}\frac 1{n^2}\)

Nr. 2181

\(0\)

\(1\)

\(\infty \)

Berechnen Sie den Grenzwert \(\lim_{n \to \infty}\frac n{n+1}\) Nr. 2182
	\(0\)
	\(1\)
	\(\infty\)
Lösungsweg \(\frac n{n+1} = \frac {1}{1+\frac{1}{n}}\) \(\lim_{n \to \infty}\frac 1{n} =0\) , also \(\lim_{n \to \infty}\frac 1{1+\frac{1}{n}}= \frac{1}{1}=1\)

Berechnen Sie den Grenzwert \(\lim_{n \to 0}\frac 1n\) Nr. 2183
	0
	1
	\(\infty\)
	existiert nicht
Lösungsweg rechtsseitiger Limes, n > 0 \(\lim_{n \to 0}\frac 1n =\infty\) linksseitiger Limes, n< 0 \(\lim_{n \to 0}\frac 1n =-\infty\)

Berechnen Sie den Grenzwert \(\lim_{x \to 1}\frac{x^2-1}{x-1}\) Nr. 2184
	\(0\)
	\(1\)
	\(2\)
	Der Grenzwert existiert nicht.
Lösungsweg \(\lim_{x \to 1}\frac{x^2-1}{x-1} = \lim_{x \to 1}\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}= \lim_{x \to 1} (x+1)=2\)

Berechnen Sie den Grenzwert \(\lim_{x \to \infty} x^4-x^2\) Nr. 2185
	\(0\)
	\(\infty\)
	\(-\infty\)
Lösungsweg \( x^4-x^2 = x^2(x^2-1)\) \(\lim_{x \to \infty} x^2 -1 = \infty\), also \(\lim_{x \to \infty} x^2( x^2 -1) = \infty\)

Berechnen Sie den Grenzwert

\(\lim_{n \to -\infty} n^3-n^2\)

Nr. 2186

\(0\)

\(\infty\)

\(-\infty\)

Berechnen Sie den Grenzwert

\(\lim_{x \to \infty}\frac {3x-4}{2x^2-5}\)

Nr. 3047

\(0\)

\(\frac32\)

\(\infty\)

Berechnen Sie den Grenzwert \(\lim_{x \to \infty}\frac {2x^3+x-1}{3x^2+2x}\) Nr. 3048
	\(0\)
	\(\frac23\)
	\(\infty\)
	\(-\infty\)

Berechnen Sie den Grenzwert \(\lim_{x \to \infty}\frac {4x^2+2}{2x^2+5x}\) Nr. 3049
	\(0\)
	\(2\)
	\(\infty\)
	\(-\infty\)

Berechnen Sie den Grenzwert \(\lim_{x \to \infty}\frac {3x^3}{x^3+5x^2+2x}\) Nr. 3050
	\(0\)
	\(3\)
	\(\infty\)
	\(-\infty\)

Berechnen Sie den Grenzwert \(\lim_{x \to a}\frac {sin^2(x)+cos^2(x)}{3} , \quad a \in \mathbb{R}\) Nr. 3051
	\(0\)
	\(\frac 13\)
	\(\infty\)
	\(-\infty\)

Berechnen Sie den Grenzwert \(\lim_{x \to 1}\frac {x^2-1}{ln(x)}\) Nr. 3052
	\(0\)
	\(2\)
	\(3\)
	\(\infty\)
	\(-\infty\)
Lösungsweg Regel von de L'Hospital anwenden: \(\lim_{x \to 1}\frac {x^2-1}{ln(x)} = \lim_{x \to 1}\frac {2x}{\frac{1}{x}} = \lim_{x \to 1} 2x^2 = 2\)

Berechnen Sie den Grenzwert \(\lim_{x \to 0}\frac {sin(x^2)}{x\cdot sin(x)}\) Nr. 3053
	\(0\)
	\(1\)
	\(2\)
	\(\infty\)
	\(-\infty\)
Lösungsweg Wenden Sie die Regel von de L'Hospital zweimal an.

Berechnen Sie den Grenzwert \(\lim_{x \to \infty} 4x\cdot e^{-2x}\) Nr. 3054
	\(0\)
	\(e\)
	\(\infty\)
	\(-\infty\)

Berechnen Sie den Grenzwert \(\lim_{x \to \infty} x^3\cdot e^{-x}\) Nr. 3055
	\(0\)
	\(e\)
	\(\infty\)
	\(-\infty\)

Berechnen Sie den Grenzwert \(\lim_{x \to \infty} x^{100}\cdot e^{-x}\) Nr. 3056
	\(0\)
	\(100\)
	\(\infty\)
	\(-\infty\)

Berechnen Sie den Grenzwert \(\lim_{x \to -\infty} x^3\cdot e^{-x}\) Nr. 3057
	\(0\)
	\(-e\)
	\(\infty\)
	\(-\infty\)

Berechnen Sie den Grenzwert \(\lim_{n \to \infty}{\sqrt{n^2+n}-n}\) Nr. 3058
	\(0\)
	\(\frac12\)
	\(\infty\)
	\(-\infty\)
Lösungsweg \(a_n = {\sqrt{n^2+n}-n} = \frac{(\sqrt{n^2+n}-n)(\sqrt{n^2+n}+n)}{\sqrt{n^2+n}+n}= \frac{n^2+n-n^2}{\sqrt{n^2+n}+n} = \frac{n}{\sqrt{n^2+n}+n}\) \(b_n = \frac{1}{a_n} = \frac{\sqrt{n^2+n}+n}{n} = \frac{\sqrt{n^2+n}}{n}+1 = \sqrt{1+\frac{1}{n}}+1\) \(\lim_{n \to \infty}{b_n} = \sqrt{1+\frac{1}{n}}+1 = 2\) \(\lim_{n \to \infty}{a_n} = \lim_{n \to \infty}{\sqrt{n^2+n}-n} = \frac{1}{\lim_{n \to \infty}{b_n}} = \frac{1}{2}\)

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